2020年浙江省杭州市滨江区、拱墅区中考数学一模试卷（解析版）

2020年浙江省杭州市滨江区、拱墅区中考数学一模试卷

一.选择题：本大题有10小题，每小题3分，共计30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列各数中，比﹣3小的数是（　　）

A．﹣1 B．﹣4 C．0 D．2

2．截至到2020年2月19日，浙江省的注册志愿者人数达到14480000人，数据14480000用科学记数法表示为（　　）

A．1.4487 B．1.448×104 C．1.448×106 D．1.448×107

3．下列计算正确的是（　　）

A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a2）3＝a6 D．（ab）2＝ab2

4．某市连续10天的最低气温统计如下（单位：℃）：4，5，4，7，7，8，7，6，5，7，该市这10天的最低气温的中位数是（　　）

A．6℃ B．6.5℃ C．7℃ D．7.5℃

5．一只布袋里装有4个只有颜色不同的小球，其中3个红球，1个白球，小敏和小丽依次从中任意摸出1个小球，则两人摸出的小球颜色相同的概率是（　　）

A． B． C． D．

6．某校开展丰富多彩的社团活动，每位同学可报名参加1～2个社团，现有25位同学报名参加了书法社或摄影社，已知参加摄影社的人数比参加书法社的人数多5人，两个社团都参加的同学有12人．设参加书法社的同学有x人，则（　　）

A．x+（x﹣5）＝25 B．x+（x+5）+12＝25

C．x+（x+5）﹣12＝25 D．x+（x+5）﹣24＝25

7．今年寒假期间，小芮参观了中国扇博物馆，如图是她看到的折扇和团扇．已知折扇的骨柄长为30cm，扇面的宽度为18cm，某扇张开的角度为120°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为（　　）cm．

A．6 B．8 C．6 D．8

8．已知二次函数y＝ax2+（a+2）x﹣1（a为常数，且a≠0），（　　）

A．若a＞0，则x＜﹣1，y随x的增大而增大

B．若a＞0，则x＜﹣1，y随x的增大而减小

C．若a＜0，则x＜﹣1，y随x的增大而增大

D．若a＜0，则x＜﹣1，y随x的增大而减小

9．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形

EFGH，设AB＝a，BC＝b，若AH＝1，则（　　）

A．a2＝4b﹣4 B．a2＝4b+4 C．a＝2b﹣1 D．a＝2b+1

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分）

10．（4分）计算：|﹣|＝　 　．

11．（4分）因式分解：a3﹣4a＝　 　．

12．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CP切⊙O于点C，交AB的延长线于点P，若∠P＝20°，则∠A＝　 　．

13．（4分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面2米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为　 　米（结果保留根号）．

14．（4分）已知一次函数y＝ax+b，反比例函数y＝，（a，b，k是常数，且ak≠0），若其中一部分x，y的对应值如下表所示；则不等式ax+b＜的解集是　 　．

15．（4分）在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的中线，点E在边AC上（不与A，C重合），且BE＝CD．设＝k，若符合条件的点E有两个，则k的取值范围是　 　．

三.解答题：本大题有7个小题，共计66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（6分）先化简，再求值：（2﹣a）（3+a）+（a﹣5）2，其中a＝4．

17．（8分）为了解八年级学生的户外活动情况，某校随机调查了该年级部分学生双休日户外活动的时间（单位：小时），调查结果按0～1，1～2，2～3，3～4（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，调查人员整理数据并绘制了如图所示的不完整的统计图，请根据所给信息解答下列问题．

（1）求本次调查的学生人数；

（2）求等级D的学生人数，并补全条形统计图；

（3）该年级共有600名学生，估计该年级学生双休日户外活动时间不少于2小时的人数．

18．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ACD＝∠B，DE∥BC．

（1）求证：△ADE∽△ACD；

（2）若DE＝6，BC＝10，求线段CD的长．

19．（10分）为了清洗水箱，需先放掉水箱内原有的存水，如图是水箱剩余水量y（升）随放水时间x（分）变化的图象．

（1）求y关于x的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；

（2）若8：00打开放水龙头，估计8：55﹣9：10（包括8：55和9：10）水箱内的剩水量（即y的取值范围）；

（3）当水箱中存水少于10升时，放水时间至少超过多少分钟？

20．（10分）如图1，点C、D是线段AB同侧两点，且AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，连接BC，AD交于点 E．

（1）求证：AE＝BE；

（2）如图2，△ABF与△ABD关于直线AB对称，连接EF．

①判断四边形ACBF的形状，并说明理由；

②若∠DAB＝30°，AE＝5，DE＝3，求线段EF的长．

21．（12分）设二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5（a，b为常数，a≠0），且2a+b＝3．

（1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；

（2）y1的图象始终经过一个定点，若一次函数y2＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k，a满足的关系式；

（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）都在函数y1的图象上，若x0＜1，且m＞n，求x0的取值范围（用含a的代数式表示）．

22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．

（1）求证：∠ADG＝∠F；

（2）已知AE＝CD，BE＝2．

①求⊙O的半径长；

②若点G是AF的中点，求△CDG与△ADG的面积之比．

2020年浙江省杭州市滨江区、拱墅区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.选择题：本大题有10小题，每小题3分，共计30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【分析】根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．

【解答】解：∵﹣4＜﹣3＜﹣1＜0＜2，

∴比﹣3小的数是﹣4，

故选：B．

【点评】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小．

2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：数据14480000用科学记数法表示为1.448×107．

故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；

B、a3•a2＝a5，故此选项错误；

C、（a2）3＝a6，正确；

D、（ab）2＝a2b2，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4．【分析】由于10天天气，根据数据可以知道中位数是按从小到大排序，第5个与第6个数的平均数．

【解答】解：10天的气温排序为：4，4，5，5，6，7，7，7，7，8，

中位数为：＝6.5，

故选：B．

【点评】本题属于基础题，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

5．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再两人摸出的小球颜色相同的结果数然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图如下：

，

一共12种可能，两人摸出的小球颜色相同的有6种情况，

所以两人摸出的小球颜色相同的概率是＝，

故选：B．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

6．【分析】设参加书法社的同学有x人，则参加摄影社的同学有（x+5）人，由参加社团活动的总人数＝参加书法社的人数+参加摄影社的人数﹣重合部分的人数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【解答】解：设参加书法社的同学有x人，则参加摄影社的同学有（x+5）人，

依题意，得：x+（x+5）﹣12＝25．

故选：C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

7．【分析】设团扇的半径为xcm．构建方程即可解决问题．

【解答】解：设团扇的半径为xcm．

由题意（302﹣122）＝π•x2，

解得x＝6或﹣6（舍弃），

∴团扇的半径为6cm．

故选：A．

【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

8．【分析】根据题意利用抛物线的对称轴公式列出表达式，根据a的取值范围分析判断抛物线的增减性即可．

【解答】解：∵y＝ax2+（a+2）x﹣1对称轴直线为，x＝﹣＝﹣﹣．

由a＜0得，﹣＞0．

∴﹣﹣＞﹣1．

又∵a＜0

∴抛物线开口向下．

故当x＜﹣﹣时，y随x增大而增大．

又∵x＜﹣1时，则一定有x＜﹣﹣．

∴若a＜0，则x＜﹣1，y随x的增大而增大．

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的图象及性质与不等式组解集的确定．

9．【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，根据矩形的性质得到EH＝FG，∠A＝∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据余角的性质得到∠AEH＝∠CGF，根据全等三角形的性质得到CF＝AH＝1，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，

∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM＝×180°＝90°，

同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，

∴四边形EFGH为矩形，

∴EH＝FG，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝∠D＝∠C＝90°，

∴∠AEH+∠AHE＝∠AHE+∠DHG＝∠DHG+∠DGH＝∠DGH+∠CGF＝90°，

∴∠AEH＝∠CGF，

∴△AEH≌△CGF（AAS），

∴CF＝AH＝1，

∴△AEH∽△BFE，

∴，

由折叠的性质的，AE＝EJ＝BE＝AB＝a，

∴＝，

∴a2＝4b﹣4，

故选：A．

【点评】标题叫出来翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分）

10．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．

【解答】解：|﹣|＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

11．【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．

【解答】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．

故答案为：a（a+2）（a﹣2）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．

12．【分析】连接OC，利用切线的性质和三角形内角和得出∠COP的度数，进而利用等腰三角形的性质得出∠A的度数即可．

【解答】解：连接OC，

∵CP切⊙O于点C，∠P＝20°，

∴∠OCP＝90°，

∴∠COP＝70°，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠A＝，

故答案为：35°

【点评】本题考查了切线的性质，关键是利用切线的性质和三角形内角和得出∠COP的度数．

13．【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分，再加起来即可．先在直角三角形ABC中，用正切和正弦，分别求出BC和AC（即梯子的长度），然后再在直角三角形DCE中，用∠DCE的余弦求出DC，然后把BC和DC加起来即为巷子的宽度．

【解答】解：如图所示：AB＝米，∠ACB＝60°，∠DCE＝45°，AC＝CE

则在直角三角形ABC

，

∴，，

∴直角三角形DCE中，CE＝AC＝4，

∴，

∴，

∴

故答案为：

【点评】本题需要综合应用正切、正弦．余弦来求解，注意梯子长度不变，属于中档题．

14．【分析】根据图表，求出反比例函数和一次函数的交点，然后交点以及表格中的对应函数值，即可求出ax+b＜的解．

【解答】解：根据表格可得：当x＝﹣3和x＝2时，两个函数值相等，

因此y＝ax+b和y＝的交点为：（﹣3，﹣2），（2，3），

根据点的图表即可得出：要使ax+b＜的解为：x＜﹣2或0＜x＜2．

故答案为：x＜﹣2或0＜x＜2

【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数交点的问题，熟悉一次函数和反比例函数的性质是解答此题的关键．

15．【分析】符合条件的点E有两个E、E1，则AC边上的高垂直平分EE1，由等腰三角形的性质得出BE是中线，AE＝CE，求出当CD⊥AB时，BE⊥AC，满足条件的点E有一个，此时△ABC是等边三角形，AB＝BC，＝1；当满足条件的一个点E1与点C重合时，BE＝BC，证明△BCE∽△ABC，得出＝，求出AB＝BC，得出＝；即可得出结果．

【解答】解：如图所示：

设＝k，若符合条件的点E有两个E、E1，

则AC边上的高垂直平分EE1，

∵AB＝AC，CD是AB边上的中线，BE＝CD，

∴BE是中线，AE＝CE，

当CD⊥AB时，BE⊥AC，满足条件的点E有一个，

此时△ABC是等边三角形，AB＝BC，＝1；

当满足条件的一个点E1与点C重合时，BE＝BC，

∴∠BCE＝∠BEC，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠BCE＝∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，

∴△BCE∽△ABC，

∴＝，

∴BC2＝AB×CE＝AB2，

∴AB＝BC，

∴＝；

综上所述，设＝k，若符合条件的点E有两个，则k的取值范围是1＜k＜；

故答案为：1＜k＜．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的中线；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．

三.解答题：本大题有7个小题，共计66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．【分析】根据多项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（2﹣a）（3+a）+（a﹣5）2

＝6+2a﹣3a﹣a2+a2﹣10a+25

＝﹣11a+31，

当a＝4时，原式＝﹣11×4+31＝﹣44+31＝﹣13．

【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．

17．【分析】（1）依据C等级的人数以及百分比，即可得到本次调查的学生人数；

（2）依据B等级的百分比即可得到B等级的人数，进而得出D等级的人数；

（3）依据C，D等级人数所占的百分比之和，即可估计该年级学生双休日户外活动时间不少于2小时的人数．

【解答】解：（1）本次调查的学生人数为20÷40%＝50（人）；

（2）B：50×30%＝15（人），D：50﹣9﹣15﹣20＝6（人）；

如图所示：

（3）该年级学生双休日户外活动时间不少于2小时的人数为：

×600＝312（人）．

【点评】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．

18．【分析】（1）由DE∥BC可得∠ADE＝∠B，∠ACD＝∠B，则∠ADE＝∠ACD，结论得证；

（2）可证△CDE∽△BCD，由比例线段可求出线段CD的长．

【解答】（1）证明：∵DE∥BC

∴∠ADE＝∠B，

∵∠ACD＝∠B，

∴∠ADE＝∠ACD，

∵∠DAE＝∠CAD，

∴△ADE∽△ACD；

（2）解：∵DE∥BC，

∴∠BCD＝∠EDC，

∵∠B＝∠DCE，

∴△CDE∽△BCD，

∴，

∴，

∴CD＝2．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键．

19．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（2）根据题意和（1）中的函数关系式可以求得y的取值范围；

（3）根据题意可以的关于x的不等式，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b，

，得，

即y关于x的函数表达式为y＝﹣1.25x+225，

当y＝0时，x＝180，

即y关于x的函数表达式为y＝﹣1.25x+225（0≤x≤180）；

（2）当x＝55时，y＝﹣1.25×55+225＝156.25，

当x＝70时，y＝﹣1.25×70+225＝137.5，

即8：00打开放水龙头，8：55﹣9：10（包括8：55和9：10）水箱内的剩水量为：137.5≤y≤156.25；

（3）令﹣1.25x+225＜10，

解得，x＞172，

即当水箱中存水少于10升时，放水时间至少超过172分钟．

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

20．【分析】（1）利用SAS证△ABC≌△BAD可得．

（2）①根据题意知：AC＝BD＝BF，并由内错角相等可得AC∥BF，所以由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得结论；

②如图2，作辅助线，证明△ADF是等边三角形，得AD＝AB＝3+5＝8，根据等腰三角形三线合一得AM＝DM＝4，最后利用勾股定理可得FM和EF的长．

【解答】（1）证明：在△ABC和△BAD中，

∵，

∴△ABC≌△BAD（SAS），

∴∠CBA＝∠DAB，

∴AE＝BE；

（2）解：①四边形ACBF为平行四边形；

理由是：由对称得：△DAB≌△FAB，

∴∠ABD＝∠ABF＝∠CAB，BD＝BF，

∴AC∥BF，

∵AC＝BD＝BF，

∴四边形ACBF为平行四边形；

②如图2，过F作FM⊥AD于，连接DF，

∵△DAB≌△FAB，

∴∠FAB＝∠DAB＝30°，AD＝AF，

∴△ADF是等边三角形，

∴AD＝AB＝3+5＝8，

∵FM⊥AD，

∴AM＝DM＝4，

∵DE＝3，

∴ME＝1，

Rt△AFM中，由勾股定理得：FM＝＝＝4，

∴EF＝＝7．

【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定的性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，本题中最后一问，有难度，恰当地作辅助线是解题的关键．

21．【分析】（1）将点（﹣1，4），即可求该二次函数的表达式

（2）将2a+b＝3代入二次函数y＝ax2+bx+a﹣5（a，b为常数，a≠0）中，整理得y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2，可知恒过点（1，2），代入一次函数y2＝kx+b（k为常数，k≠0）即可求实数k，a满足的关系式

（3）通过y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，可求得对称轴为x＝﹣，因为x0＜1，且m＞n，所以只需判断对称轴的位置即可求x0的取值范围

【解答】解：（1）∵函数y1＝ax2+bx+a﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a+b＝3

∴，

∴，

∴函数y1的表达式为y＝3x2﹣3x﹣2；

（2）∵2a+b＝3

∴二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，

整理得，y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2

∴当x＝1时，y1＝﹣2，

∴y1恒过点（1，﹣2）

∴代入y2＝kx+b得

∴﹣2＝k+3﹣2a得k＝2a﹣5

∴实数k，a满足的关系式：k＝2a﹣5

（3）

∵y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5

∴对称轴为x＝﹣，

∵x0＜1，且m＞n

∴当a＞0时，对称轴x＝﹣＞﹣1，解得，

当a＜0时，对称轴x＝﹣＜﹣1，解得（不符合题意，故x0不存在）

故x0的取值范围为：

【点评】此题主要考查利用待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的对称轴的位置来判断函数值的大小．

22．【分析】（1）连接BG，根据圆周角定理得到结论；

（2）①连接OD，设⊙O的半径为r，则AB＝2r，根据勾股定理得到⊙O的半径长为5；

②根据相似三角形的性质得到，得到AD2＝AG•AF，由相似三角形的性质得到FG•FA＝FC•FD，等量代换得到AD2＝FC•FD，于是得到结论．

【解答】（1）证明：连接BG，

∵AB是直径，

∴∠AGB＝90°，

∴∠B+∠BAG＝90°，

∵AB⊥CD，

∴∴∠AEF＝90°，

∴∠F+∠BAF＝90°，

∴∠B＝∠F，

∵∠ADG＝∠B，

∴∠ADG＝∠F；

（2）解：①连接OD，

设⊙O的半径为r，则AB＝2r，

∵AE＝CD，BE＝2，

∴CD＝AE＝2r﹣2，

∵CD⊥AB，

∴DE＝CD＝r﹣1，

∵OD2＝OE2+DE2，

∴r2＝（r﹣2）2+（r﹣1）2，

∴r＝5，r＝1（不合题意，舍去），

∴⊙O的半径长为5；

②∵∠ADG＝∠F，∠DAG＝∠FAD，

∴△ADG∽△AFD，

∴，

∴AD2＝AG•AF，

∵DE＝4，AE＝8，

∴AD＝＝4，

∵∠GDF＝∠DAF，∠F＝∠F，

∴△FCG∽△FAD，

∴＝，

∴FG•FA＝FC•FD，

∵点G是AF的中点，

∴AG＝FG，S△ADG＝S△DGF，

∴AD2＝FC•FD，

∴80＝DF（DF﹣8），

∴DF＝4+4（负值舍去），

∴△CDG与△ADG的面积之比＝△CDG与△DGF的面积之比＝CD：DF＝8：（4+4）＝．

【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a23977187e192279168884868762caaedd33bab5.html