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行（列）满秩矩阵的性质及其应用要点

发布时间：2018-10-13 20:40:53 来源：文档文库

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摘要

本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。

关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组

Abstract

This article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible.

Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; The

System of linear equations.

1 引言 1

2 预备知识 2

3 可逆矩阵的性质及其应用 2

4 行（列）满秩矩阵的性质 5

5 行（列）满秩矩阵的若干应用 11

5.1 在矩阵秩的证明中的应用 11

5.2 在齐次线性方程组中的应用 12

5.3 在非齐次线性方程组中的应用 14

5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 17

参考文献 20

行（列）满秩矩阵的性质及其应用

1 引言

矩阵是高等代数研究的一个重要内容，用矩阵来表述问题，并通过矩阵的运算解决相关问题的方法，通常叫做矩阵方法。矩阵理论及其已然成为现今众多科学领域中不能缺少的。例如在模糊识别、密码通讯、分子结构的稳定性分析、机器人位移、导航、观测等众多领域的应用。

矩阵的现代观点是在十九世纪时慢慢形成的。德国著名数学家高斯（F.Gauss,1777-1855）在1801年时，就把一个线性变换中的所有系数当成一个整体。而在1844年时，德国的另一位著名数学家爱森斯坦（F.Eissenstenin,1823-1852）根据“变换矩阵”和其乘积进行讨论。不过“”这一词的由来却是来自英国的数学家西尔维斯特（Sylvester,1814-1897），这是他于1850年首先提出并对其进行了研究，以便之后的英国数学家凯莱（A.Gayley,1821-1895）为创立矩阵理论做出重大的贡献。从而，经过西尔维斯特、凯莱等众多数学家们的不懈努力，使得矩阵理论得到很大的发展，并被广泛应用。如的特征根和特征向量、正交矩阵、酉矩阵、可逆矩阵……

而在矩阵的理论和应用中，可逆矩阵（或者满秩矩阵）却是占据了重要的地位。它的应用是多方面的，如在矩阵秩的证明、解方程组、特殊矩阵分解等问题中可逆矩阵比一般的矩阵更容易处理，这就要归功于逆的作用。但当人们在使用可逆矩阵解决问题时发现，首先，它必须是一个方阵，而且矩阵的秩还必得与矩阵的阶数相同。因此，人们经由数学家的不断探索，把满秩矩阵推广成行（列）满秩矩阵，使它不受方阵的正方性所限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几，能够更广泛地使用矩阵这一工具来解决相关问题。

本文是将他人的研究成果进行收集整理，并在此基础上，将行（列）满秩矩阵的性质及其相关的应用与可逆矩阵（即满秩矩阵）的性质及其相关应用进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、相关矩阵的秩的证明及矩阵的分解等方面的应用。

2 预备知识

设是一个的矩阵，如若将的每一行都看成维的一个行，则，这里边是的第行，

同理，若将的每一列都看成一个维的列向量，则，其中是的第列，.则称，向量组是的行向量组。

定义2.1 矩阵行向量组的秩，叫做矩阵的行秩；矩阵列的秩，则叫做矩阵的列秩。

例1 设,我们可知的行秩为3，而其列秩也为3.

2.2 如果矩阵中不等于零的子式的最大为，则叫做矩阵的秩，可记为.

例2 求矩阵的秩。

解：因为位于矩阵中的第1，2行和矩阵中的第2，3列的二阶子式里,中包含的三阶子式只有两个，且都为0，即，所以.

3 可逆矩阵的性质及其应用

定义3.1 设是数域上的阶矩阵，是阶的单位矩阵。如果存在上的一个阶方阵,使得，则我们就说是可逆矩阵（或者满秩矩阵），

成为的逆矩阵。

引理1 对任意矩阵恒有：秩秩，秩秩.

性质3.1 对可逆矩阵以及任意的，恒有：秩秩=秩.

证明：根据性质3.1可知，,所以，有.因此，我们也可证得,所以有.证毕。

性质3.2 设是阶的可逆矩阵，是阶的可逆矩阵，如果存在着，则.

证明：将阶方阵进行分块，即,其中.也将阶方阵进行分块，即,其中.于是，按上式得

如果，不妨设，则.但可逆，所以可逆。将再进行分块，即,其中，再比较，得.这与可逆相矛盾，所以不成立。同理可证也不成立，所以.

定义3.2 设是数域上阶非零矩阵，若是存在阶、阶的可逆矩阵,使得，则我们就称矩阵的秩为，记为.若是,规定.

性质3.3 对于任意的阶方阵,设,若是可逆矩阵，则有.

证明：由题意可知，因为是可逆矩阵，所以存在,即，令两端同时左乘,则有,所以得证。

性质3.4 设都是不为零的方阵，且为可逆矩阵，若有,则.

证明：因为是可逆矩阵，则存在,所以令两边同时左乘,有,所以.

性质3.5 设都是阶不为零的，且,则.

证明：因为,所以.又因为是不为零的，所以,所以.

性质3.6 设都是数域上阶的，如果,那么与可逆矩阵，并且,.

证明：由于,则,因此,所以有,即都为可逆矩阵。令的两端同时左乘,即,由此得出,同理有,即.

命题1 是阶的可逆矩阵，那么，和有相同的解。

证明：若令为的，即,则两边可得,所以也为的解。

反之，若为的解，即，则两边左乘可得，所以也是的解，所以，与同解可证。

命题2 设为阶可逆矩阵，则元的齐次线性方程组仅有唯一。

证明：因为为可逆矩阵，所以存在，令等式两端同时乘以，则有，即，所以，命题得证。

命题3 证明.

证明：设，则

，若与分别是与的列向量的极大线性无关组，于是，即的列向量组可由与线性表示，所以，.

命题4 若阶矩阵的秩分别是，则。

证明：依题意可知，只需证. 因为，所以,做分块矩阵的初等变换，则，又因为不改变矩阵的秩，且,则,所以.

4 行（列）满秩矩阵的性质

定义4.1 如果在阶的中，个线性无关，则我们就称该矩阵为列满秩矩阵；如果的个，则称该为行满秩矩阵。

例3 矩阵中的三个，，，，所以，为列满秩矩阵。而,三个行向量也线性无关，因此,则为行满秩矩阵。

定理1 设是阶的，那么下面诸言：

（1）是列满秩矩阵；

（2）内存在着一个阶的可逆子块；

（3）的列数与等价；

（4）存在着,其中为，使得是一个；

（5）存在着,其中是行满秩矩阵，则有.

证明：（1）（2）只要根据矩阵秩数的定义就可证得。

（2）（3）利用初等变换，可以把的阶可逆子块移至最上方，则存在可逆矩阵，令,其中是阶的可逆矩阵。令，所以是可逆的，进而.

（3）（4）如果是可逆，有，则.假设，则就是列满秩。而且，有，因为是阶的方阵，所以是一个可逆矩阵。

（4）（5）我们把按照行进行分块，即,则有,从而，又有，所以一定有，所以是行满秩矩阵。

（5）（1）由可知，，所以，则就是列满秩矩阵。

设是阶的，则下面各命题：

（1）是行满秩矩阵；

（2）内存在着一个阶的可逆子块；

（3）的行数与等价；

（4）存在着，其中为，使得是一个可逆；

（5）存在着，其中为列满秩，使得.

证明：与定理1类似。

2 若均为列满秩，则对的，，就有秩=秩=秩=秩.

证明：令,则秩秩，再由定理1可知，存在，使得.于是,故又有，所以.由此结果又知，秩=秩=秩=秩.最后，自然就有秩=秩=秩.证毕。

命题5 设为阶，为，证明：如果,那么.

证明：因为为行满秩矩阵，因此秩=。又因为，所以有，从而，由此推出。

定理3 设,则存在阶 (其中不为零)，当且仅当秩.

性质4.1 阶的是存在阶的,使得.

证明：由于是行满秩，，则有.（因为中的所有列向量都可以由中的个出来），因此有解。若解为，则有.将左右两边取其转置，有，的，。由引理2可知.（由于中所有的均可用中的个线性表示出来）。所以，从而说为列满秩矩阵。

反之，如果存在阶的,使得则有解。所以对于也是有类似的结论。

定理4 设是阶矩阵，则

（1）是的为存在阶，使得.

（2）是行的为存在阶，使得.

证明：（1）是显然的，下证性。

由于，则存在，使得，令,则为所求。

（2）的证明是类似的。

由（1）得，记，则.

推论4.1 （1）阶矩阵是存在，使得.

（2）阶矩阵是存在,使得.

由推论4.1可知：若矩阵既是，也是，则是可逆。

推论4.2 （1）矩阵是左可消，即

若,则.

（2）是右可消，即

若，则.

证明：（1）必要性。由于为，则存在，使得，将两边同时乘以，立即得.

充分性。若，则有非零解，设为，于是,又因为左可消，可知，与上述矛盾，所以为矩阵。

（2）的证明与（1）类似。

定理5 设阶的秩为，则有阶和阶,使得.

证明：因为阶矩阵的秩为，则存在可逆矩阵，使得，令则,为所求。

定理5中分解式称为的一个，我们指出不是唯一的，事实上，对于任意的阶可逆矩阵，也是的一个。但是我们有

定理6 设阶矩阵的秩为，若

是的两个满秩分解，则阶的,使得,.

证明：由是阶，存在，使得，于是

这里.下证阶的矩阵可逆。

由于是阶，存在阶，使得，于是,又因为都是阶矩阵，所以可逆。将代人中，得,由列满秩左可消知：,即.

定理7 令为阶的，则只有零解。

证明：设，且有，所以线性方程组为，即，所以为列满秩矩阵，因而线性无关，所以，即只有零解，命题得证。

5 行（列）满秩矩阵的相关应用

5.1 在矩阵秩的证明中的应用

定理8 .

证明：设，由第4节中的定理5可知，有,其中均为为的，均为为的，所以有，从而知.

由此定理及可得，

定理.

定理9（Sylvester定律）的行数，其中并不一定是方阵。

证明：如果是阶矩阵，那么就是的行数。由4.3中的定理2可知，存在着两个高矩阵,令,的行数.再由4.3中的定理1可知，对于，令是可逆的，从而得到也是可逆的。并且，因为，的列数为，所以的行数为的行数。所以

（的行数）

(的行数）

的行数

5.2 在齐次线性方程组中的应用

定理10 如果的系数的秩是，那么该一定有个解为，并且：

（1）线性无关；

（2）由线性组合可表示的任一解.

证明：（）当时，为，则该有唯一的零解，即线性相关。则（1），（2）不成立。

（）当时，中存在一个阶子块，设此在的，则有

由乘以得

由于的系数矩阵的秩为，且是阶可逆子块，所以.因此与

同解，而

有，令中的列为，则此为，即为原。则（1）可证。

下证（2），由于的系数的转置是阶的，则由定理及等式，由于的列数为，所以该不是。则线性无关，所以（2）可证。

由此定理，我们就可知是线性方程组的基础解系，此时它是作为一个整体被求出来的，这与可逆矩阵中需要一个个求有所区别。

例4 求下面的解系：

.

解：因为系数矩阵,则经过初等变换，即

所以系数矩阵的秩为2。左上角的2阶子式。由矩阵的秩进行分块，则令,所以,则由可得.且有,则.所以列满秩矩阵的两个列就形成原方程组的一个基础解系。

5.3 在非齐次线性方程组中的应用

线性,如果可逆，那么它有唯一解：.如果不可逆，但是有解，它的解是否也表达？这需要先分析的性质。

如果可逆，那么,两边同时右乘,得

式表明：当可逆时，是的一个解。因此受到启发，当不可逆时，为了找到的替代物，我们应该去找矩阵方程的解。

11 设是数域上的阶非零，则

一定有解，如果，并且,其中分别是上的阶、阶，那么的通解为.其中分别是数域上任意的阶的。

定义5.3.1 设是数域上的阶矩阵，的每一个解都称为的一个，，简称为的广义逆，记作表示的任一广义逆。

从定义5.3.1得出，.

从定理11得出，当时，设，且,则.

从5.3.1得出，任一阶矩阵均为的广义逆。

定理12（的相容性定理）有解的是.

证明：必要性。设有解，则.

充分性。令,那么就是的解。

13 （的解的结构定理）有解时，它的通解为.

从定理13看出，所有的有解，则它的通解都有简洁漂亮的形式：.

例5 设矩阵,证明：，其中是列满秩矩阵。

证明：因，则存在阶、阶的,,从而,于是.

例6 设矩阵.证明：若为，则，对于任意的，矩阵方程都有解，即.

证明：由于是，因此有，即，所以.又因为是有解的，所以，有解。再由例5的结论得,所以，是的解。

例7 设矩阵.证明：若是，则对于任意的,方程都有的解。

证明：由于是，那么，就有为。由,对于,根据例6及对的非零矩阵，有这一结论，可得.

5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用

我们都知道，行满秩矩阵与列满秩矩阵在矩阵分解的应用中是经常被使用的工具，现在我们来认识一些它在矩阵满秩分解和分解上的应用。

定理14 有分解式是阶的实对称矩阵是正定的充分必要条件，其中为阶行满秩矩阵。

证明：（充分性）因为，则，可知只有唯一。从而对的维非零的，就有,则有,即。

（必要性）因为，所以存在阶，使得.令，则是阶的行满秩，且.

定理15 设是的阶，则有分解式是是幂等矩阵的充分，其中是阶，是阶行，而且.

证明：充分性是显然可证的。下面只证必要性。

由可知，存在阶的,使得，所以,令，,，那么，就有,是阶的，是阶，且.

定理16 设是秩为的阶方阵，则有是是对称矩阵的充分，其中是阶的，是阶的矩阵。

证明：显然得证，下面只要证明。

依题意，存在阶的可逆矩阵，使得,其中是的行满秩矩阵，由于,所以,设，其中是阶方阵，所以,因此，有,且，进而，,所以,令,所以,其中是阶列满秩矩阵，是阶的对称且可逆矩阵。

本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）进行比较，总结出其不变的性质、定理，如左乘右乘秩不变性质、消去律、线性方程组的解的相关定理等，再由这些性质、定理归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。从而，我们将在此基础上加以研究探索，把行（列）满秩矩阵应用到更多更广泛的领域，为我们进行科学研究时提供更简洁、更巧妙的方法。

参考文献

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