高考文科数学模拟试卷及答案

高考文科数学模拟试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足（2﹣i）2•z=1，则z的虚部为（　　）

A． B． C． D．

2．已知集合A={x|x2=a}，B={﹣1，0，1}，则a=1是A⊆B的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设单位向量的夹角为120°，，则|=（　　）

A．3 B． C．7 D．

4．已知等差数列{an}满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（　　）

A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=20

5．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C．4﹣π D．

6．双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为（　　）

A． B． C． D．

7．周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

8．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（　　）

A．2 B． C．4 D．

9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（　　）

A． B． C． D．

10．设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f′（x）+xf（x）=lnx，f（1）=，则下列结论正确的是（　　）

A．xf（x）在（0，+∞）单调递增 B．xf（x）在（1，+∞）单调递减

C．xf（x）在（0，+∞）上有极大值 D．xf（x）在（0，+∞）上有极小值

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．右面的程序框图输出的S的值为　　　　　　．

12．在区间[﹣2，4]上随机取一个点x，若x满足x2≤m的概率为，则m=　　　　　　．

13．若点（a，9）在函数的图象上，则a=　　　　　　．

14．已知x＞0，y＞0且2x+y=2，则的最小值为　　　　　　．

15．函数f（x）=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为　　　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；

（Ⅱ）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．

17．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，某月的产量如下表（单位：辆）：

按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在A，B类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆A类轿车的概率；

（Ⅲ）用随机抽样的方法从A，B两类轿车中各抽取4辆，进行综合指标评分，经检测它们的得分如图，比较哪类轿车综合评分比较稳定．

18．已知 {an}是各项都为正数的数列，其前 n项和为 Sn，且Sn为an与的等差中项．

（Ⅰ）求证：数列{Sn2}为等差数列；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）设bn=，求{bn}的前100项和．

19．如图：是直径为的半圆，O为圆心，C是上一点，且．DF⊥CD，且DF=2，，E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．

（Ⅰ）求证：面BCE⊥面CDF；

（Ⅱ）求证：QR∥平面BCD；

（Ⅲ）求三棱锥F﹣BCE的体积．

20．已知函数f（x）=+ax，x＞1．

（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；

（Ⅲ）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．

21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，它的一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C上两点，已知，且．

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）判断△OAB的面积是否为定值？若是，求出该定值，不是请说明理由．

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足（2﹣i）2•z=1，则z的虚部为（　　）

A． B． C． D．

考点： 复数代数形式的乘除运算．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

解答： 解：∵（2﹣i）2=3﹣4i，

∴==，

∴z的虚部为，

故选：D．

点评： 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．

2．已知集合A={x|x2=a}，B={﹣1，0，1}，则a=1是A⊆B的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题： 简易逻辑．

分析： 当a=1时，集合A={1，﹣1}，满足A⊆B．反之不成立：例如a=0，A={0}⊆B．

解答： 解：当a=1时，集合A满足：x2=1，解得x=±1，∴集合A={1，﹣1}，∴A⊆B．[来源:Z+xx+k.Com]

反之不成立：例如a=0，A={0}⊆B．

因此a=1是A⊆B的充分不必要条件．

故选：A．

点评： 本题考查了集合的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．设单位向量的夹角为120°，，则|=（　　）

A．3 B． C．7 D．

考点： 数量积表示两个向量的夹角．

专题： 平面向量及应用．

分析： 把已知数据代入向量的模长公式计算可得．

解答： 解：∵单位向量的夹角为120°，，

∴|===

==

故选：D

点评： 本题考查向量的夹角和模长公式，属基础题．

4．已知等差数列{an}满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（　　）

A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=20

考点： 等差数列的性质．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： 利用等差数列的通项的性质，可得结论．

解答： 解：S15=（a1+a15）=（a6+a10）=150，即A正确；

a6+a10=2a8=20，∴a8=10，即B正确；

a6+a10≠a16，即C错误

a4+a12=a6+a10=20，即D正确．

故选：C．

点评： 本题考查等差数列的通项的性质，考查学生的计算能力，正确运用等差数列的通项的性质是关键．

　[来源:Zxxk.Com]

5．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C．4﹣π D．

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 根据三视图得出三视图可判断该几何体是底面为边长位的正方形，高为1的长方体，长方体内挖掉一个圆锥，

运用体积公式求解即可．

解答： 解：∵三视图可判断该几何体是底面为边长位的正方形，高为1的长方体，长方体内挖掉一个圆锥，

∴该几何体的体积为22×1π×12×1=4﹣，

故选：A[来源:Z*xx*k.Com]

点评： 本题考查了空间几何体的三视图的运用，关键是你恢复几何体的直观图，计算体积，属于中档题．

6．双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为（　　）

A． B． C． D．

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 求出双曲线的一条渐近线方程，一个顶点坐标，然后求解所求即可．

解答： 解：双曲线=1的顶点（），渐近线方程为：y=，

双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为：=．

故选：B．

点评： 本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离个数的应用，考查计算能力．

7．周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用函数的周期性，以及函数的奇偶性，直接求解即可．

解答： 解：函数是周期为4的奇函数，f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，

所以f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）

=f（2）+f（﹣1）=f（2）﹣f（1）=log22+1﹣12=1．

故选：B．

点评： 本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力．

8．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（　　）

A．2 B． C．4 D．

考点： 基本不等式．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 根据约束条件画图，判断当直线与圆相切时，取最大值，运用直线与圆的位置关系，注意圆心，半径的运用得出≤2．

解答： 解：∵x，y满足约束条件，

∴根据阴影部分可得出当直线与圆相切时，取最大值，

y=﹣2x+k，

≤2，

即k

所以最大值为2，

故选：D

点评： 本题考查了运用线性规划问题，数形结合的思想求解二元式子的最值问题，关键是确定目标函数，画图．

9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（　　）

A． B． C． D．

考点： 余弦定理．

专题： 解三角形．[来源:学科网]

分析： 由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C

解答： 解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，

由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，

两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，

再由面积公式可得S=absinC=，

∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），

再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，

解得cosC=，或cosC=1（舍去），

∵C∈（0，π），∴C=，

故选：A．

点评： 本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．

　[来源:Z*xx*k.Com]

10．设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f′（x）+xf（x）=lnx，f（1）=，则下列结论正确的是（　　）

A．xf（x）在（0，+∞）单调递增 B．xf（x）在（1，+∞）单调递减

C．xf（x）在（0，+∞）上有极大值 D．xf（x）在（0，+∞）上有极小值

考点： 利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．

专题： 导数的综合应用．

分析： 根据条件，构造函数g（x）=xf（x），利用导数研究函数的单调性和极值，即可得到结论．

解答： 解：由x2f′（x）+xf（x）=lnx得x＞0，

则xf′（x）+f（x）=，

即[xf（x）]′=，

设g（x）=xf（x），

即g′（x）=＞0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，

即当x=1时，函数g（x）=xf（x）取得极小值g（1）=f（1）=，

故选：D

点评： 本题主要考查函数的导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．右面的程序框图输出的S的值为　　．

考点： 程序框图．

专题： 图表型；算法和程序框图．

分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=5时不满足条件n≤4，退出循环，输出S的值为：．

解答： 解：模拟执行程序框图，可得

n=1，S=0

满足条件n≤4，S=1，n=2

满足条件n≤4，S=，n=3

满足条件n≤4，S=，n=4

满足条件n≤4，S=，n=5

不满足条件n≤4，退出循环，输出S的值为：．

故答案为：；

点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题．

12．在区间[﹣2，4]上随机取一个点x，若x满足x2≤m的概率为，则m=　　．

考点： 几何概型．

专题： 概率与统计．

分析： 利用几何概型分别求出区间长度，利用长度比求概率．

解答： 解：区间[﹣2，4]的长度为6，x满足x2≤m的x范围为[﹣，]，区间长度为2，由几何概型公式可得，解得m=；

故答案为：．

点评： 本题考查了几何概型的运用；解得本题的关键是求满足x2≤m的区间长度，利用几何概型公式解答．

13．若点（a，9）在函数的图象上，则a=　4　．

考点： 对数的运算性质．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用指数与对数的运算法则即可得出．

解答： 解：∵点（a，9）在函数的图象上，

∴，∴，解得a=4．

∴a===4．

故答案为：4．

点评： 本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题．[来源:Z&xx&k.Com]

14．已知x＞0，y＞0且2x+y=2，则的最小值为　8　．

考点： 基本不等式．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 由已知的等式求出的最小值，进一步利用基本不等式求得的最小值．

解答： 解：∵x＞0，y＞0且2x+y=2，

∴，得，（当且仅当2x=y时取“=”），

∴（当且仅当2x=y时取“=”），

故答案为：8．

点评： 本题考查了利用基本不等式求最值，关键是注意不等式中等号成立的条件，是基础题．

15．函数f（x）=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为　2　．

考点： 根的存在性及根的个数判断．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 构造函数设g（x）=|x2﹣2x+|，k（x）=x﹣1，画出图象，运用图象的交点得出有关函数的零点个数．

解答： 解：设g（x）=|x2﹣2x+|，k（x）=x﹣1，

根据图象得出g（x）与k（x）有2个交点，

∴f（x）=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为2

故答案为：2；

点评： 本题考查了函数交点问题与函数的零点的问题的关系，数学结合的思想的运用，属于中档题，关键是构造函数，画出图象．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；

（Ⅱ）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．

[来源:Z。xx。k.Com]

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： （Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．

（Ⅱ）由题意根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用定义域和值域，求得函数g（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得

sin2ωx﹣2cos2ωx+1=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），

由题意知，，∴ω=1，∴．

由，

解得：，

∴f（x）的单调增区间为．

（Ⅱ）由题意，把f（x）的图象向左平移个单位，得到，

再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到，

∵，∴，∴，

函数g（x）的值域为 ．

点评： 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．

17．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，某月的产量如下表（单位：辆）：

按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在A，B类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆A类轿车的概率；

（Ⅲ）用随机抽样的方法从A，B两类轿车中各抽取4辆，进行综合指标评分，经检测它们的得分如图，比较哪类轿车综合评分比较稳定．

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．

专题： 概率与统计．

分析： （Ⅰ）求出抽样比，求和求解a即可．

（Ⅱ）根据分层抽样的抽样比得到m，样本中有A类2辆B类3辆，分别记作A1，A2，B1，B2，B3，则从中任取2辆的所有基本事件．其中至少有1辆A类轿车的基本事件，然后求出从中任取2辆，至少有1辆A类轿车的概率．

（Ⅲ）求出平均数与方程，比较即可推出结果．

解答： （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得，，所以a=1000﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

（Ⅱ）根据分层抽样可得，，解得m=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

∴样本中有A类2辆B类3辆，分别记作A1，A2，B1，B2，B3，则从中任取2辆的所有基本事件为（A1，A2） （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3） （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共10个，

其中至少有1辆A类轿车的基本事件有7个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3） （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），所以从中任取2辆，至少有1辆A类轿车的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（Ⅲ），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

∵12.5＜13.5，∴B类轿车成绩较稳定．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

点评： 不考查古典概型的概率的求法，分层抽样的应用，考查计算能力．

18．已知 {an}是各项都为正数的数列，其前 n项和为 Sn，且Sn为an与的等差中项．

（Ⅰ）求证：数列{Sn2}为等差数列；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）设bn=，求{bn}的前100项和．

考点： 数列的求和；等差关系的确定．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： （Ⅰ）利用已知条件化简出，即可说明是首项为1，公差为1的等差数列．

（Ⅱ） 求出，通过an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2求出通项公式．

（Ⅲ）化简，直接求出前100项和即可．

解答： （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知，即，①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）

当n=1时，由①式可得S1=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

又n≥2时，有an=Sn﹣Sn﹣1，代入①式得

整理得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

∴是首项为1，公差为1的等差数列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

∵{an}是各项都为正数，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

∴（n≥2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）

又，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

（Ⅲ），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

∴{bn}的前100项和T100=10．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

点评： 本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，数列求和，考查分析问题解决问题的能力．

19．如图：是直径为的半圆，O为圆心，C是上一点，且．DF⊥CD，且DF=2，，E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．

（Ⅰ）求证：面BCE⊥面CDF；

（Ⅱ）求证：QR∥平面BCD；

（Ⅲ）求三棱锥F﹣BCE的体积．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： （Ⅰ）证明BD⊥DF，DF⊥BC，利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面CFD，然后证明面BCE⊥面CDF．

（Ⅱ）连接OQ，通过证明RQ∥OM，然后证明QR∥平面BCD．

（Ⅲ）利用vF﹣BCE=vF﹣BCD﹣vE﹣BCD求解几何体的体积即可．

解答： （本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）∵DF=2，，，∴BF2=BD2+DF2，

∴BD⊥DF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）

又DF⊥CD，∴DF⊥平面BCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

∴DF⊥BC，

又BC⊥CD，∴BC⊥平面CFD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

∵BC⊂面BCE

∴面BCE⊥面CDF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（Ⅱ）连接OQ，在面CFD内过R点做RM⊥CD，

∵O，Q为中点，∴OQ∥DF，且﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

∵DF⊥CD∴RM∥FD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

又FR=3RC，∴，∴，

∵E为FD的中点，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）

∴OQ∥RM，且OQ=RM

∴OQRM为平行四边形，∵RQ∥OM﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

又RQ⊄平面BCD，OM⊂平面BCD，∴QR∥平面BCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

（Ⅲ）∵，∴∠DBC=30°，∴在直角三角形BCD中有，，

∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

点评： 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用直线与平面平行的判定定理以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力．

20．已知函数f（x）=+ax，x＞1．

（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；

（Ⅲ）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

专题： 导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）求出函数的导数，通过f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a的范围．

（Ⅱ）利用a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．

（Ⅲ）化简方程（2x﹣m）lnx+x=0，得，利用函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点，结合由（Ⅱ）可知，f（x）的单调性，推出实数m的取值范围．

解答： （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）函数f（x）=+ax，x＞1．

，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；﹣﹣﹣（1分）

∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

∴时函数t=的最小值为，

∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（Ⅱ） 当a=2时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，

解得或lnx=﹣1（舍），即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）

当时，f'（x）＜0，当时，f′（x）＞0

∴f（x）的极小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

（Ⅲ）将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得

整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

由（Ⅱ）可知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，当x→1时，，∴，

实数m的取值范围为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）

点评： 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数 极值的求法，函数的零点的应用，考查分析问题解决问题的能力．

21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，它的一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．[来源:学科网ZXXK]

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C上两点，已知，且．

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）判断△OAB的面积是否为定值？若是，求出该定值，不是请说明理由．[来源:Zxxk.Com]

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （Ⅰ）求出抛物线的准线，推出b，利用离心率求出椭圆的a，c然后求解椭圆的方程．

（Ⅱ）利用得x1x2=﹣3y1y2，设A（x1，y1），B（x2，y2），当l斜率不存在时，设A（x1，y1），B（x1，﹣y1）求出结果，当l斜率存在时，设l方程y=kx+m，与椭圆联立，利用韦达定理化简，推出范围．

（ⅱ）由（ⅰ）知，l斜率不存在时，求出三角形的面积，l斜率存在时，求出三角形的面积即可．

解答： （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为抛物线的准线，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）

由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

∴椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

（Ⅱ）由得x1x2=﹣3y1y2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

设A（x1，y1），B（x2，y2）所在直线为l，当l斜率不存在时，

则A（x1，y1），B（x1，﹣y1），∴，又，∴

∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

当l斜率存在时，设l方程y=kx+m，

联立得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0

∴△=36k2m2﹣12（3k2+1）（m2﹣2）=12（6k2﹣m2+2）＞0…（a）

且．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）

由

整理得1+3k2=m2…（b）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

∴

由（a），（b）得m2=1+3k2≥1，∴，∴

综上：∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

（ⅱ）由（ⅰ）知，l斜率不存在时，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）

l斜率存在时，

将m2=1+3k2带入整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）

所以△OAB的面积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）

点评： 本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9f3c26a42ec58bd63186bceb19e8b8f67c1cefe7.html