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自动控制工程基础复习题与答案

发布时间：2020-08-10   来源：文档文库   
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《自动控制工程基础》
一、单项选择题 ：


1． 线性系统和非线性系统的根本区别在于 ( C
A． 线性系统有外加输入，非线性系统无外加输入。 B． 线性系统无外加输入，非线性系统有外加输入。
C． 线性系统满足迭加原理，非线性系统不满足迭加原理。 D． 线性系统不满足迭加原理，非线性系统满足迭加原理。
2．令线性定常系统传递函数的分母多项式为零，则可得到系统的
A ．代数方程 C．差分方程 A ．脉冲函数 C．抛物线函数
4．设控制系统的开环传递函数为


( B
B ．特征方程 D ．状态方程
3． 时域分析法研究自动控制系统时最常用的典型输入信号是
B．斜坡函数 D．阶跃函数
G(s=
（ D ）
10
s(s 1(s 2
B．I 型系统


，该系统为





（ B




）
A ．0 型系统 C．II 型系统
5．二阶振荡环节的相频特性
A ．-270° C．-90°



D ．III 型系统
( ，当


时，其相位移 ( 为
B ． -180° D ．0°






( B





6. 根据输入量变化的规律分类，控制系统可分为
A. 恒值控制系统、随动控制系统和程序控制系统
( A



B. 反馈控制系统、前馈控制系统前馈—反馈复合控制系统 C.最优控制系统和模糊控制系统 D. 连续控制系统和离散控制系统
7．采用负反馈连接时，如前向通道的传递函数为 等效传递函数为
G(s
A ．
1 G(s
G(s
C．
1 G(sH (s
K

8． 一阶系统 G(s=






G(s，反馈通道的传递函数为 1
1 G(sH(s
G(s 1 G( s H(s
H(s ，则其
( C
B ．













D ．






的时间常数 T 越大，则系统的输出响应达到稳态值的时间



Ts + 1

A ．越长 C．不变


( A
B ．越短 D ．不定





9．拉氏变换将时间函数变换成


（ D
B．单位阶跃函数
1


）
A ．正弦函数




C．单位脉冲函数
A ．系统输出信号与输入信号之比 B ．系统输入信号与输出信号之比
D ．复变函数
10．线性定常系统的传递函数， 是在零初始条件下 （ D ）



C．系统输入信号的拉氏变换与输出信号的拉氏变换之比 D ．系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比 11．若某系统的传递函数为


G(s=

K Ts 1
，则其频率特性的实部



R(ω 是




（ A


）




A ．

K

B ． -
K








1
2T 2



1
2 T 2


C．
K







D ． -
K



1
T



1
T
12. 微分环节的频率特性相位移 θ (ω =



A. 90° B. -90 °

C. 0°




D. -180 °
13. 积分环节的频率特性相位移 θ (ω =



A. 90° B. -90 °

C. 0°




D. -180 °
14.传递函数反映了系统的动态性能，

它与下列哪项因素有关？
A. 输入信号
B.初始条件


C.系统的结构参数


D.输入信号和初始条件

15. 系统特征方程式的所有根均在根平面的左半部分是系统稳定的


A. 充分条件

B. 必要条件
C.充分必要条件

16. 有一线性系统，其输入分别为

u1(t 和 u2 (t 时，输出分别为a1u1(t+a 2u2(t 时 (a1,a2 为常数 ，输出应为



A. a1 y1(t+y 2(t B. a1y1(t+a 2y2(t

C. a1y1(t-a2y2(t


D. y 1(t+a 2y2(t
17. I 型系统开环对数幅频渐近特性的低频段斜率为


A. -40(dB/dec B. -20(dB/dec

C. 0(dB/dec



D. +20(dB/dec
18. 设系统的传递函数为
G(s=
25
，则系统的阻尼比为


s2
5s 25






A. 25


B. 5






C.
1







2
19．正弦函数 sin t 的拉氏变换是







1






A.





B.
2

2
s


s



C.
s



1

2
2



D.

2
2
s


s


20．二阶系统当 0<
<1 时，如果增加 ，则输出响应的最大超调量


A. 增加 B.减小

C.不变




D.不定

2
D. 以上都不是y1(t 和 y2 (t 。当输入为D. 1
% 将









( A




( B




（ C
）



( C



（ B
）



（ B
）



（ C ）







（ B
）











（ B
）






















































21．主导极点的特点是








（ D




）
A. 距离实轴很远 C.距离虚轴很远
B.距离实轴很近 D.距离虚轴很近




2
2
22．余弦函数 cos t 的拉氏变换是


（ C






）
A.
1 s
s


B.


s D.


2
1
2
C.22
s

s

23．设积分环节的传递函数为 G(s=


1

，则其频率特性幅值 M( =

K B. 2

（ C ）

A.
K 1


s














1 D.



2







C.
24. 比例环节的频率特性相位移 θ (ω =


( C
D.-180 °




A.90 ° B.-90 ° C.0°

( C



25. 奈奎斯特稳定性判据是利用系统的



来判据闭环系统稳定性的一个判别准则。




A. 开环幅值频率特性 C.开环幅相频率特性 A. 与输入信号有关 B. 与输出信号有关
C.完全由系统的结构和参数决定
B. 开环相角频率特性 D. 闭环幅相频率特性


26. 系统的传递函数 ( C



D. 既由系统的结构和参数决定，也与输入信号有关 27. 一阶系统的阶跃响应，
A. 当时间常数 T 较大时有振荡 C.有振荡 A.0 °和 90° C.0 °和 180°
29. 某二阶系统阻尼比为
A. 发散振荡
C. 衰减振荡
二、填空题：

( B.当时间常数 T 较小时有振荡 D.无振荡
B.0°和－ 90° D.0 °和－ 180°
0.2，则系统阶跃响应为
B. 单调衰减 D. 等幅振荡


D
28. 二阶振荡环节的对数频率特性相位移θ (ω 在 ( D 之间。


( C


1. 线性控制系统最重要的特性是可以应用___叠加 __原理，而非线性控制系统则不能。 2．反馈控制系统是根据输入量和

__反馈量 __的偏差进行调节的控制系统。 0 型系统的稳态误差
ess=__
___。
3．在单位斜坡输入信号作用下，

4．当且仅当闭环控制系统特征方程的所有根的实部都是

__负数 __时，系统是稳定的。 __反馈 _连接。
5.方框图中环节的基本连接方式有串联连接、并联连接和

6．线性定常系统的传递函数，

是在 _ 初始条件为零 ___时，系统输出信号的拉氏变换与输入
信号的拉氏变换的比。


3



7．函数 te-at 的拉氏变换为
(s


1 。 a2

8．线性定常系统在正弦信号输入时，稳态输出与输入的相位移随频率而变化的函数关系称 为__相频特性 __。

9．积分环节的对数幅频特性曲线是一条直线，直线的斜率为

__－ 20__dB ／dec。
10．二阶系统的阻尼比 ξ 为 _ 0_ 时，响应曲线为等幅振荡。

11．在单位斜坡输入信号作用下，Ⅱ型系统的稳态误差

ess=__0__ 。
12． 0 型系统对数幅频特性低频段渐近线的斜率为

___0___dB/dec ，高度为 20lgKp 。
1
13．单位斜坡函数 t 的拉氏变换为


s2
。





14. 根据系统输入量变化的规律，控制系统可分为

__恒值 __控制系统、 ___随动 ___ 控制系
统和程序控制系统。


15. 对于一个自动控制系统的性能要求可以概括为三个方面：


稳定性、__快速性 __和准确性。
16. 系统的传递函数完全由系统的结构和参数决定，与__输入量、扰动量 __的形式无关。 17. 决定二阶系统动态性能的两个重要参数是阻尼系数
ξ 和 _无阻尼自然振荡频率 wn 。
2218. 设系统的频率特性Ｇ (jω =R( ω +jI( ω ,则幅频特性 |G(j ω |= R ( w I (w 。




19. 分析稳态误差时，将系统分为0 型系统、 I 型系统、 II 型系统⋯，这是按开环传递函数 的 __积分 __环节数来分类的。
20. 线性系统稳定的充分必要条件是它的特征方程式的所有根均在复平面的___左 ___部分。 21． ω 从 0 变化到 +∞时，惯性环节的频率特性极坐标图在
____ 第四 ____象限，形状为 ___

半 ___圆。

22. 用频域法分析控制系统时，最常用的典型输入信号是 23．二阶衰减振荡系统的阻尼比 ξ 的范围为 0 24． G(s=

_正弦函数 _。
1。


K

的环节称为 ___惯性 __环节。
Ts 1
25．系统输出量的实际值与


_输出量的希望值 __之间的偏差称为误差。
___线性微分 __方程来描述。
26．线性控制系统其输出量与输入量间的关系可以用 27． 稳定性 、 快速性
和准确性是对自动控制系统性能的基本要求。
28．二阶系统的典型传递函数是

wn2
s2
。


2 wn s wn2
jI (
，则 R( 称为 实频特性

29．设系统的频率特性为 G ( j R ( j 。
30. 根据控制系统元件的特性，控制系统可分为


__线性 __ 控制系统、 非线性 _控制系统。
_准确性 __。
31. 对于一个自动控制系统的性能要求可以概括为三个方面：稳定性、快速性和
4



32.二阶振荡环节的谐振频率 ωr 与阻尼系数 ξ 的关系为 ω r=ω n 33.根据自动控制系统是否设有反馈环节来分类，控制系统可分为
__控制系统。
34.用频率法研究控制系统时，采用的图示法分为极坐标图示法和
122。
__开环 _控制系统、 _闭环

__对数坐标 _图示法。
35.二阶系统的阻尼系数
ξ=__0.707____ 时，为最佳阻尼系数。这时系统的平稳性与快速性
都较理想。
2-1a 试证明图 2-1(a 所示电气网络与图 2-1(b 所示的机械系统具有相同的传递函数。
（ a）
（ b）
图 2-1
解： 对于图（ a）所示的电气网络，其传递函数
( / ( ，可以求得为








U c s U i s




U ( s
R21





c C


2 s


R1 R2C1C2 s2 (R1C1 R2 C2 s 1
U r ( s


2R1 R1 R2C1C 2 s ( R1C1 R2 C2 R1C 2 s 1

1 C1 s


R2

1











R1
1

C 2 s









C








1s
而图 (b所示的机械系统的运动方程





b2 (x1
x c k 2 ( x1 xc b1 (xc
y


b2 (x c
y k1 y






假设初始条件为零 对上述二个微分方程进行拉氏变换得到

b2 [sX1 ( s sX c (s] k2[ X 1 (s X c (s] b1[ X c (s sY( s]
b1 [ X c ( s
sY ( s ]

K 1Y ( s
从 (4(5 两个方程中消去 Y （ S）得到





即 (b2 s
k2 x1 (sb
(b2 s

k1s 2 b1 s
xc (s








b1 s
k1




因此，
5
(1
(2
(3
(4 (5


(6




















R(S
一








X c ( s
B1 B2 s2 (k1 B2 kB1 s k1k2

X 1 (s B1 B2 s2 (k1 B2 k2 B1 k1 B1 s k1 k2
B1 B2 1
s2
(1B2
1 B1 s 1



k1k 2





B1k2

k1


1 B2 1 s2
(B2
1 B1
1(7
B1 s 1


k1k2 k2

k1 k2
比较式（ 1）与式（ 7）可知，两个系统传递函数相同，且两系统变量间有如下相似对
应关系







电压 u 对应 位移 x




电阻 R
对应 粘滞阻尼系数 B


电容 C 对应

弹性系数得倒数
1/k

十八、如下图所示，将方框图化简，并求出其传递函数。
H 1
R(S
一
C(S
G1
G2
一
H 2 解：
H1/G2
C(S
G1
G2
一
H 2 H1/G2
R(S
一
2
C(S
GG1
1+ G 2H2
H1/G2
R(S
一
G1G2
C(S
1+ G 2H2
R(S
G1G2
C(S
1+ G2H2+G 1H1
6



2-9a 试化简图 2-15 所示的系统结构图，求传递函数 , 并试用梅逊公式求解。
图 2-15


解： 1 将 G4 前输出移到 G4 后输出消


除交叉，得到多回路结构的等效框 图如图 2-16 所示：



G5

G3G4
1 G3G4
G6


1 G2G5
G2G5

H 3

G2G3G4
1 G3G4 H 4 G2G3H 3



图 2-16

G4

G7






G1G6
H 2
1 G1G6 G4

G1G2G3G4

1 G3G4 H 4 G2G3H3 G1G2G3H 2





2 由内到外进行反馈连接的等效变换，直到变换为一个等效方框，即得到所求的传递 函数。
G( s
C( s

G7 G1G2G3G4
R( s 1 G7 H 1 1 G3G4 H 4 G2 G3 H3 G1G2G3H 2 G1G2G3G4 H1




3 试用梅逊公式求解
将系统结构图转换成信号流图 如图 2-17 所示 : 一条前向通路

回路有四个：

P1 G1G2G3G4
L1= GGH ； L2=
3 4
4
1
1图 2-17
G2G3H3 ；


L3=
G1G2G3H2 ； L4= G1G2G3G4H1
1 G1G2G3H 2 G2G3H 3 G3G4H 4 G1G2G3G4 H1

则用梅逊公式可求得系统传递函数


7



C (s 1 P1 1


R(s
2-10a
G1G2G3G4
1 G1G2G3 H 2 G2 G3H 3 G3G4H 4 G1G2G3G4H1
2-18 所示，试求 C(S/R(S
系统的信号流图如图
图 2-18
解：

L



GG H

1 2 1



GG G

1 2
3


G H

4
2


GG











i
1 5


Li L j ( GG1 2H1 ( G4 H2 GG1 2G4 H1H2 P1 G1G2G3G4 P2 G1G4G5

P3 G6




1



1




2
1





3
1 G4H2



1Li
C(s
Pi



Li Lj 1 GG12H1 GG1 2G3 G4H 2 GG1 5 GG1 2G4H1H 2
i









1 2 3 4

GGGG GGG G(1 GH
1
4
5

6

4
2

R(s




1 G1G2 H1 G1G2G3 G4H 2 G1G5 G1G2G4H1H2




五、设单位负反馈系统的开环传递函数为







Gk ( s





25 s(s 6












求（ 1）系统的阻尼比



ζ和无阻尼自然频率 ωn；

（ 2）系统的峰值时间






tp、超调量 σ ％、 调整时间 tS(△ =0.02 ；




25

















解：系统闭环传递函数


s(s 6 25


25 6s 25







GB (s






25

1
s(s 6

s( s 6

25

s
2





与标准形式对比，可知 故





2 wn
0.6

6



， wn2



25





wn 5
，


又


wd wn 1
2
5
1 0.62
4
8



t p






wd

4
2
0.785






0.6


2











% e 1

100% e 1.33


1
0.6
100% 9.5%








t s


4 wn









3-6b 设单位反馈系统的开环传递函数为
G ( sK

，若要求闭环特征方程根的


















s


s(1(
s
1










3 6

实部均小于－ 1，试问 K 应在什么范围取值？如果要求实部均小于－
解
系统的闭环传递函数 GB (s ：



G B ( s

sK s

















1
K






s (
1(


3
6

系统的闭环特征方程为











D ( s
s (
s
1 ( s 1


K



3

6




s 3
9 s 2
18 s
18 K
0

1）
要求 Re(Si<-1 求 K 取值范围，令 s=Z-1 代入特征方程
(Z-1 3 9(Z-1 2
18(Z-1
18K 0




Z 3 6Z 2
3Z 18 K
10
0




显然，若新的特征方程的实部小于
0，则特征方程的实部小于 -1。劳斯列阵：








Z
3

2
1 3
Z

6 18K
10
Z
28

18 K 0
6



Z

18 K 10

要求 Re(Si<-1 根据劳斯判据，令劳斯列表的第一列为正数，则有
18 K 10 >0



K5







9
28 18K

0

14

K

6




9
所以要求 Re(Si<-1
，
5
K
14



9

9

2） 求 Re(Si<-2 ，令 s=Z-2
代入特征方程
(Z-2 3 9(Z-2 2 18(Z-2 18K Z 3 3Z 2 6Z 18K
8
0
劳斯列阵 :
9
2，情况又如何？












Z3 Z2 Z
1 3 18K 10 3 18K 8

6 18K 8






K


8Z0
，有 2 根在新虚轴－



2 的右边，即稳定裕度不到 2。

18
5-1a 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制其开环频率特性的极坐标图。 ① G(s
解
） 1 G(s
1
s(1 s

；② G (s







1

s (1 s(1
22s
；
















1


s




j 得频率特性 G(s



1

，
1
s(1 s
|





j (1 j

G( j

其幅频特性 | G( j

1
2
1
相频特性






90


0
tg



0


G( j 0 G( j lim
s 0



90 0
0
















0 1
2 1 j

1 8 0


lim G( j
0


( 2


1


1
1





















作 Nyquist 2） G (s


图如图 5-1 所示。













图 5-1
1
2


s (1 s(1

2s


2
2
s

j

得频率特性





幅频特性
1



















|G( j |


1 (2 2 1 tg
0
相频特性
G( j

1800

1
tg 1 2
















0


G( j 0


1 8 0
0

G( j 0


3 6 0


2
图 5-2
与虚轴交点





(1 j
G( j
2(1 j2
21
22 2

2j

3
2 (1 (1 4

(1
(1 4 2



2 (1
(1 4 2
Re(G ( j 0
作 Nyquist



得

0.707


代入 I m (G( j



得 I m= G( j 0.707 0.942





图如图 5-2 所示。
10



十五、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性曲线。



G (s
100






s(0.1s 1(0.01s 1





解：该系统开环增益 K ＝100；
有一个积分环节，即
点斜率为－ 20dB/dec ；



v＝ 1；低频渐近线通过（ 1， 20lg100 ）这点，即通过（ 1，40）这


有两个惯性环节，对应转折频率为w1
1 0.1
10 ， w2
1 0.01
100 ，斜率分别增加





－ 20dB/dec
系统对数幅频特性曲线如下所示。
L ( /dB -20 dB / dec
-
40 dB / dec 0
(rad/s


40




1 10
100

-60 dB / dec
十六、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性曲线。

G ( s 0.1s


1


解：该系统开环增益 K ＝1； 斜率为 0dB/dec；
有一个一阶微分环节，对应转折频率为



无积分、微分环节，即 v＝ 0，低频渐近线通过（


1，20lg1 ）这点，即通过（ 1，0）这点
w1
1 0.1
10
，斜率增加 20dB/dec 。

系统对数幅频特性曲线如下所示。
L ( /dB
20 dB / dec 0
10
(rad/s


5-9b 已知反馈控制系统的开环传递函数为（





1） Gk (s
1600s3
s(s 4( s 16( s 1.25
；（ 2）
G(s H (s

125( s s(s 10(
2
s 5
，试分别求各系统的稳定裕量并判断其稳定性。


说明


求系统的稳定裕量并判断其稳定性，既可应用 MA TLAB 求解，也可应用开环
11



对数频率特性进行估算。 估算的核心在于，计算幅穿频率 c 和和相穿频率

g
。 c 的常用
计算方法由些列三种： （ 1）直接在开环伯德图上利用作图法确定，或应用式（ 算；（ 2）根据
c 处开环频率特性的幅值
5-1）进行估
Gk ( j ＝ 1 进行求解；（ 3）利用开环对数渐进幅
其求解过程如下： 设系
I 段的渐近线方程为

频曲线为分段直线的特点， 求解开环对数渐近幅频特性方程来确定。
m 段直线所组成的，其第
i 1
统的开环对数渐进幅频曲线式由


Li (
式中 i 1 和
20lg Ai (

i I＝ 1， 2， 3，⋯⋯⋯⋯ ,m



i 为该段渐进幅频曲线两端的转折频率；
按 I 从小到大递增的次序， 令 Ai ( ＝
1（即 Li ( ＝ 0）求得其解为 ，若 在该段的频率区间内 （即 若不在则舍去，直至渐近幅频曲线各段均已检验完为止。

确定相穿频率的常用方法也由三种，详情见题

解 （ 1） 对于 Gk(s系统


* * i 1 <
*

< i ）则 c ＝





* ，


5-10b 。
首先将开环传递函数改写乘下列时间常数的表示形式：


Gk (s

20s3
















s(0.25s 1(0.0625s 1(0.8s 1


于是可得系统的开环频率特性为
Gk ( j Gk (s |s j
(0.25 j

20( j 2
1(0.0625j
A( ej (
1(0.8j 1




( 2 900
arctan0.25 arctan0.0625 arctan0.8

下面应用开环对数渐近幅频特性估算系统的相角裕度。估算的核心工作在与计算








ω c，
常用的计算方法有：

（ a） 应用式（ 5-1）进行估算
5-11 所示。令 lim Gk ( j


0
由 Gk(s可绘制系统的开环对数渐近幅频曲线，如图
20 2 1，则可求得开环对数幅频曲线的低频渐近线穿过







0 分

贝线的交点频率为：

c1

， 这 个 频 率 也 式 ω 的第一个值，即


1/ 20 0.224rad s/
c

0.224rad / s 。 然 后 反 复 应 用 式 （ 5-1 ） 即 ： L(

a L ( b K ( l ga


l gb 或
a

b 10

[lg a lg b ]/ K











便可由开环伯德图求得另一个幅穿频率 取
a

ωc2 的值如下：






1.25 ， b 0.224 ，而 L( b 0 ，则可得
L(
取


a
L(1.25 40lg1.25/ 0.224 29.87dB






a
4 ， b 1.25 ， L(1.25 29.87 ，
L(1.25


则可求得 L (4


20lg 4/1.25 39.97 dB



图 5-11
12



，取 a 则可求得

c 2 b
16 ，而 L(16 L (4 ， L ( c 2
0 ，
c2
16 10 39.97/( 20
1594.48rad / s

(b 根据在 ω c 处开环频率特性的幅值

Gk ( j
1(/421
20 2



1


( /162 1 ( /1.25 2

进行求解。 求解的方法由准确的和近似估算两种。 一般来说： 准确的求解只适用与求低阶系
统的 ω c；对于高阶系统，将涉及高阶代数方程的求根问题较为麻烦，工程上往往采用近似 估算的方法。以本题为例，估算的具体做法如下：对于低频段的

c1
ω c1，由于 ω c1/ω i<<1 （其
中 ω i 为与开环有限极点相对应的转折频率，即 ω 1＝ 1.25， ω 2＝ 4， ω 3＝ 16），近似取 ω c1/ ω i ≈ 0，则可得 Gk ( j c120
2 c1
1，从而解的
1/ 20 0.224(rad / s ；对于高频段
的ω c2，由于 ω c2/ω i>>1 ，近似取 1

c2
2 c 2
/i
(
c2

/
2i ，于是可得




Gk ( j c2

( c2 / 4(

20



1


c2 /16( c2 /1.25


从而解的 ω c2=20*4*16*1.25=1600rad/s 。由求解过程可见：虽然可以使用这种方法近似估算高阶系统的 ω c，但是必须事先知道它的取值区段。这是估算方法的不足之处。 (c求解开环对数渐进幅频特性方程来确定


由 Gk(s可列写系统的开环对数渐近幅频特性方

程为20lg A1 ( 20lg 20 2 ; 1.25 20lg A2( 20lg[20 2 /(0.8 ];1.25
L(
4



20lg A3 ( 20lg[20 20lg A4(

2 /(0.8 /(0.8
0.25 ];4
316 ];16
* 1

20lg[20
*
2
0.25 0.0625
令 A1( 20 故可得
c1

2 ，可解的 1 1/ 20 0.224，它在该段渐近线的频率区间内 （即 1.25）
0.224(rad / s ；令 A 2(ω =1 和 A 3(ω =1 ，求得的解均不在该段的频率范围内，




即对应的幅频曲线段与零分贝线不相交；令

A4( 20
* 2
2 /(0.8 0.25 0.0625 3 1，


* 2
可解的


20/(0.8 0.25 0.0625 1600 ，它在该段渐近线的频率区间内（即
16 ）
故可得 ω c2=1600rad/s
根据所得的 ω c 值，则可求得系统的相角裕量为
( c1 1800
( c1
3600 arctan0.25 c1 arctan0.0625
c1 arctan0.8 c1 346.10
(


c 2
1800
( c 2

90.750


由相频特性表达式可见，当 从 0变化到
时 (
1800 。故可得系统的增益裕
13



量为 g m 20lg1/ Gk ( j


g
由 Gk (s 可知，该系统为最小相位的。而
>0, gm >0,故闭环
系统为稳定的。
（2）对于 G(sH(s 系统


首先将开环传递函数改写成下列时间常数的表示形式：
G( s H (s



5(1 0.5s
s(1 0.1s(1

























0.2s












2






于是可得系统的开环频率特性为



G( j H ( j




5(1 0.5 j (2 0.05
j (5 0.35 2


2

j (1 0.1j (1 0.2 j







(1 0.01 2 (1 0.04










相应地可求得开环对数渐近幅频特性方程为







L (
20lg5/ ; 2 20lg5 0.5 / ;2

5
0.2 ;5 0.2
20lg5 20lg5
0.5 /( 0.5 /(
c 落在
10
10
0.1 ;



分析上式可以看到：

10 的频率区间上；令 5 0.5 /(



c
0.2


0.1 ＝1，可
解得 ω c＝11.18（ rad/s）。于是可求得方程的相角裕量为




1800 ( c 1800 arctan0.5 c 900 arctan0.1

arctan0.2 c
27.850
1800 当
由 G( j H ( j 的表达式可见： 为正的时 Re[ G( j
G( j 0 H ( j 0
900 ； G( j H ( j 0
H ( j ]<0 ，lm[ G ( j H ( j ]<0, 这说明开环幅相曲线位于第三象限内且
与负实轴无非零的交点。故系统的增益裕量

虽然
g m 20lg/ G ( j g H ( j g 。


0 和 gm >0（即开环负相曲线不包围临界点） ，但由于系统在右半






S 平面上有一
个开环极点，故根据奈氏判据确定该闭环系统为不稳定的。

5-10b


设反馈控制系统的开环传递函数为






Gk (s







K s


，试求：（ 1）当开环
s( s 1(s 5(s 10


增益等于 1 时系统的增益裕量和相角裕量； （ 2）使系统稳定时开环增益的临界值。

说明 在开环增益的临界值下，闭环系统将处于临界稳定状态。其特点时：系统的开
-1， j0 ），或系统的稳定裕量

环频率特性曲线将通过临界点（ 开环增益的常用方法有下列两种：
0 和 gm 0 。因此 求临界
（1）解析的方法， （在极坐标图上） 令开环频率特性曲线
Gk ( j 通过临界点 （－ 1，j0）来求解。 其具体做法是： 令 Gk(jω 的相角


(
1800（或
虚部 Im[G k(j ω ]=0 ）求得相穿频率 ω g；将所得 ω g 值代入 Gk(jω 中便可求得开环频率特性 曲线与负实轴交点的横坐标 Gk(j ω g；然后令 Gk(j ω g＝－ 1 则可求得系统的临界开环增益值。 （ 2）在开环伯德图上垂直移动开环对数幅频曲线 ，使之 ω =ωg 时穿过 0dB 线来求解。在伯德图上开环频率特性乘以 K 倍，并不改变开环对数频率特性曲线的形状而只是使开环对数


14



幅频曲线垂直上移 20lgK(dB 的距离。
K 0，如果将开环对 ω =ωg 时穿过 0dB
设原系统的开环增益为 数幅频曲线垂直上移使得
线（即移动后系统 ω g=ωc， γ=0 和 gm=0， 因而系统处于临界稳定状态） ，那么由垂直 上移的距离（设为 20lgK 1）便可求得开环增 益的临界值为 K cr=K 0K 1。 解
（ 1） 当 K ＝ 1 时系统的稳定裕量
将 Gk(s改写成时间常数的表示形式并求得系统的开环频率特性为

Gk ( j



K

s(s 1(0.2s 1(0.1s
K

2
2
|s
1
2 j

je
(5-2


1 K [


2
1 0.04
(0.02 2
2
1 0.01
1]
2

1.3 j (0.32 2
0.01
图 5-12
(1 (1 0.04 (1

式中：系统的开环相频特性为
( 900 arctan arctan0.2
的实线所示。


arctan0.1 ；系统的
K ＝ 1 时系统的开环

开环增益为 K=0.02K g，其中 K g 为系统的开环根轨迹增益。于是可绘制 对数频率特性曲线，如图 A5-12 用方法有下列三种：
由开环对数频率特性求系统的增益裕量，其核心在于计算相穿频率

ω g。确定 ω g 的常



(a 直接在开环伯德图上读取。由图A5-12 可读得： ωc＝ 1rad/s， ω g=1.77rad/s。 (b 令在 ω g 处开环频率特性的虚部Im[G k (j ω ]=0 ，即 0.32ω 2-1＝ 0，则可求得相穿频率为
g
1/ 0.32 1.77rad / s

(c令在 ω g 处开环频率特性的相角 φ (ω =-180 0，即


(
arctan
900 arctan
arctan0.2
tan
arctan0.2
arctan0.1


arctan0.1 ＝ 1800
90





或
对上式的两边取正切并应用三角函数公式



tan(




tan tan tan tan tan
tan tan

，




1 tan tan


0.02 2


2



2 3
tan tan
于是有

0.2
1 0.2
这意味着 1 0.2
2 2
0.1 0.02
0.1
0.02
0.12

1 0.32
2
0，故可求得相穿频率为




g

1/ 0.32 1.77rad / s
将 ω g 值代入 Gk(j ω 中，便可求得系统的增益裕量为

gm


20lg Gk ( j 20lg g 20lg 1
2 g
20lg 1 0.04
2

g
20lg 1 0.01 g
2

11.76dB
15





gm












或


Gk ( j g 10 20 0.26
由图 A5-12 可得 ω c＝1rad/s，于是可求得系统的相角裕量为
1800 ( c 1800 900 arctan1 arctan0.2 arctan0.1 27.980

该系统为最小相位的，而
0 和 gm 0 ，故闭环系统是稳定的。
求解的方法有些列两种：






(2 系统开环增益的临界值

(a 令开环频率特性通过临界点来求解。由式 负实轴交点的横坐标为







25-2 可得当 ( g






1800 时， Gk ( j 曲线与




K (0.02
(1
2 1.3
2
Gk ( j g (1 0.04
(1 0.01 2 1.77
|0.26 K
令 Gk ( j g 0.26K 1 ，则可求得系统的临界开环增益为
K gcr Kcr / 0.02
192.5 。

K
cr
1/ 0.26 3.85


相应的临界开环根轨迹增益为


11.76dB（如图 5-12 的虚 (b 直接在开环伯德图上求解。将开环对数渐近幅频曲线垂直上移
线所示），使得上移后系统 ω c=ω g，γ =0 ，gm=0。从而系统处于临界稳定的状态。而原系统 的开环增益等于 1，故可求得系统的临界开环增益
20lgK cr=11.76dB
即
Kcr=10 11.76/20 =3.87
Kcr 为
所得结果与解法 (a的结果是一致的。 5-11c 图 5-13 所示的某宇宙飞船控制 系统的简化结构图。为使该系统具有相 角裕量




500 ，系统的开环增益应调

图 5-13
整为何值，并求这时的增益裕量。
解 由结构图可得，系统的开环频率特性为




(s 2
s2
|s j
K
s / 2 1
s2

|s j
K10.252
2
j (
G( j Kc e


式中： K
为使

2 K c 为系统的开环增益；

500 ，这意味着



(

1800 arctan / 2 为系统的开环相频特性。






(
c
1800 arctan



c / 2



于是可求得


c



1800


1300 即 arctan






0c / 2 50
2tan50 0 2.38rad / s
c 时 G( c 的幅值等于
当


1，即


16



K 1 0.252/

2
1
故可求得系统的开环增益为


K
相应的 K c
2 / 1 0.25
2
2.382 / 1 0.25 2.382
3.64
(
1800 ，即相频曲
K / 2 1.82 。由相频特性可知：当 为正的任何值时
线与 1800 线部相交。故系统的增益裕量为
dB 。
5-11c 图 5-13 所示的某宇宙飞船控制 系统的简化结构图。为使该系统具有相 角裕量
500 ，系统的开环增益应调




图 5-13
整为何值，并求这时的增益裕量。
解 由结构图可得，系统的开环频率特性为

G( j Kc (s
s2

2 |s j
K s / 2
s2

1 |s j


K10.252
2
ej (



式中： K
为使
2 K c 为系统的开环增益；

(




1800

arctan / 2 为系统的开环相频特性。


500 ，这意味着

(
c
1800 arctan




c / 2
于是可求得

c



1800


1300 即 arctan






0c / 2 50


2tan50 0 2.38rad / s
c 时 G( c 的幅值等于 1，即
2当


K 1 0.252/


1
故可求得系统的开环增益为


K
2 / 1 0.25
2
2.382 / 1 0.25 2.382
3.64

相应的 K c 线与
K / 2 1.82 。由相频特性可知：当 为正的任何值时 (
1800 ，即相频曲
1800 线部相交。故系统的增益裕量为
dB 。


6-3c 系统如图 6-5 所示，其中 R1， R2 和 C 组成校正网络。要求校正后系统的稳态误差为
e


ss
0.01，相角裕度



r 60
，试确定 K ， R1，R2 和 C 的参数。




图 6-5



解：（ 1）根据稳态误差要求确定系统的开环增益


K
ess 0.01 kv 100
∴取 k
0k 100
v




作 G0 (s
100

的 Bode 图如图 6-6 所示。
s(0.05s 1

（2）求剪切频率 wc


a 从 Bode 图上读取 b 用计算法求




wc 44




图 6-6
L1
20lg k

w


20lg

1



K0 100






2


L2

k 2


当 w






wc
求得 k1 wc


w


在转折频率 w
20 处




20lg 100

w1

0
wc 2 w12



wc







100 202
20



44.7



计算相角裕度










0
180


0

90tg 1 0.05 wc






25



确定引入超前角：

m

60 25 5. 8


10


45

求超前网络




1 s i nm 1 s i nm





为了使

m 与校正后的 wc 重合，
10lg




7.6dB 在原系统为 7.6dB 求得
wn wc 68rad / s






T
1 1 1 164


0.006










wn 2 68 5.8








T 0.0354


18
图 6-7



Gc s


1

Ts 1 Ts
0.0354s 1











1 5.8 0.006 1

取C1 1 f






T


R1R2 C; R1 R2

R1

3 5.


K4
取 R1为 36K




R1 R2 ；
R

；


R2
R1
1 36 4.8
7.5K


T R1C
为了补偿引超前网络带来增益衰减，开环增益为
Bode 图如图 6-7 所示。

K=2



K0 5.8

100 580
校验：作校正后系统




Gc s G0 ( s
c''


5.8 100(0.0354 s 5.8s(0.05 s(0.006s
( c ''

1






1




求得

68rad / s

118.80


计算校正后系统相角裕量



180
( c'' 180 118.8
61.2 60
6-8c 已知一单位反馈控制系统如图 系统同时满足下列的性能要求：


6-14 所示。试设计一串联校正装置

（ 1）跟踪输入 r (t 1

t2 时的稳态误差为 0.1；（2）相位裕量

Gc(s，使校正后的

2

γ= 45 o。


图 6-14 单位反馈控制系统

解 由于Ⅱ型系统才能跟踪等加速度信号，为此假设校正装置为 PI 调节器，其传递函数为
Gc (s

K (1

s








s
校正后系统的开环传递函数为


K (1 s
Gc (sG (s


s2

根据对稳态误差的要求，可知 由开环传递函数得

Ka=K=10 。




( c 1800
即



arctan c 1350





arctan 而
c
450 ,
c
1

10 1 ( c 2


2 c
10 2
2
1
c

19



解之，求得
1c 3.76s , 1 3.76



0.266s 。所求 PI 调节器的传递函数为



10(1 0.266 s
Gc (s

s

6-5c 设系统的开环传提递函数为 G s



K s 1 0.1s

，试用比例—微分装置进行教正，使系统
K 200， r 50 ，并确定校正装置的传递函数。


解 取 K=K v=200，作校正前的系统对数频率特
性图如图 6-10 中虚线所示。此时，其剪
切频率为 ωc=44.7，相位裕度为 γ =12.6o。显然， 不满足系统的要求，现取串联

PD 校正装置

GC 1 s.其中 ，τ 的选取应使 1/τ 接近 ω c，
以提高其相位裕度。现取 τ =1/4 s-1 ，则已校正 系统的开环频率特征为









G( j

200(1 j j ( j0.1
1 40 1

图 6-10
由 |G ( j | 1，求得 相位裕度



'c 50s ，算得

900 arctan


'c 40

arctan
'c 62.6 0 满足要求。校正后系统的对数频率特征 10

如图 6-10 中实线所示。
20

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/97ca1ce1eef9aef8941ea76e58fafab068dc44b4.html

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