用“两边夹”解题的若干操作策略
作者：王红权
来源：《中学数学杂志(高中版)》2017年第06期
“两边夹”原理本是高等数学中用来判定极限存在的准则，近年在数学竞赛和高考中时有应用，需要学生有敏锐的观察力和娴熟的代数变形技巧.从解题操作的视角看，应用“两边夹”原理有两种类型：①“若a≤x≤a，则x=a”，该类型结构简明，逻辑清晰，操作有序；②“已知a≤f（x）≤b，求参变量k的取值范围”.本文称第一种为“夹死”，即由不等式a≤x≤a，得到等式x=a，是解决“条件为不等式，结论为等式”问题的利器；本文称第二种为“夹缝”，不等式a≤f（x）≤b说明函数f（x）可以在“缝隙”[a，b]之间活动，所以参变量k能在一定的范围内取值，这类问题一般是“求k的取值范围”.本文通过典型例子，来说明利用“两边夹”方法解题的操作策略，由此提升学生“逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养”，同时提升“学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”的能力.
1利用图象两边夹
不等式g1（x）≤f（x）≤g2（x），x∈[a，b]的几何意义是：在区间[a，b]上，函数f（x）的图象位于函数g1（x）和g2（x）的图象之间.若函数f（x）图象被函数g1（x）和g2（x）的图象“夹死”，则可以求出某些参数的值；若图象间留有“缝隙”，则可求出某些参量的取值范围.
图11.1用于求值
例1[1]已知函数f（x）=x2+ax+b-2，a，b∈R.若对任意x∈[1，3]，总有|f（x）|≤12成立，求a，b的值.
解析由|f（x）|≤12，得：-x2+32≤ax+b≤-x2+52.①
如图1，不等式①表示线段y=ax+b（x∈[1，3]）夹在函数y1=-x2+32和y2=-x2+52的图象之间.
计算发现，经过A，B两点的直线y=-4x+112与函数y1的图象相切.也就是说直线y=-4x+112是被函数y1和y2的图象“夹死”的唯一直线段，故a=-4，b=112.
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