学而思六年级数学

测试1·计算篇

1． 计算

2．

3． 计算：2004×2003－2003×2002＋2002×2001－2001×2000＋…＋2×1=

4．有一列数：……第2008个数是________ .

5．看规律13 = 12，13 + 23 = 32，13 + 23 + 33 = 62 ……，试求63 + 73 + … + 143

第1讲 小升初专项训练·计算

四五年级经典难题回顾

例1 求下列算式计算结果的各位数字之和：

例2 求数的整数部分是几？

小升初重点题型精讲

例1 .

例2

例3 .

巩固 计算： .

例4 计算： .

拓展 计算： .

例5 12+23+34+45+56+67+78+89+910= .

巩固：23+34+45+…+100101= .

拓展 计算：123+234+345+…+91011= .

例6 ［2007 –（8.58.5-1.51.5）÷10］÷160-0.3= .

巩固 计算：53×57 – 47×43 = .

例7 计算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16 = .

拓展 计算：1×99 + 2×98 + 3×97 + … + 49×51 = .

例8 计算：1×99 + 2×97 + 3×95 + … + 50×1 = .

家庭作业

1. .

2. .

3. .

4. 计算： .

5. 计算：11×29 + 12×28 + … + 19×21 = .

名校真题

1. 如图，AD = DB， AE = EF = FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ABC的面积是_________平方厘米.

2. 如图,ABCD与AEFG均为正方形,三角形ABH的面积为6平方厘米,图中阴影部分的面积为_________.

3. 如图,长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点,AE = 2ED,则阴影部分的面积是 .

4. 如图,边长为1的正方形ABCD中,BE = 2EC,CF = FD,求三角形AEG的面积.

5. 如图，3个边长为3的正方形，甲的中心在乙的一个顶点上，

乙的中心在丙的一个顶点上，甲与丙不重叠，求甲、乙、丙叫

共覆盖的面积是 。

第2讲 小升初专项训练·几何一

四五年级经典难题回顾

例1 如右图所示，在长方形画出一些直线，已知边上有三块

面积分别是13，35，49，那么图中阴影部分的面积是多少？

例2 如图，长方形ABCD中，BE：EC = 2：3，DF：FC = 1：2，

三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积。

例3如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，

F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积.

小升初重点题型精讲

例1如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，

那么阴影部分的面积是 .

例2 E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DO、CP、AIE彼此平行，

若AD = 5，BC=7，AE=5，EB = 3.求阴影部分的面积．

例3已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米.

铺垫 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形

面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是

平方厘米。

例4如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4平方厘米，△CED的面积是6平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

拓展 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块

的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的

面积为 平方厘米．

例5如图，三角形ABC的面积是16，D是AC的中点，E是BD

的中点，那四边形CDEF的面积是多少？

拓展 如右图，三角形ABC中，AF：FB=BD：DC= CE：AE=3:2，

且三角形ABC的面积是l，则三角形ABE的面积为 ，

三角形AGE的面积为 ，三角形GHI的面积为 ．

例6如图，边长为10的正方形中有一等宽的十字，其面积（阴

影部分）为36，则十字中央的小正方形面积为 ．

例7如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10 cm的正方形，

则阴影部分四边形的面积是 cm2．

巩固 如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边

形MNPQ的面积是多少平方厘米？

例8三角形AEF的面积是17，DE、BF的长度分别为11、3．

求长方形ABCD的面积．

拓展 如图，长方形ABCD中，AB= 67，BC = 30.E、F分别

是AB、BC边上的两点，BE + BF = 49.那么，三角形DEF

面积的最小值是 。

家庭作业

1.如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，

那么四边形EFGH的面积是 。

2.如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，ADEF的面积

是5平方厘米，ACED的面积是10平方厘米，问：四边形

ABEF的面积是多少平方厘米？

3.在△ABC中，BD：DC=3：2，AE：EC=3：1，求OB：0E=?

4.三角形ABC中，C是直角，已知AC=2，CD=2，CB=3，

AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？

5.如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12 cm的

正方形，则阴影部分四边形的面积是多少？

名校真题

1. 已知三角形ABC是直角三角形，AC=4cm，BC=2cm，求阴影部分的面积．

2. 已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之

和是 ．（л取3.14）

3. 奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由

圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个

环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影

部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面

积是了7.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．（л=3.14 ）

4. 如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边

分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之 ．

5. 选项中有4个立方体，其中是用左边图形折成的是（ ）

第3讲 小升初专项训练·几何二

四五年级经典难题回顾

例1 如右图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，

∠ABC= 60°，此时BC长5厘米．以点B为中心，将△ABC

顺时针旋转120°，点A、C分别到达点E、D的位置．求AC

边扫过的图形即图中阴影部分的面积．（л取3）

例2 如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，对角线

AC、BD相交O.E、F分别是AD与BC的中点，图中的

阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体

图形的体积是多少立方厘米？（丌取j）

拓展 如图，ABCD是矩形，BC= 6cm，AB=10cm，

对角线AC、BD相交O．图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？

小升初重点题型精讲

例1如图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，

EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等．求扇形

所在的圆的面积。

巩固 三角形ABC是直角三角形，阴影I的面积比阴影Ⅱ的面

积小25cm2，AB=8cm，求BC的长度．

例2在一个边长为2厘米的正方形，分别以它的三条边为直径

向作三个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．

巩固 如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分

别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．（л取3114）

例3 如图所示，在半径，为4cm的图中有两条互相垂直的线段，

阴影部分面积爿与其它部分面积B之差(大减小)是 cm2

巩固 如图所示，长方形ABCD，长是8 cm，则阴影部分的面积

是 ．(л=3.14)

例4如下图所示，曲线PRSQ和ROS是两个半圆，RS平行于PQ.

如果大半圆的半径是1米，那么阴影部分是多少平方米？

（л取3.14）

巩固 在右图所示的正方形ABCD中，对角线AC长2厘米，

扇形ADC是以D为圆心，以AD为半径的圆的一部分．求

阴影部分的面积．

例5一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图），由图中

的数据可推知瓶子的容积是______立方厘米．（л取3.14）

巩固 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图．

已知它的容积为26.4x立方厘米．当瓶子正放时，瓶的酒

精的液面高为6厘米：瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．

问：瓶酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？

例6把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米

后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少

12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？

巩固 一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，

表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积

是多少？

例7如图，棱长分别为l厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方

体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．

铺垫 如右图所示，由二个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长

分别为l米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面

不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？

例8 现有一个棱长为l厘米的正方体，一个长宽为l厘米高为2厘米

的长方体，三个长宽为l厘米高为3厘米的长方体，下列图形是把这

五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形．

试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并

求出其表面积.

家庭作业

1.根据图中所给的数据求阴影部分面积．

2. 求图中阴影部分的面积（单位：cm）．

3.如图，已知扇形BAC的面积是半圆ADB面积的倍，

则角CAB的度数是

4. 一个表面积为56 cm2的长方体如图切成27个小长方体，这27个

小长方体表面积的和是 cm2．

5.有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端

有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）．

如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方

厘米？

名校真题

1．一列火车通过396米的大桥需要26秒，通过252米的隧道需要18秒，这列火车车身长是多少米？

2．某船顺水而行每小时20千米，逆水而行每小时15千米，已知该船在此航道的甲、乙两港之间往返一次用时21小时．甲、乙两港之间相距多少千米？

3．一艘船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行与顺行所用的时间比是2：1．一天因下暴雨，水流速度为原来的2倍，这艘船往返共用10小时，问：甲、乙两港相距 千米．

4．一个边长为100米的正方形跑道，甲、乙二人分别在正方形相对的顶点逆时针同时起跑．甲速为每秒7米，乙速为每秒5米．他们在转弯处都要耽误5秒，当甲第一次追上乙时，甲一共跑了多少米？

5．甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走，甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度比是3：2，湖的周长是600米，求丙的速度．

第4讲 小升初专项训练·行程一

四五年级经典难题回顾

例1 甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲、乙二人相遇？

例2 某船从甲地顺流而下，5天到达乙地；该船从乙地返回甲地用了7天．问水从甲地流到乙地用了多少时间？

例3一只小船从甲地到乙地往返一次共需要2小时，回来时顺水，比去时每小时多行驶8千米，因此第2小时比第1小时多行驶6千米，求甲、乙两地的距离．

小升初重点题型精讲

例1 某人沿着向上移动的自动扶梯从顶朝下走到底用了7分30秒，而他沿着向上移动的自动扶梯从底朝上走到顶只用了1分30秒．如果这个人不走动，乘着扶梯从底到顶需要用____分钟，如果停电，此人沿扶梯从底走到顶需要用 分钟（假设此人上、下扶梯的行走速度相同）．

巩固: 自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走，男孩速度是女孩速度的二倍．已知男孩走了27级到达顶部，而女孩走了18级到达顶部，问：当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？

例2 甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行．每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；小每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车：小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车．已知电车行驶全程是56分钟，那么小与小王在途中相遇时他们已行走了 分钟.

巩固: 某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行，问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？

例3 某学校学生计划乘坐旅行社的大巴前往郊外游玩，按照计划，旅行社的大巴准时从车站出发后能在约定时间到达学校，搭载满学生在预定时间到达目的地，已知学校的位置在车站和目的地之间，大巴车空载的时候的速度为60千米／小时，满载的时候速度为40千米／小时，由于某种原因大巴车晚出发了56分钟，学生在约定时间没有等到大巴车的情况下，步行前往目的地，在途中搭载上赶上来的大巴车，最后比预定时间晚了54分钟到达目的地，求学生们的步行速度．

巩固: 甲、乙两班同学到42千米外的少年宫参加活动，但只有一辆汽车，且一次只能坐一个班的同学，已知学生步行速度相同为5千米／小时，汽车载人速度是45千米／小时，空车速度是75千米/小时．“如果要使两班同学同时到达，且到达时间最短，那么这个最短时间是多少?

例4 A、B两人同时自甲地出发去乙地，A、B步行的速度分别为100米／分、120米／分，两人骑车的速度都是200米／分，A先骑车到途中某地下车把车放下，立即步行前进；B走到车处，立即骑车前进，当超过A一段路程后，把车放下，立即步行前进，两人如此继续交替用车，最后两人同时到达乙地，那么A从甲地到乙地的平均速度是 米／分。

[巩固]设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍，现甲从A地去B地，乙、丙从B地去A地，双方同时出发．出发时，甲、乙为步行，丙骑车．途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，三人仍按各自原有方向继续前进．问：三人之中谁最先达到自己的目的地？谁最后到达目的地？

例5 A、B是一圈形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道匀速跑步（甲、乙两人的速度未必相同），假设当乙跑完100米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙两人第二次相遇，那么当甲、乙两人第十二次相遇时，甲跑完几圈又几米？

［铺垫］甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇，求此圆形场地的周长．

[巩固]甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？

例6 甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去，相遇后甲比原来速度增加2米／秒，乙比原来速度减少2米／秒，结果都用24秒同时回到原地．求甲原来的速度，

例7 甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快，甲每分钟比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点．问：甲、乙两人谁先到达终点？

例8 甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈的速度提高了，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？

［巩固］甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲

车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离A点有多少米？（每一次甲车追上乙车也看作一次相遇）

家庭作业

1. 甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行．每辆电车都隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车；小每隔8分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔9分钟遇到迎面开来的一辆电车．已知电车行驶全程是45分钟，那么小与小王在途中相遇时他们已行走了 分钟．

2. 甲、乙两班学生到离校39千米的博物馆参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为了尽快到达博物馆，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去博物馆，汽车则从某地立即返回去接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的10倍，那么汽车应在距博物馆多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达博物馆？

3. 在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？

4. 在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇．甲、乙环行一周各需要多少分？

5. 甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加4米/秒，乙比原来速度减少4米/秒，结果都用25秒同时回到原地。求甲原来的速度。

名校真题

1. 甲、乙两车往返于A、B两地之间．甲车去时的速度是每小时60千米，回来时速度是每小时80千米，乙车往返的速度都是每小时70千米，甲、乙往返一次所用时间的比是 。

2. 甲、乙两车同时从A地出发，不停地往返行驶于A、B两地之间．已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都存涂中C地．甲车的速度是乙车速度的 倍．

3. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行80千米，乙每小时行全程的10%，当乙行到全程的时，甲车再行全程的可到达B地．求A、B两地相距多少千米？

4. 如图，甲、乙分别从A、C两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为5:4，相遇于B地后，甲继续以原来的速度向C地前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇前降低，这样当乙回到C地时，甲恰好到达离C地18千米的D处，那么A、C两地之间的距离是多少千米？

5. 、王两人都从东村到西村去，速度比为3：2．当行了11千米时，王行了5.5千米；当到达西村时，王离西村还有三的路程，东、西两村相距多少千米？

第5讲 小升初专项训练·行程二

四五年级经典难题回顾

例1 甲、乙两地之间有一条公路，明从甲地出发步行到乙地去，同时平从乙地出发骑摩托车到甲地去．80分钟后两人在途中相遇，平到达甲地后马上折回乙地，在第一次相遇后20分钟时追上明，平到达乙地后又马上折回甲地，这样一直下去．当明到达乙地时，平和明相遇的次数是多少？（只要在一起就算一次相遇）

例2 B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车后1小时A车出了事故，B和C两车照常前进．A车停了半小时后以原速度的继续前进．B、C两车行至距离甲市200千米处B车出了事故，C车照常前进．B车停了半小时后也以原速度的继续前进，结果到达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，甲、乙两市的距离是多少千米？

小升初重点题型精讲

例1 小红和小强同时从家里出发相向而行．小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇．若小红提前4分钟出发，且速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇．小红和小强两人的家相距多少米？

例2 A、B两地间有一座桥（桥的长度忽略不计），甲、乙二人分别从两地同时出发，3小时后在桥上相遇。如果甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍能恰在桥上相遇。如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇。则A、B两地相距多少千米？

［巩固］甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在途中C点相遇。如甲的速度增加10%，乙每小时多走300米，还在C点相遇；如果甲早出发1小时，乙每小时多走1000米，则仍在C点相遇。那么两人相遇时距B地多少千米？

例3 某天早上8点甲从B地出发，同时乙从A地出发追甲，结果在距离B地9千米的地方追上。如果乙把速度提高一倍而甲的速度不变，或者乙提前40分钟出发，那么都将在距离B地2千米处追上。A、B两地相距多少千米？乙的速度为每小时多少千米？

例4 A，B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从A，B两地同时相向出发，甲的速度为每小时40千米，出发后1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑，在他们相遇3分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在C地追上乙。若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度快2千米的车速，两人同时分别从A，B出发相向而行,则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多少？

例5 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米：如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米，甲车原来每小时行多少千米？

［拓展］甲、乙二人分别从A，B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点，如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米．问：甲原来的速度是每小时多少千米？

例6 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，6小时相遇；如果甲早出发2小时，甲、乙相遇时，甲已经走过A、B的中点后还走了144千米；如果乙早出发2小时，甲、乙相遇时，甲还差48千米才到A、B的中点：求甲、乙两人的速度差．

[巩固]甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，5小时相遇；如果乙车提前1小时出发，则差13千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前1小时出发，则过中点37千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等于 千米／小时，

例7 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段．在第一段上，汽车速度是每小时40千米：在第二段上，汽车速度是每小时90千米：在第三段上，汽车速度是每小时50千米．己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段从甲到乙方向的土处相遇．那么，甲、乙两市相距多少千米？

［拓展］如图，有4个村镇A、B、C、D，在连接它们的3段等长的公路AB、BC、CD上，汽车行驶的最高时速限制分别是每小时60千米、20千米和30千米．一辆客车从A镇出发驶向D镇，到达D镇后立即返回：一辆货车同时从D镇出发，驶向B镇．两车相遇在C镇，而当货车到达B镇时，客车又回到了C镇，已知客车和货车在各段公路上均以其所能达到且能被允许的速度尽量快地行驶，客车自身具有的最高时速大于每小时30千米，货车在与客车相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了二，求客车的最高时速．

例8 男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步（坡顶为A，坡底为B）．两人同时从A点出发，在A，B之间不停地往返奔跑，已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米？

家庭作业

1. 甲、乙两列火车的速度比是5：4，乙车先出发，从B站开往A站，当走到离B站72千米的地方时，甲车从A站出发开往B站。两车相遇的地方离A、B两站的距离比是3：4，那么，A、B两站之间的距离是多少千米？

2. A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A，B两地同时出发，结果在距B地2400米处相遇。如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行 米。

3. 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，正常情况下7小时后相遇在C点；如果甲车速度不变，乙车每小时多行6千米，则相遇地点距C点18千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行6千米，则相遇地点距C点21千米；那么甲车和乙车原来的速度是多少？

4. A、B两地相距40千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时相向出发，甲车每小时行36千米，出发40分后与乙相遇，又过6分钟后，与迎面而来的丙车相遇，而丙在C地追上乙；如果甲的速度减少一半，乙每小时多行18千米，则两车恰好在C地相遇，那么丙车每小时行 千米。

5. 男、女两名运动员在长350米的斜坡AB（A为坡顶、B为坡底）上跑步，二人同时从坡顶出发，在AB间往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么两人第一次与第二次迎面相遇的地点相距 米。

名校真题

1. 有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有 种吃法。

2. 由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有 个。

3. 一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出__________段.

4. 小红和小明举行象棋比赛,按比赛规定,谁先胜头两局谁赢,如果没有胜头两局,谁先胜三局谁赢. 共有 种可能的情况.

5. 新年联欢会上,共有90人参加了跳舞、合唱、演揍三种节目的演出。如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有 人。

第6讲 小升初专项训练·计数

四五年级经典难题回顾

例1 将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻。请问共有多少种不同的排列方法？

例2 由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有 个。

小升初重点题型精讲

例1 如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短的路线走到东北角B出，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有 种不同走法。

［拓展］小王在一年中去少年宫学习56次，如图所示，小王家在P点，他去少年宫都是走最近的路，且每次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在 点处。

例2 10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着。请问一共有多少种不同的放法？

例3 如图，正方形ACEG的边界上共有7个点A、B、C、D、E、F、G，其中B、D、F分别在边AC、CE、EG上，以这7个点中的4个点为顶点组成的不同的四边形的个数是 个。

[拓展]图中正方形的四边共有8个点，其中任意4点不在一条直线上，那么可组成多少个四边形？

[拓展]如图，有5×3个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问总共可以组成____个三角形，

例4若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”．问一共有多少“上升的”自然数？

例5 一个正方形的部有1996个点，以正方形的4个顶点和部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形，问：一共可以剪成多少个三角形？如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀？

[拓展]平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？

[拓展]由红点、黄点组成的19行19列的正方形点阵中有207个红点，其中的29个点在边界上，但不在四个角上，其余的点都是黄点，如果过同一行或同一列的相邻点是同色的，那么就用这种颜色的线段连接这两点，如果是异色的，那么就用黑色的线段，结果发现其中黑色线段有215条，那么黄色线段有多少条？

例6 有多少个四位数，满足个位上的数字比的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？

［拓展］数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，1+2，2+1，1+1+1。问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？

例7 游乐园的门票1元1，每人限购1。现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱。问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？

例8 用10个1×2的小长方形支覆盖2×10的方格网，一共有 种不同的覆盖方法。

［巩固］一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？

［拓展］4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？

家庭作业

1．如图，某城市的街道由5条东西向马路和6条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短的路线走到东北角B处，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有 种不同走法．

2．把13拆成三个正整数的和，请问有几种拆法？（相等的加数在不同的位置算作不同的方法）

3． 一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？

4．在三角形ABC有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？

5．上一段12级楼梯，规定每一步只能上一级或两级，要登上第12级楼梯，不同的走法共有 种．

名校真题

1. 甲、乙两个工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的时间少，甲、乙的速度比是_________。

2. 几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？

3. 某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时。

4. 一些工人做工项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要 天。

5. 甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙名得多少元？

第7讲 小升初专项训练·工程问题和比例百分数

四五年级经典难题回顾

例1 王先生、先生、先生、先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的，先生的年龄是另外三人年龄和的，先生的年龄是其他三人年龄和的，先生26岁，你知道王先生多少岁吗？

例2 有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天？

小升初重点题型精讲

例1 A、B、C、D、E五个人干一项工作，若A、B、C、D四人一起干需要6天完成；若B、C、D、E四人一起干需要8天完工；若A、E两人一起干需要12天完工。那么，若E一人单独干需要几天完工？

［巩固］某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成，那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？

例2 甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高。甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？

［拓展］甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资。按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元。实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元，那么两队原计划完成修路任务要多少天？

例3 甲、乙、两三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9：8：3派工，后因丙村不出工，将他们承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应发得丙村所付工资的多少元？

［拓展］一项工程，甲、乙两队合干需天，需支付工程款2208元；乙、丙两队合干需天，需支付工程款2400元；甲、丙两队合干需天，需支付工程款2400元，如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程队？

例4 蓄水池有一条进水管和一条排水管，要灌满一池水，单开进水管需5小时，排光一池水，单开排水管需3小时，现在池有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开1小时，问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）

［拓展］一件工程甲单独做50小时完成，乙单独做30小时完成。现在甲先做1小时，然后乙做2小时，再由做3小时，接着乙做4小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？

例5 一项工程，乙单独做要17天完成，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问：甲单独做需要几天？

［拓展］甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序两人一天轮流去做，恰好整数天做完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天。已知甲单独做完这件工作要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？

例6 某次数学竞赛设一、二、三等奖。已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相行；⑦甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5：6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二那等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍。那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？

［拓展］①某校毕业生共有9个班，每班人数相等。②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1。那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？

例7 某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4：3。结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8：5。未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3：4。问报考的共有多少人？

［巩固］幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生。已知大班男生数与女生数的比为5：3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？

例8 有若干个突击队参加某工地会战，已知每人突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加会战？

［巩固］一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工作量是乙工地的工作量的倍，上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有的人去甲工地。其他工人到乙工地。到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？

家庭作业

1. 一件工程，甲队独做12天可以完成任务。如果甲队做3天后乙队做2天，则恰好完成工程的一半，现在甲、乙两队合做若干天后，由乙队单独完成，已知两队合做的时间与乙队独做的时间相等，完成任务共有 天。

2. 一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙…顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？

3. 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止，如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？

4. 在下降的电梯中称重，显示的重量比实际体重减少；在上升的电梯中称重，显示的重量比实际体重增加，小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，小明和小刚实际体重的比是 。

5. 一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2：1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1：5，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？

名校真题

1. 某种商品按定价卖出可得利润960元，若按定价80%出售，则亏损832元，问：商品的购入价是 元。

2. 王老板以2元/个的成本买入菠萝若干个，按照定价卖出了全部菠萝的后，被迫降价为：5个菠萝只卖2元，直至卖完剩下的菠萝，最后一算，发现居然不亏也不赚，那么王老板一开始卖出菠萝的定价为 元/个。

3. 某书店购回甲、乙两种定价相同的书，其中甲种书占，需按定价的78%付款给批发商，乙种书按定价的82%付款给批发商，请算算，书店按定价销售完这两种书后获利的百分率是多少？

4. 将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是 。

5. A种酒精浓度为40%，B种酒精浓度为36%，C种酒精浓度为35%，它们混合在一起得到了11千克浓度为38.5%的酒精溶液，其中B种酒精比C种酒精多3千克，则A种酒精有 千克。

第8讲小升初专项训练·利润、浓度问题

例1 师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出，不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了多少个苹果？

［巩固］商店购进1000个十二生肖玩具，运途中破损了一些，未破损的好玩具卖完后，利润率为50%；破损的玩具降价出售，亏损了10%。最后结算，商店总的利润率为39.2%。商店卖出的好玩具有多少个？

例2 某店原来将一批苹果按100%的利润（即利润是成本的100%）定价出售。由于定价过高，无人购买。后来不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%。此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果，结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少？

［巩固］某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价。当售出这批笔记本的80%后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售。问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？

［巩固］有一种商店，甲店进货价比乙店进货价便宜10%，甲店按20%的利润来定价，乙店按15%的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元。甲店的进货价是多少元？

例3 利民商店从一家日杂公司买进了一批蚊香，然后按希望获得的纯利润，每袋加价40%定价出售，但是，按这种定价卖出这批蚊香的90%时， 夏季即将过去，为了加快资金的周转，利民商店按照定价打七折的优惠价，把剩余的蚊香全部卖出。这样，实际所得的纯利润比希望获得的纯利润少了15%，按规定，不论按什么价钱出售，卖完这批蚊香必须上缴营业税300元（税金与买蚊香用的钱一起作为成本）。请问利民商店买进这批蚊香时一共用了多少元？

［巩固］成本0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售。当销掉80%后，剩下的练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的86%，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？

例4 小明到商店买红、黑两种笔共66支。红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元，由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85%付钱，黑笔按定价80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔多少支?

［拓展］某商品76件,出售给33位顾客,每位顾客最多买三件,如果买一件按原定价,买两件降价10%,买三件降价20%,最后结算,平均每件恰好按原定价的85%出售,那么买三件的顾客有多少人?

例5 A、B两杯食盐水各有40克，浓度比是3：2，在B中加入60克水，然后倒入A中______克，再在A、B中加入水，使它们均为100克，这时浓度比为7：3.

［拓展］A、B、C三个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的盐水10克倒入A中，充分混合后从A中取出10克倒入B中，再充分混合后从B中取出10克倒入C中，最后得到的盐水的浓度是0.5%，问开始倒入试管A中的盐水浓度是百分之几？

［拓展］有甲、乙、丙三个容器，容量为毫升，甲容器有浓度为40%的盐水400毫升；乙容器中有清水400毫升；丙容器中有浓度为20%的盐水400毫升,先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后,再把乙容器中的盐水200毫升倒入甲容器，200毫升倒入丙容器，这时甲、乙、丙容器中盐水的浓度各是多少？

例6 瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%，已知A种酒精溶液深度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是百分之几?

［巩固］甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的3倍，将100克甲瓶盐水与300克乙瓶盐水混合后得到浓度为15%的新盐水，那么甲瓶盐水的浓度是多少？

［巩固］在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占48%、62.5%和，已知三缸酒精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量，三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达56%，那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？

例7 甲瓶中酒精的浓度为70%，乙瓶中酒精的浓度为60%，两瓶酒精混合后的浓度是66%，如果两瓶酒精各用去5升后再混合，则混合后的浓度是66.25%,问原来甲、乙两瓶酒精分别有多少升？

［巩固］纯酒精含量分别为60%、35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为40%。如果每种酒精都多取20克，混合后纯酒精的含量变为45%。求甲、乙两种酒精原有多少克？

例8 甲容器中有深度为20%的盐水400克，乙容器有深度为10%的盐水600克。分别从甲和乙中取出相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中，现在甲、乙容器中盐水浓度相同.问：从甲（乙）容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中？

［巩固］甲、乙两只装有糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为4%，乙桶有糖水40千克，含糖率为20%，两桶互相交换多少千克才能使两桶糖水的含糖率相等？

例9 甲杯中有纯酒精12克，乙杯中有水15克，第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯，使酒精与水混合。第二次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯，这样甲杯中纯酒精含量为50%,乙杯中纯酒精含量为25%。问第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是多少克？

［巩固］甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15克，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器，这样甲容器中纯酒精含量为62.5%，乙容器中纯酒精含量为25%。那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米？

名校真题

1. 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个。

2. 已知四位数的个位数与千位数之和为10，个位数既是偶数又是质数，百位数与十位数组成两位数是个质数，又知这个四位数能被36整除，则所有满足条件的四位数中最大的是____

3. 6个奇数的和是98，积是4267305，这6个奇数中最大的数与最小的数的和为 。

4. 将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小，那么此时这个最大的质数是 。

5. 已知A数有7个约数，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数［A，B］=1728，则B=______

第9讲 小升初专项训练·数论一

四五年级经典难题回顾

例1 已知m、n两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m有12个约数，n有10个约数，求m与n的和。

例2 在1，2，3，……，1995这1995个数中找出所有满足下面条件的数a来：（1995+a）能整除1995×a.

小升初重点题型精讲

例1 对于一个大于0的自然数N，如果具有这样的性质就为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整数，那么有 个不大于10的破坏数。

［拓展］用1，2，3，4，5，6组成一个六位数，要求是2的倍数，是3的倍数，是4的倍数，是5的倍数，是6的倍数，那么这样的六位数有多少个？

例2 某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12。他们的依次是12个连续的六位自然数，并且每家的都能被这家的门牌号整除，已知这些的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的也能被13整除，问：这一家的是什么数？

例3 如图，把1～9这9个数字放在一个圆圈上。请在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（比如在7和8之间剪开，就形成了826543197和791345628这两个九位数），如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么可以从哪两个数字之间剪开？

例4 对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30，那么在1，2，……，16这16个整数中，有“好数”多少对？

例5 1001的倍数中，共有 个数恰有1001个约数。

例6 有一个小于2000的四位数，它恰有14个正约数（包括1和本身），其中有一个质因数的末位数字是1，求这个四位数。

［巩固］a>b>c是3个整数，a、b、c的最大公约数是15，a、b的最大公约数是75，a、b的最小公倍数是450，b、c的最小公倍数是1050，那么c= 。

例7 一根木棍长100米，现从左往右每6米作一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？

［巩固］有一根长为300厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米作一个记号，每隔5厘米作一个记号；然后将所有作记号的地方剪断，问绳子共被剪成了多少段？

［拓展］在一根长木棍上有二种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线将木棍分成m等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被据成20段。问：m= ？

例8 若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是多少？

［拓展］有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693，这两个自然数的差是 。

家庭作业

1. 如果某整数同时具备如下3条性质：

①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5；那么我们称这个整数为幸运数，求出所有的两位幸运数。

2. 在方框里填上适当的数，使是105的倍数。

3. 有3个自然数，其中每一个都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数带队，那么这样的3个自然数的和最小是多少？

4. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11 的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是 。

5. 有两根木料，一根长2015毫米，另一根长755毫米，要把它们锯成同样长的小段，不许有剩余，但每锯一次要损耗1毫米的木料，每小段木料最长可以是多少毫米？

名校真题

1. 22008+ 20082除以7的余数是 。

2. 已知n是正整数，规定n！= 1×2×……×n，令m = 1!×1+2!×2+3!×3+ …… + 2007!×2007，则整数m除以2008的余数为 。

3. 已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为 。

4. 有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是 。（请写出所有可能的答案）

5. 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 。

第10讲 小升初专项训练·数论二

四五年级经典难题回顾

例1 在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？

例2 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问：所有美妙数的最大公约数是多少？

小升初重点题型精讲

例1 一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数。

［巩固］有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数。

［巩固］设n为正整数，k=2004n，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值。

例2 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和，那么这样的三位数中最大数是 ，最小数是 。

例3 学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友，余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1：2：3，问学前班有多少位小朋友？

［巩固］甲、乙、丙三数分别为339，405，549，某数a除甲数所得余数与a除乙数所得余数的比为1:2，a除乙数所得余数与a除丙数所得余数的比为2：3.求a是多少？

例4 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：12345678910111213……20072008，试求这个多位数除以9的余数。

［拓展］1×3×5×……×1991的末位数是多少？

例5 有一类六位自然数，它们的前三位数组成的数与后三位数组成的数相同。求在这类自然数中，能被4433整除的最大数是多少？

例6 一个六位数，如果满足4×=，则称为“迎春数”（例如4×102564=410256，则102564就是“迎春数”。请你求出所有“迎春数的总和。

［巩固］设六位数满足=f×，请写出这样的六位数。

例7 A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数（整数的平方），那么A的所有可能取值之和为 。

［拓展］已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是 。

例8 一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数，已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7，如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

家庭作业

1. 在1，2，3，……，100这100个数中，有的是3的倍数，如3，6，9……；也有一些是5的倍数，如5，10，15……。现在在这些3的倍数和5的倍数中各取一个相加，一共可以得到多少个不同的和？

2. 三个连续自然数，从小到大依次是7，11，13的倍数，这三个自然数的和最小是多少？

3. 有一个K位数N，在它的两头各添上一个1以后就变成一个K+2位数M，若M是N的23倍，求当K最小时，N的值是 。

4. 某八位数形如，它与3的乘积形如，则七位数应是多少？

5. 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数。

第11讲 一期综合测评

一、填空题

1. 计算： 。

2. 如图，正方形的边长为6，四边形EFGH的面积为2，那么阴影部分的面积是 。

3. 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图，已知它的容积为60立方厘米。当瓶子正放时，瓶的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米。问：瓶酒精的体积是 立方厘米。

4. 甲、乙两名同学在周长为400米圆形跑道上从同一地方同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4.5米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑 米才能回到出发点。

5. 用8个1×2的小长方形去覆盖2×8的方格网，一共有 种不同的覆盖方法。

6. 一块合金铜和锌的比是2：3，现在再加入16克铜，那么可得到新合金36克，新合金铜和锌的比是 。

7. 某商品按定价的80%（八折）出售，仍能获得40%的利润，定价时期望的利润百分数是 。

8. 有一个三位数，其中人位上数是百位上的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3，这个三位数是 。

二、解答题

1. 计算：3×4+4×5+……+19×20

2. 如图，四边形CDEF的面积是10，D是AC的中点，E是BD的中点，那么三角形ABC的面积是多少？

3. 甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，4小时相遇；如果乙车提前1小时出发，则差6千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前1小时出发，则过中点22千米后与乙车相遇，求甲车与乙车的速度差。

4. 105的倍数中，共有多少个数恰有105个约数？

5. 一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果按甲、乙、甲、乙……顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？

6. 一个正方形的部有2008个点，以正方形的4个顶点和部的2008个点为顶点，将它剪成一些三角形。问：一共可以剪成多少个三角形？如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀？

三、附加题

1. 纯酒精含量分别为70%、40%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为60%，如果每种酒精都多取15克，混合后纯酒精的含量变为57.5%。求甲、乙两种酒精原有多少克？

2. 设n为正整数，k=2007n，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值。

第11讲 二期综合测评

一、填空题

1. 计算：

2. 甲、乙两名同学在周长为400米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲、每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4.5米，问：他们第十次相遇时，乙还需跑 米才能回到出发点。

3. 如图，正方形的边长为6，四边形EFGH的面积为2，那么阴影部分的面积是 。

4. 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图，已知它的容积为80立方厘米。当瓶子正放时，瓶的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米。问：瓶酒精的体积是 立方厘米。

5. 用9个1×2的小长方形去覆盖2×9的方格网，一共有 种不同的覆盖方法。

6. 一块合金铜和锌的比是1：4，现在再加入16克铜，那么可得到新合金36克，新合金铜和锌的比是 。

7. 某商品按定价的80%（八折）出售，能获得40%的利润，定价时期望的利润百分数是________.

8. 有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4， 除以11余3，这个三位数是 。

二、解答题

1. 计算：4×5+……+19×20

2. 如图，四边形CDEF的面积是10，D是AC的中点，E是BD的中点，那么三角形ABC的面积是多少？

3. 甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，4小时相遇；如果乙车提前1小时出发，则差6千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前1小时出发，则过中点18千米后与乙车相遇，求甲车与乙车的速度差。

4. 231的倍数中，共有多少个数恰有231个约数？

5. 一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果按甲、乙、甲、乙……顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？

6. 一个正方形的部有2009个点，以正方形的4个顶点和部的2009个点为顶点，将它剪成一些三角形，问：一共可以剪成多少个三角形？如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀？

三、附加题

1. 纯酒精含量分别为70%、40%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为60%，如果每种酒精都多取15克，混合后纯酒精的含量变为57.5%。求甲、乙两种酒精原有多少克？

2. 设n为正整数，k=2007n，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9fcba3acf342336c1eb91a37f111f18582d00c92.html