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统计学常用分布及其分位数

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§1.4常用的分布及其分位数1.卡平方分布
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
2X当X1、X2、、Xn相互独立且都服从N(0,1时，Z=i的…
i
分布称为自由度等于n的2分布，记作Z～2(n，它的分
nz
11nx2e2,z0
布密度p(z=n22
20,其他,
n
式中的=0u
2
n1
u2
edu，称为Gamma函数，且1=1，
1=π。分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相
2
互独立，且Y～2(n，Z～2(m，则Y+Z～2(n+m。证明:先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互独…、…、立且都服从N(0,1，再根据2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令
2222+X2+2Y=X12…+Xn，Z=Xn1+Xn2+…+Xnm，2222+X2+2Y+Z=X12…+Xn+Xn1+Xn2+…+Xnm，
即可得到Y+Z～2(n+m。
2.t分布若X与Y相互独立，且
Y的分布称为自由度X～N(0,1，Y～2(n，则Z=X
n
等于n的t分布，记作Z～t(n，它的分布密度P(z=
n11
(n2z2
12nnn(2
。
请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t



分布与标准正态分布N(0,1的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查N(0,1的分布函数值表便可以得到。
3.F分布若X与Y相互独立，且X～2(n，Y～2(m，则Z=
X
n
Y
的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m
m的F分布，记作Z～F(n,m，它的分布密度
nm
nnmn2m21z22,z0p(z=nmnm

(mnz222
0,其他。
请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度
1
的次序有关，当Z～F(n,m时，～F(m,n。
Z
4.t分布与F分布的关系
2
若X～t(n，则Y=X～F(1,n。证：X～t(n，X的分布密度p(x=
n12
nnπ
2
n1
x212。n
Y=X2的分布函数FY(y=P{Y<y}=P{X2<y}。
当y0时，FY(y=0，pY(y=0；
当y>0时，FY(y=P{-yy}
=
2
yy
p(xdx=20p(xdx，
n
11n1n2
2y2pY(y=
1n1n

22(ny2
y
Y=X的分布密度
，



与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密
2
度相同，因此Y=X～F(1,n。
为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：
4.常用分布的分位数
1）分位数的定义
分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：
当随机变量X的分布函数为F(x，实数α满足0<α<1时，α分位数是使P{X<xα}=F(xα=α的数xα，上侧α分位数是使P{X>λ}=1-F(λ=α的数λ，双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1=0.5α的数λ1、使P{X>λ2}=1-F(λ2=0.5α的数λ2。因为1-F(λ=α，F(λ=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α；
F(λ1=0.5α，1-F(λ2=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。
2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作u
1-0.5α分位数记作u1-0.5α。0.5α，



当X～N(0,1时，P{X<uα}=F0,1(uα=α，P{X0.5α}=F0,1(u0.5α=0.5α，
P{X1-0.5α}=F0,1(u1-0.5α=1-0.5α。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当α=0.5时，uα=0；当α<0.5时，uα<0。uα=-u1-α。
如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出u1-α，然后得到uα=-u1-α。论述如下：当X～N(0,1时，P{Xα}=F0,1(uα=α，P{X1-α}=F0,1(u1-α=1-α，P{X>u1-α}=1-F0,1(u1-α=α，
故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u1-α。例如，u0.10=-u0.90=-1.282，
u0.05=-u0.95=-1.645，u0.01=-u0.99=-2.326，u0.025=-u0.975=-1.960，




u0.005=-u0.995=-2.576。
又因为P{|X|<u1-0.5α}=1-α，所以标准正态分布的双侧α分位数分别是u1-0.5α和-u1-0.5α。标准正态分布常用的上侧α分位数有：
α=0.10，u0.90=1.282；α=0.05，u0.95=1.645；α=0.01，u0.99=2.326；α=0.025，u0.975=1.960；α=0.005，u0.995=2.576。
3）卡平方分布的α分位数记作2α(n。
α(n>0，
当X～2(n时，P{X<2α(n}=α。例如，20.005(4=0.21，20.025(4=0.48，
0.05(4=0.71，2
0.95(4=9.49，
20.975(4=11.1，20.995(4=14.9。
4）t分布的α分位数记作tα(n。




当X～t(n时，P{Xα(n}=α，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有tα(n=-t1-α(n，论述同uα=-u1-α。例如，t0.95(4=2.132，t0.975(4=2.776，t0.995(4=4.604，t0.005(4=-4.604，
t0.025(4=-2.776，t0.05(4=-2.132。另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到tα(n，可用uα作为tα(n的近似值。
5）F分布的α分位数记作Fα(n,m。Fα(n,m>0，当X～F(n,m时，P{Xα(n,m}=α。





另外，当α较小时，在表中查不出Fα(n,m，须先查F1-α
1
(m,n，再求Fα(n,m=。论述如下：
F1(m,n
当X～F(m,n时，P{X1-α(m,n}=1-α，
1111P{>}=1-α，P{<}=α，XF1(m,nXF1(m,n
11
又根据F分布的定义，～F(n,m，P{α(n,m}=α，
XX
1
因此Fα(n,m=。
F1(m,n
例如，F0.95(3,4=6.59，F0.975(3,4=9.98，F0.99(3,4=16.7，F0.95(4,3=9.12，F0.975(4,3=15.1，F0.99(4,3=28.7，
111
F0.01(3,4=，F0.025(3,4=，F0.05(3,4=。
28.715.19.12

【课内练习】
1.求分位数①20.05(8，②20.95(12。



2.求分位数①t0.05(8，②t0.95(12。3.求分位数①F0.05(7,5，②F0.95(10,12。
4.由u0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。5.由t0.95(4=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。6.若X～2(4，P{X<0.711}=0.05，P{X<9.49}=0.95，试写出有关的分位数。
7.若X～F(5,3，P{X<9.01}=0.95，Y～F(3,5，{Y<5.41}=0.95，试写出有关的分位数。
8.设X1、X2、…、X10相互独立且都服从N(0,0.09分布,试求P{Xi2>1.44}。
i
习题答案：1.①2.73，②21.0。2.①-1.860，②1.782。1为双侧分位数，3.①0.050.10.711分位数。，分位数。②与3.3719.49。6.0.7114.1.9605.2.132为双侧为上侧为上侧为上侧0.10.950.0250.05分位数，分位数，分位数，7.9.01为上侧9.49-2.1321.960为上侧0.05与2.1321.960分位0.051分位数。1数，9.01为双侧5.410.05分位数，8.0.1。与5.41为双侧0.1分位数，与4为上侧.880.1分位数。9.015.41


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9e8ead64ab8271fe910ef12d2af90242a895abc0.html

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