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（完整版）高考理科数学知识点总结，推荐文档

发布时间：2020-03-18 13:48:02 来源：文档文库

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必修模块知识点总结

高中数学必修1知识网络

集合

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函数

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附：

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数289c90ec2e74fa1f8b2495f15f1a2da9.png中b1d2ec44a8cbbcebb02463664e056147.png；余切函数4ff2edbf79a7fdc8c9cd4f35d6f40836.png中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法

三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法

四、函数的最值的常用求法：

1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法

五、函数单调性的常用结论：

1、若e8cef91e684ea89b1ec089ab61aef5a3.png均为某区间上的增（减）函数，则f070deff5c0629450c5a975b58c3c33a.png在这个区间上也为增（减）函数

2、若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为增（减）函数，则7df4f68479728841170bfcf47958a7b7.png为减（增）函数

3、若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png与e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png的单调性相同，则a4d4c3e2796d07fb34655333090ff575.png是增函数；若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png与e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png的单调性不同，则a4d4c3e2796d07fb34655333090ff575.png是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png处有定义，则e2a061a5ee974f36bf4280bac3962260.png，如果一个函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png既是奇函数又是偶函数，则fd05d8d90456c441c8f10641bd8576bc.png（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数26d63478e01213a317db1123c14d2759.png和f1ea68a4a1e70e96ada7592ef8752c30.png复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的定义域关于原点对称，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png可以表示为c0ea097fe5d56400d271aeb298c452e8.png，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

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高中数学必修2知识点

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即77140393493546ad4c9229b598292b9f.png。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当e0878f81b553ef0eeacdf331029a59bc.png时，c6886a809e4c7164beb8b586fe9aaba4.png；当bd93b18ebb353cd4b66885223b487d39.png时，7ac875d7d159339134b37ddd56563963.png；当e58cd154222ee0ba0f0103d9a5cdcb71.png时，8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png不存在。

②过两点的直线的斜率公式：1ca582e1db52a10cad3b9ac0c28a2fbe.png

注意下面四点：(1)当a2dc8663950f53a424c27fee0c7af6d9.png时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：14b9b403231b965eb087bc35574db3b9.png直线斜率k，且过点e968f34ad30f05cd9258882cbd9bc720.png

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：10afe20a154e668773a425e2b93af4cc.png，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：abbc69ee138f91c873b4cb790cfea485.png（7c587fccfe4ea8b1276880fd10f1b824.png）直线两点e968f34ad30f05cd9258882cbd9bc720.png，7ca5bf06eb1a6228e382d6f68689a808.png

④截矩式：fa23b9b672960bd5bea7a8c86dfacbff.png

其中直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴交于点47f7512ac76513056a203f8620522bad.png,与415290769594460e2e485922904f345d.png轴交于点27ba9f0828c95d367a99056608170ce5.png,即2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴、415290769594460e2e485922904f345d.png轴的截距分别为b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png。

⑤一般式：a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png（A，B不全为0）

注意：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png各式的适用范围 6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png特殊的方程如：

平行于x轴的直线：9d746ab959f98b40dda0846d9a44c2e8.png（b为常数）；平行于y轴的直线：50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png（a为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线54a59ffe5c00c810ac95aaf5b9ca8cd9.png（9c4b56ecc324acbeb78491e9f390f9bd.png是不全为0的常数）的直线系：fb9c61159e9d3a8ea20f2aa6f034c0de.png（C为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k的直线系：b5f6981e8d36a2a314b1cd9fff1ecea1.png，直线过定点4995d9f03cd8c3895f42ac3bfa7fb692.png；

（ⅱ）过两条直线dbe8b572754d2aeeec572bad607840e9.png，d60afd6dbb75dc076d041700c462de3c.png的交点的直线系方程为

4d62e92bfdfe800386c037247c11110b.png（6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png为参数），其中直线c7b5cb501695b127a4a5203ecdf63d70.png不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

当bb2dafa08c463a0c271d975d60fc0db8.png，bd482b503ec98d89288a59046385d418.png时，

a617de3379c3c2b013e8da757a634b83.png；946ba3532749bd0f2610907b2a602c0c.png

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

a64012c7f543e25754bcea5cd0e19f0a.png 517bd388f9f02c9475ad5f9c5e95efdd.png相交

交点坐标即方程组f0298793a62001b1b84a0b7295c4ed01.png的一组解。

方程组无解56ea1d816de2d87c4e7b65afc7e8c0e5.png ；方程组有无数解ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pnge6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png与c7b5cb501695b127a4a5203ecdf63d70.png重合

（8）两点间距离公式：设8abdc390cf62f2cb5c210564edb18b13.png是平面直角坐标系中的两个点，

则4cb57fa9b9549a8e8cc4402cc25028cd.png

（9）点到直线距离公式：一点3dd2b46fe0a6e95d1eed6b4e912a5229.png到直线101411818cc5844336509cb7746dd911.png的距离003558a129503691504938d058c79656.png

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程2a06a711a68d025ec2b086c9cb3b6675.png，圆心a34bfef0821418830710e6da1c212c75.png，半径为r；

（2）一般方程6855aa4a76a27e711587b788b428b1cd.png

当537c957f303b6b5fcd393ef433ee851d.png时，方程表示圆，此时圆心为b7588b74debc739bf4bd7eec7658b6a8.png，半径为c11db8944a42d25ca0a26c389fd1a815.png

当55dc4b69149d7af1a5e1da4b30ce672d.png时，表示一个点；当329dceee9f591b3fdb647391a4c019af.png时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线c5539ddf061060c2215f9c9749f6a159.png，圆285572fa9f2d0e5c372e963df66dbb6a.png，圆心31a185434b47ed695239ec7391e592b7.png到l的距离为f11b9337c5cf315e10b2dc756b90a2dc.png，则有e6dda49f2fbd50164fd0c06f31c4b703.png；87c80b583ab64ba4d966c39b63adadfe.png；c4419ab177921f7d86efecd4e3c3531b.png

（2）设直线c5539ddf061060c2215f9c9749f6a159.png，圆285572fa9f2d0e5c372e963df66dbb6a.png，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.png，则有

9791c587b7dd397f1722c8f9871277f1.png；05f2770b8d97ec314b90b8f0680e73f4.png；d17cfa47a0d6f6572696e41eb1a8f1a4.png

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式286c3dd288b57c57107795edabd2ef9c.png去解直线与圆相切的问题，其中4995d9f03cd8c3895f42ac3bfa7fb692.png表示切点坐标，r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：

①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为286c3dd288b57c57107795edabd2ef9c.png (课本命题)．

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)．

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

设圆cb424a1a4746ce72f721f151af34bb56.png，8bc54a9562db016464cdcfeca48fce86.png

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当32613843fe9c069ca8e36429a13accb8.png时两圆外离，此时有公切线四条；

当b4ab970ba30c36b904b8a82180df3bb0.png时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当f9f7e39ad01d0ad8bf2bb02b115fb2ff.png时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当f385b981e047c6b6be873ba72c04d0c6.png时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当414545eb782e433bc29dfe8a45671cae.png时，两圆内含；当13285769c8cd293bfd541406e0621d87.png时，为同心圆。

三、立体几何初步

word/media/image146.gif1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱e70cee1639aab2a2c7f513484ddacf40.png或用对角线的端点字母，如五棱柱bca1b03097846852e219db4aacc0244f.png

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥aa23c6bb18af6113d0a0d174e4b0f0ef.png

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台aa23c6bb18af6113d0a0d174e4b0f0ef.png

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

　　俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

word/media/image150.gifword/media/image151.gifword/media/image152.gif

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，e1d8cd95e08774ff24febdacf7cb49e1.png为斜高，l为母线）

7c6cc32dc9890bb13af729b2d926f708.png 93b27df2e5532695a167eca97e93df3e.png 858c0b2256af4b253456ea81e751ebe4.png fb9a9f4532d33552ba7abe01907b8a47.png

f57389f680f07fca5dad725774f1be87.png 3db595a456badecfc4ff6e893b5c138a.png

5b72aa74528265e15eaf0200cfbc7a75.png 042db84151f7a331b918632cdfedd939.png 436a0bc7c5655213da0d4c9a27e3982b.png

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

3fec9676e525901a223996f622fcaf43.png 2d831d6545cdab903d479e4bc99e97e4.png cff330d7c08cc8676cfc9d143ab5b668.png 83acb38caeae24fddff90c682194d675.png

75b60254a78b53ca45092bd5fd0a92c5.png 7c883feb9100f47e73f42715590af2d2.png

（4）球体的表面积和体积公式：V092afcc26cb5f8e10477f27e980b251f.png=36cef665e3a7202bcb584406befe2623.png ； S9ac9a6906a3118cb7ca9dcf2bac1598c.png=ff33e1d16f3dccb98a2b566b577eaf83.png

4、空间点、直线、平面的位置关系

（1）平面

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③ 点与平面的关系：点A在平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png内，记作884bb821f931b8850ca0fe346f122010.png；点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png不在平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png内，记作90e88538dd84f8e74d597901f431174a.png

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作Aword/media/image178_1.pngl；

直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lword/media/image179_1.pngα；直线l不在平面α内，记作lword/media/image180_1.pngα。

（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：1e7b04c906914822711549dbaa9df3f3.png

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据

（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：f2f20b96bc82d41e07fb960c39689f0f.png

公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

（6）空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。

②求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点．

三种位置关系的符号表示：aword/media/image179_1.pngα a∩α＝A a∥α

（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。α∩β＝b

5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行→面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为e4bcb873902e465b53c9e43901956210.png。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线ff6a03a9a8bd88d58670ef6f4c573b7e.png，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为e4bcb873902e465b53c9e43901956210.png。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为7cdeea6aa792f55ac621192a34f8ce8f.png。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

7、空间直角坐标系

（1）定义：如图，2c8d10a423d12c0dd448eeb63c5a049d.png是单位正方体.以A为原点，

分别以OD,O514e2b310f9a742aec404634a98c935a.png,OB的方向为正方向，建立三条数轴4bd12d503ceaa494915ce714fe80a8a4.png。

这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组4bf16061f8c120f8adc4ba78f47396a6.png来表示，有序实数组4bf16061f8c120f8adc4ba78f47396a6.png 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作61070cc4d9f4471a6f42b9e3c72fd1f4.png（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）

（4）空间两点距离坐标公式：word/media/image194_1.png

高一数学必修3公式总结以及例题

§1 算法初步

秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只要作n次乘法和n次加法即可。表达式如下：

92695555dba88a2e8a9897995e4dc901.png

例题：秦九韶算法计算多项式 a3de0c18440676329f9fc550af882035.png5db1aa94fcdffa269b0ad01d6678224c.png

bc2e71a7ad32030cbd68f201b3c974d9.png 答案： 6 ， 6

c9bcc3d759ea1f8aee813174694c6205.png

理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法… (algorithm)

1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.

2. 算法的特征：

①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去

②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。

③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度

3. 算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构

流程图：（flow chart）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。

注意：1. 画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯

2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。

3. 在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。

算法结构：顺序结构，选择结构，循环结构

word/media/image200.gif

直到型循环当型循环

Ⅰ.顺序结构（sequence structure ）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。

Ⅱ.选择结构（selection structure ）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。

Ⅲ.循环结构（cycle structure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。

基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudo code），且是使用 BASIC语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用919860b52317a584e5de6f3257631d16.png ，也可以用 07c6823c22de9b61bf4c08440b63a034.png ; 表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“6392228661363e75c352077a2cfe66d7.png”

Ⅰ. 赋值语句（assignment statement）：用 fe98e12bb396ee46bf88efa6fc55ac08.png 表示，如：07c6823c22de9b61bf4c08440b63a034.png ，表示将y的值赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或者表达式.

一般格式：“39e9bf2980934c104c013056e29ca130.png” ，有时在伪代码的书写时也可以用 “919860b52317a584e5de6f3257631d16.png”，但此时的 “ = ”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。

注： 1. 赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“ = ”具有计算功能。如： 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的，而a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3

都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。如：a = b = c = 2 , a , b ,

c =2 都是错误的，而 a = 3 是正确的.

例题：将x和y的值交换

cd07c9d18df0a5b06c26e8916a808c90.png , 同样的如果交换三个变量x,y,z的值 : 20059d047d63e325402e62ce0dc79054.png

Ⅱ. 输入语句（input statement）: Read a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b

输出语句（out statement）：Print x ,y 表示一次输出运算结果x ,y

注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2. Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语句不能起赋值语句，意旨不能在Print 语句中用 “ = ”4. Print语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用 “ ； ”隔开.

word/media/image210.gif例题：当x等于5时，Print “x = ”; x 在屏幕上输出的结果是 x = 5

Ⅲ.条件语句（conditional statement）：

1. 行If语句: If A Then B 注：没有 End If

2. 块If语句：注：①不要忘记结束语句End If ，当有If语句嵌套使用时，有几个If ，就必须要有几个End If ②. Else If 是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外Else If 后面也要有End If ③ 注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④ 为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：

word/media/image211.gif

例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.

word/media/image212.gif

或者

注：1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。

2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数

Ⅳ.循环语句（ cycle statement）：当事先知道循环次数时用 For 循环，即使是 N次也是已知次数的循环当循环次数不确定时用While循环 Do 循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应.

word/media/image213.gif

word/media/image214.gif

说明：1. While循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While循环，较为简单，因为它的条件相对好判断. 2. 凡是能用While循环书写的循环都能用For 循环书写 3. While循环和Do循环可以相互转化 4. Do循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化 5. 注意临界条件的判定.

例题： 9485f4f9541e6b7b84c47340eaf1fe06.png（见课本e41b99419f18a9da0835764098584747.png）

6aa38d665d7b8ec29c7f5037047e4945.png 4723646332cb6780f9e7405a9b9d8b7b.png c1f9eb8facee925a04c1dbcc9c3bee1d.png

42c87583db40843b168964499baf8111.png b2b6c546448135f8a8ed9a56fca2a92d.png

fe5bd2b4a8ff7b8fc417e03b94cc6e29.png 2b164fd0401080a60e38038f366bc479.png

❻

颜老师友情提醒：1. 一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。

2. 在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。

3. 书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！

高中数学必修4知识点

8ccc4548f238c1df7c3aef0e18187f30.png

2、角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的顶点与原点重合，角的始边与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png为第几象限角．

第一象限角的集合为5abe9f552086b176845d5e52ff90e6b0.png

第二象限角的集合为ab505f0c3608ed30ffed63c292beb649.png

第三象限角的集合为6e18647d86101f72ae62f6ac16f8460a.png

第四象限角的集合为828b3bafbf9e9be2a404bcb8f072d1a9.png

终边在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上的角的集合为4a123f2e3c0168efb96f052e477f2f3a.png

终边在415290769594460e2e485922904f345d.png轴上的角的集合为1d4c43d76d4b7b0dbd96a9af82fa5800.png

终边在坐标轴上的角的集合为e26faa1912df0c2a4b37c2b753a7a7b0.png

3、与角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png终边相同的角的集合为55619e7b284289a48bee5f005365e578.png

4、已知ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png是第几象限角，确定4af085d68dd5b1cc3817ea08fdb88151.png所在象限的方法：先把各象限均分7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png等份，再从9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png原来是第几象限对应的标号即为e7434b73794a3a8d5534e6b1278836df.png终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png弧度．

6、半径为4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png的圆的圆心角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png所对弧的长为2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png，则角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的弧度数的绝对值是81a59b6177c58febfabb9f840ecf4811.png．

7、弧度制与角度制的换算公式：eb5aa1ab94dcbc3c0efdfb7dc3b59fb1.png，1d83426618e94bac9f25c7ac47099716.png，6c2498d73d8a099adf3f5cc6d4ab9679.png．

8、若扇形的圆心角为cc9ca41ee88ff3be305303dff3955d7f.png，半径为4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png，弧长为2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png，周长为0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png，面积为5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png，则3c363aaf5bc8fa8f529fdd9c53872251.png，a5490fbb517304fbd04448ce47af9ddf.png，70b74e65ac9548442f315146efda2e28.png．

9、设ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png是一个任意大小的角，ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的终边上任意一点d28ebe1aea3741f003cd0d39dd1bce95.png的坐标是ac3a0c8ba8841dd4f776bcc0d6c5eea0.png，它与原点的距离是475d8776f3fc6e8c9cf729bc7c1aeb9b.png，则da3b10a0f6eb75727cf684fdc03ec164.png，59e738e499a47d3431af935a7233ba40.png，5b2173bf07c9ae036da8fc7f1256fecd.png．

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

word/media/image269.gif11、三角函数线：5dd62fa27dbf7f1bc01021dee772843f.png，72b339b129a286218edaa415a3be55e6.png，6a5b53d385d7fcde32416d6f02766ba2.png．

12、同角三角函数的基本关系：40c595befb37af4ac570ec2da95fde59.png

64de99bb4562aa6b249625971ba44e08.png；09e2fc29d19709e9598462eca83a704a.png

cf27fb96d6cf30e05f1c5bb12ee14678.png．

13、三角函数的诱导公式：

f15524f5eb0ba1cb23bf79da76bf58b0.png，9c721fb1741740e77cc6974a9db0d888.png，c21362dcbc0746b251a66f972ec0265d.png．

1157fb2e8d7b02749c58305948f37c46.png，9ac137ff213b3e33cba5148f40e04501.png，8f4d4568c72df20b7bce44c423c70b59.png．

720553e35f2a6cc8bd526d1850dc28df.png，46d7c12a705b696f2072a098df61b6ff.png，612342069aa28f8c425fad751bb97541.png．

65bdb60f79281a9b4f42bad098924601.png，58c13e0d46da1fb9f0b728a78d94dfed.png，4a2daeac5fd98a6aa45bd3f5838491fb.png．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

a10ad84f491e3bb25cdd7ff666f87908.png，f5c7b5966676a09f531afd3124416560.png．

c1e92221132c1c6a57cbdf111ff11e99.png，7b8687a9a955f7dfd14599ee2f13ff9c.png．

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、函数e532f3d8ea858571785762423ba1bc05.png的图象上所有点向左（右）平移977e492f6178c875cc260528d7299ed6.png个单位长度，得到函数c5f7567be4386c52d0e4139e90b13a20.png的图象；再将函数c5f7567be4386c52d0e4139e90b13a20.png的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的b9c89f158fc96aca1cc9c1151e151a31.png倍（纵坐标不变），得到函数2721ac1b33039cf937144420f5384160.png的图象；再将函数2721ac1b33039cf937144420f5384160.png的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的eaa42838a486e2ad3a385b26516af2a5.png倍（横坐标不变），得到函数b94d3f6506b0799eeb666860b199e368.png的图象．

函数e532f3d8ea858571785762423ba1bc05.png的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的b9c89f158fc96aca1cc9c1151e151a31.png倍（纵坐标不变），得到函数

c6cc7543eb7003e4a03129d521620b47.png的图象；再将函数c6cc7543eb7003e4a03129d521620b47.png的图象上所有点向左（右）平移b3df8dea507bfb724ed27b1c0797319a.png个单位长度，得到函数2721ac1b33039cf937144420f5384160.png的图象；再将函数2721ac1b33039cf937144420f5384160.png的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的eaa42838a486e2ad3a385b26516af2a5.png倍（横坐标不变），得到函数b94d3f6506b0799eeb666860b199e368.png的图象．

函数7e8d540c7a27b768d01bdac471ddf480.png的性质：

word/media/image312.gif振幅：eaa42838a486e2ad3a385b26516af2a5.png；word/media/image314.gif周期：fe1b7049b360f11953f8d5c85e75d832.png；word/media/image316.gif频率：ffe649bd2ce394d8ea051d96e16f1e9f.png；word/media/image318.gif相位：084df017f887018397dcfc4c1d9e0ad2.png；word/media/image320.gif初相：6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png．

函数5b711af618fa59318ce816b84c55db10.png，当7521e73e2bb453fc1fcaf52ce5525af8.png时，取得最小值为b53fda47a24328573ae01c406bab614b.png ；当21a1a6d37fc10db0fd3155c32dd1e2d5.png时，取得最大值为447c0e1f031cdb72578496a9f6defc29.png，则8a0467410b04d1605cf90320897d3b1a.png，202b67a9ac05595dba739ef0f934600c.png，799401a4324ddb620209a6bdb996991f.png．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

16、向量：既有大小，又有方向的量．

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png的向量．

单位向量：长度等于c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

word/media/image377.gif三角形法则的特点：首尾相连．

word/media/image378.gif平行四边形法则的特点：共起点．

word/media/image379.gif三角形不等式：7cefdbcac2bc20fef098faff2e730a98.png．

word/media/image381.gifword/media/image382.gif运算性质：word/media/image312.gif交换律：9fdbafd47b59830c3a2aa1a06b09d4c4.png；word/media/image314.gif结合律：1e35bd555a8f1fac42e1d4d210c0988d.png；word/media/image316.gif 6a28dae9eac28b70672f9b912f21498b.png．

word/media/image386.gif坐标运算：设5cfc6cbf1b130b0cd73a6d6c92ea9699.png，ccdcc6b38572090cf6d9257f8e8c94f9.png，则014b819cab7f37d6f5c435277ec6eab8.png．

18、向量减法运算：

word/media/image377.gif三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

word/media/image378.gif坐标运算：设5cfc6cbf1b130b0cd73a6d6c92ea9699.png，ccdcc6b38572090cf6d9257f8e8c94f9.png，则32faf0a943fe32ab6daa3b6c64cde5e6.png．

设eaa42838a486e2ad3a385b26516af2a5.png、3aaa277e8dbff354536c8feb491e3785.png两点的坐标分别为e968f34ad30f05cd9258882cbd9bc720.png，7ca5bf06eb1a6228e382d6f68689a808.png，则667fa600f6b064a06edfa1e1566ad482.png．

19、向量数乘运算：

word/media/image377.gif实数6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png与向量8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作5c8a4c7e79ca56334b482818b1659e71.png．

word/media/image312.gif1f3b29937e2f649176d5c8090f12a64e.png；

word/media/image314.gif当b4a0aa34ac4fab62293e6a834b19c6af.png时，5c8a4c7e79ca56334b482818b1659e71.png的方向与8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png的方向相同；当c4b446837483b1714a478c5e7a5d539c.png时，5c8a4c7e79ca56334b482818b1659e71.png的方向与8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png的方向相反；当73d710b4dc696eda8617bb0460a3a29d.png时，c1d5b15114ba1bab306e644c2e374f54.png．

word/media/image378.gif运算律：word/media/image312.gif fc105db1b356a595a879b98aa9fd6b8a.png；word/media/image314.gif ddcfaf21ceae969f0a72568589a130f2.png；word/media/image316.gif 27ccc46bfeafe1f01e145be835193b91.png．

word/media/image379.gif坐标运算：设1c8d3ce23ddd2926c1bdcd90e3399080.png，则a4d3adbdb974e68947f97c22b26b8ecd.png．

20、向量共线定理：向量aed41157b05e0f911dffce6c7f042dde.png与0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png共线，当且仅当有唯一一个实数6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png，使29418f4a7dd8bfb9438bd591e81d9b8d.png．

设5cfc6cbf1b130b0cd73a6d6c92ea9699.png，ccdcc6b38572090cf6d9257f8e8c94f9.png，其中339fafaab2d119254daad5eded00d296.png，则当且仅当5287973818dc1db61ceafe6e21ede5b3.png时，向量8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png、0a774d688120e2f41d0cbe86f2f8f2de.png共线．

21、平面向量基本定理：如果1bea6e3d4f0fc3e3dc465c28c22cd1ce.png、a45ed699adc5bed68e51d449daf912fa.png是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png，有且只有一对实数6f97853c1f54f505b0d38842afa6ca86.png、2421dc2156eb10dba79bacc24f2de3f4.png，使9e6975c7c8f900dc33c20d34700fa192.png．（不共线的向量1bea6e3d4f0fc3e3dc465c28c22cd1ce.png、a45ed699adc5bed68e51d449daf912fa.png作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点d28ebe1aea3741f003cd0d39dd1bce95.png是线段3f7e53cbb3fb8c459a66f1a8b5428bcf.png上的一点，8a4b1474cd7215c85a1b3445b74335c5.png、0143fb52053e267efb756629637c6ebc.png的坐标分别是e968f34ad30f05cd9258882cbd9bc720.png，7ca5bf06eb1a6228e382d6f68689a808.png，当1f0d2d1f7f89c8b8a9fe7f6b73cd8441.png时，点d28ebe1aea3741f003cd0d39dd1bce95.png的坐标是c197d0e805a578b2f68ebc997584ef8d.png．

23、平面向量的数量积：

word/media/image377.gif1846c146069483c18794b088867e8f36.png．零向量与任一向量的数量积为cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png．

word/media/image378.gif性质：设8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png和0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png都是非零向量，则word/media/image312.gifce0e4ad4d25ba51d2f362e8de37813ed.png．word/media/image314.gif当8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png与0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png同向时，df97529878566862eed1f50f58ed0a46.png；当8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png与0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png反向时，c8e353900c4edcd67093c473b4b0db0b.png；6f7e3c150bd28b7362980da3f828069b.png或1b31cb6a92b26e85d75b13291c7ef5ee.png．word/media/image316.gif 899aafb51b02092904b04d775e59b528.png．

word/media/image379.gif运算律：word/media/image312.gif 6775fed957997b28389f723b0e4286d8.png；word/media/image314.gif 7f8cac315dcbbc4375b36dada6cd5c56.png；word/media/image316.gif 7dc32e5b667bb2fef7140ee4ac29952b.png．

word/media/image382.gif坐标运算：设两个非零向量5cfc6cbf1b130b0cd73a6d6c92ea9699.png，ccdcc6b38572090cf6d9257f8e8c94f9.png，则51c44f7af542e497d03a3de925c8d132.png．

若1c8d3ce23ddd2926c1bdcd90e3399080.png，则62f93bc302d2db5d315836533e75eb5f.png，或54f4f0f71bb3d36e277a9f59e451ddd3.png．

设5cfc6cbf1b130b0cd73a6d6c92ea9699.png，ccdcc6b38572090cf6d9257f8e8c94f9.png，则3073542d18fb3a80969f8799316b095a.png．

设8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png、0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png都是非零向量，5cfc6cbf1b130b0cd73a6d6c92ea9699.png，ccdcc6b38572090cf6d9257f8e8c94f9.png，7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png是8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png与0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png的夹角，则9135abfceb5ecd0516c784af27e084b8.png．

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

word/media/image377.gifc9548f58da0e813845245e8503a7bb77.png；

word/media/image378.gif6ae73d0e8bf2172b669eba2759315e31.png；

word/media/image379.gif53be5ab0e770a2d51118e9954769262c.png；

word/media/image382.gif714b7c1f8441fe977db63b6c8de1c6fd.png；

word/media/image386.gifefb00ec127f31b1f0a96a2faa2033720.png（bba6845a9f491cb161cb4b3784a23891.png）；

word/media/image480.gif742e96d3deff4bd259cc0ae8ab42df64.png（428565dddc2cb3c0d8b86a21b32e069a.png）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

word/media/image377.gifecd15780f55347ab887289256f2baa37.png．

word/media/image378.gifb6dbd85fa17003540faf928b01fac822.png（7c04a00afa89bd5469d177d80c876882.png，ea8d9795da4d8c00cd5909ff3840ffdc.png）．

word/media/image379.gif3a2e1cddc1d990e4d59f290faf85e0e8.png．

26、a643555ffb8e01b6cd68c2ee40592fd6.png，其中e8d1b2bba7670867c0e7139025bd4cfb.png．

高中数学必修5知识点

1、正弦定理：在ef8a1db1d42046fc43215cf07500e048.png中，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png、4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png分别为角eaa42838a486e2ad3a385b26516af2a5.png、3aaa277e8dbff354536c8feb491e3785.png、0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的对边，e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png为ef8a1db1d42046fc43215cf07500e048.png的外接圆的半径，则有b40be9d595d2d55232af719430d1cc3b.png．

2、正弦定理的变形公式：word/media/image312.gif 5283601741ce05a1047d7ed37e8e52cf.png，e3640174227271494d50d756eb188882.png，4f45cc7b362549e67e0c0c752f3b5b0b.png；

word/media/image314.gifaa8b6a80162bff11c33a78e068194f2a.png，7f2ec2f5751ceaeeb697b996c7b31801.png，ef8c48265bbf187b1d5726c6fbf2bc43.png；

word/media/image316.gifce1f04784a321d262443b79136e2d235.png；

word/media/image318.gif3b122519cd70855b301aa6b97aefe2f6.png．

3、三角形面积公式：1a3bc2c81f056ef9f1b4edc282ef58ab.png．

4、余弦定理：在ef8a1db1d42046fc43215cf07500e048.png中，有3713b16060701418daf52434bf515273.png，37ff322dc9f3e3db19dc5159a3586178.png，

e8c5fc33ca5e71b23433548560bfe291.png．

5、余弦定理的推论：6cc07839d51b93993b5162c0236f03fd.png，7c448571a1e6270eb7eb51f2867080c8.png，7cfc4d0b85f2c77418879f67a3fec561.png．

6、设0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png、4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png是ef8a1db1d42046fc43215cf07500e048.png的角eaa42838a486e2ad3a385b26516af2a5.png、3aaa277e8dbff354536c8feb491e3785.png、0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的对边，则：word/media/image312.gif若dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png，则3753aac2e76e33ebd0a23ec7c2bf05d3.png；

word/media/image314.gif若181f82de161759a7249e2048764b1156.png，则02d27bd04966031d668c30463eea30cc.png；word/media/image316.gif若4ed6c34b6856347835c29b386a7c79f3.png，则a7ab0b0a0b9425e155aaba541acdaab0.png．

7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

8、数列的项：数列中的每一个数．

9、有穷数列：项数有限的数列．

10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

13、常数列：各项相等的数列．

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

15、数列的通项公式：表示数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的第7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项与序号7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png之间的关系的公式．

16、数列的递推公式：表示任一项9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png与它的前一项7aeb2d010ba44e46922e3a8719744344.png（或前几项）间的关系的公式．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

18、由三个数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，eaa42838a486e2ad3a385b26516af2a5.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则eaa42838a486e2ad3a385b26516af2a5.png称为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png与92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的等差中项．若abf0600bb2a0ac2d300f00a9b81353f8.png，则称92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png与4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png的等差中项．

19、若等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的首项是8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，公差是8277e0910d750195b448797616e091ad.png，则a82a5f7e87363c841329554705f8a01b.png．

20、通项公式的变形：word/media/image312.gif abdcb3722912d27ccf5b5de9821b5560.png；word/media/image314.gif 2c871982cf9c3d9b24d682182bddc47c.png；word/media/image316.gif 023496e040faf78d2cd58bcdc3f36c3c.png；

word/media/image318.gifbd52dd844307de69c0660eab0a01a95a.png；word/media/image320.gif 605e60189443a4a8fd6333fca220f8b2.png．

21、若02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等差数列，且0416eb118b32ddaae46ed036fd3dfc91.png（6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png、7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png、83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png、67d8328cc07cb6710e21e5c67d307a55.png），则be45271c89b42face8bc16e84fb426a4.png；若02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等差数列，且9e63e548e0a3c2f4884b4938c1fab91d.png（7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png、83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png、67d8328cc07cb6710e21e5c67d307a55.png），则9e61c00e605f28aa998c142fe5cd3ca6.png．

22、等差数列的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和的公式：word/media/image312.gif bbf4864691eb7303c050700872e02721.png；word/media/image314.gif ccd9fbb35dcfc695adfce06cc344cf74.png．

23、等差数列的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和的性质：word/media/image312.gif若项数为9d5d170c4b0feaa0e14a9e109301e948.png，则137c84f712825d679caa966fd0cf82fe.png，且5f9e1398a9de9e4db8e3a762481dacea.png，41b646c88ac117070e82c5766a774e0a.png．

word/media/image314.gif若项数为584972f76ce6262bcd814111dd1146ca.png，则7721098778750bd94a7d028299d19676.png，且728d64a8a7da2556978fa7d10e01e9ff.png，fb44d382180a2d544ebe6bde40bb54c1.png（其中acf21ed4d51b31521d264b47b6041b39.png，9d9fa507e0a0ef7ea412d4f6f45fd3b1.png）．

24、如果一个数列从第c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

25、在0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png与92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png中间插入一个数dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png，使0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png成等比数列，则dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png称为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png与92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的等比中项．若90112365cc52a44f43569772047941a1.png，则称dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png与92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的等比中项．

26、若等比数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的首项是8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，公比是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png，则eba75b7dc7038d3178456768dc043898.png．

27、通项公式的变形：word/media/image312.gif f6433dbe9d580df069a22dc40d89fb06.png；word/media/image314.gif 692cd50e7dd0a3e926291c9ec3ef2b6b.png；word/media/image316.gif aa3d78c3f5b644e080ade8b4de885edd.png；word/media/image318.gif df37d9c3a79f83b2bcf408b21d9d16c8.png．

28、若02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等比数列，且0416eb118b32ddaae46ed036fd3dfc91.png（6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png、7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png、83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png、67d8328cc07cb6710e21e5c67d307a55.png），则8859f2e3548b623eb925e06f64a8f3fc.png；若02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等比数列，且9e63e548e0a3c2f4884b4938c1fab91d.png（7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png、83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png、67d8328cc07cb6710e21e5c67d307a55.png），则39714847881d0a67cfd60dc620fff860.png．

29、等比数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和的公式：96e17f072200d783820cfd1cab096488.png．

30、等比数列的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和的性质：word/media/image312.gif若项数为9d5d170c4b0feaa0e14a9e109301e948.png，则04471536d6b545496b582814dbe6b39c.png．

word/media/image314.gif9043b46520058726eb8f5d34d7618045.png．

word/media/image316.gif5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png，02d94a625ed5991f8621a2abe991d116.png，64c5e119381b57181cfb75becfe4d629.png成等比数列．

31、7ea23e011a107eb815bf6df677dfa65c.png；594f9cf8b984a16ab8b26f8c476f60bb.png；a72f32589ab5e3ee5301aa1ee9c55269.png．

32、不等式的性质： word/media/image312.gif1c19445386f9413228c70748b6dae38d.png；word/media/image314.gif 58cde7468dc8894d617d6e83e5619707.png；word/media/image316.gif ea8f0c3e860f05a7df6bd3eaa8a2298b.png；

word/media/image318.gif053d5e85e0463a7adf7bee2dd1cba9be.png，77808921fc5fbd90376a52d8417dbc98.png；word/media/image320.gif 97cd9e9261611179577adb91738efaf5.png；

word/media/image612.gif6fcd35e34c4a2a85bd157f471e190cb2.png；word/media/image614.gif e89f6ef3a56612d4bc9ae39d11161b70.png；

word/media/image616.gif1a73edcbcf9bfade195d72fdf415ca1e.png．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png的不等式．

34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png的不等式．

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png和415290769594460e2e485922904f345d.png的取值构成有序数对ac3a0c8ba8841dd4f776bcc0d6c5eea0.png，所有这样的有序数对ac3a0c8ba8841dd4f776bcc0d6c5eea0.png构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线4bc85f15cd3ead0f78b9279451eacd67.png，坐标平面内的点034d49448687e3329d0dc84704b0a0ef.png．

word/media/image312.gif若f93365f33c0e7a74f51c00ddbf938d4d.png，b3d2c364f035fcb9dbf0d4f02d941e35.png，则点034d49448687e3329d0dc84704b0a0ef.png在直线4bc85f15cd3ead0f78b9279451eacd67.png的上方．

word/media/image314.gif若f93365f33c0e7a74f51c00ddbf938d4d.png，009645bfc4170595aaed7dcfabbfc5e1.png，则点034d49448687e3329d0dc84704b0a0ef.png在直线4bc85f15cd3ead0f78b9279451eacd67.png的下方．

39、在平面直角坐标系中，已知直线4bc85f15cd3ead0f78b9279451eacd67.png．

word/media/image312.gif若f93365f33c0e7a74f51c00ddbf938d4d.png，则ffe2e705a8c19c7c601ccfa58f8532b3.png表示直线4bc85f15cd3ead0f78b9279451eacd67.png上方的区域；d021f469e33c9d41244e9d02ce07db81.png表示直线4bc85f15cd3ead0f78b9279451eacd67.png下方的区域．

word/media/image314.gif若c546540b203f8b424f09608ab9561daf.png，则ffe2e705a8c19c7c601ccfa58f8532b3.png表示直线4bc85f15cd3ead0f78b9279451eacd67.png下方的区域；d021f469e33c9d41244e9d02ce07db81.png表示直线4bc85f15cd3ead0f78b9279451eacd67.png上方的区域．

40、线性约束条件：由9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png的不等式（或方程）组成的不等式组，是9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png的解析式．

线性目标函数：目标函数为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解ac3a0c8ba8841dd4f776bcc0d6c5eea0.png．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

41、设0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png是两个正数，则2caf6623a46275608d82afb17ce70ea9.png称为正数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的算术平均数，9b60fb9f15ff81cd3f96ee290618864d.png称为正数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的几何平均数．

42、均值不等式定理：若323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，539fa66a54d60fdbd6278ccebed13ddd.png，则e478d2a830d43ed3499ff5594d3930cf.png，即5c300f2e30d6778119a75058226b5525.png．

43、常用的基本不等式：word/media/image312.gif 85516b242e3d7b8dca1f62eeb8686440.png；word/media/image314.gif 39c02d202c80c0fe901188c241b3cfb7.png；

word/media/image316.gif78479788133353549853ec78485d2000.png；word/media/image318.gif 2618d95b6fce132e3909e877b5488ff3.png．

44、极值定理：设9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png、415290769594460e2e485922904f345d.png都为正数，则有

word/media/image377.gif若4277217b14fcc4d4fcc3f1be90a62490.png（和为定值），则当919860b52317a584e5de6f3257631d16.png时，积3e44107170a520582ade522fa73c1d15.png取得最大值d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png．

word/media/image378.gif若80403af74127f4144e58b8992f25edf0.png（积为定值），则当919860b52317a584e5de6f3257631d16.png时，和45df18c90c71ea2066f8596159e11288.png取得最小值71a03fd4685796c58a747022d5487743.png．

部分选修模块知识点总结

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）

高三数学备课组

椭圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png上，则过13899aa46204b02713a854702142955d.png的椭圆的切线方程是63a525a4088c8547cbeaf77da9575b67.png.

6. 若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是63a525a4088c8547cbeaf77da9575b67.png.

7. 椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点4ffaaa513dd1316df8be248b83f830ee.png，则椭圆的焦点角形的面积为d8a1d9df00753b0a4eed4f1d885c8d8d.png.

8. 椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0）的焦半径公式：

e4b489ece61c96a9f60e9f01c3ef6b87.png,5c12eab8f7f34f6b11e19547103821e1.png(b2b36be2c658b34023a05d2b691a511a.png , 4702529e9c7ce8371637fae82ccf0747.png70d3efd00780cbdcf86fd855877c442f.png).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11. AB是椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png的不平行于对称轴的弦，Mfc6c713e7eb34f6cb756d754fc2f61db.png为AB的中点，则e00e12baaafc5e627d0e5ff04468b88d.png，

即9fb6c9b8ab88479e1b3d735b29322fd5.png。

12. 若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png内，则被Po所平分的中点弦的方程是8c635efdbd3fdeaf4bd3fe27e9677662.png.

13. 若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png内，则过Po的弦中点的轨迹方程是b637571dc64e22090dcf37aa64f6813f.png.

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

5. 若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）上，则过13899aa46204b02713a854702142955d.png的双曲线的切线方程是9d2dd0992b4d6411cc89877d5800b417.png.

6. 若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是9d2dd0992b4d6411cc89877d5800b417.png.

7. 双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点4ffaaa513dd1316df8be248b83f830ee.png，则双曲线的焦点角形的面积为46c537cd258d231b0a9226f3ece34ef2.png.

8. 双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(b2b36be2c658b34023a05d2b691a511a.png , 4702529e9c7ce8371637fae82ccf0747.png

当70d3efd00780cbdcf86fd855877c442f.png在右支上时，0931cca22258b655730091ef80553208.png,e4c9036d215fcd645b36ede6250da9b4.png.

当70d3efd00780cbdcf86fd855877c442f.png在左支上时，e67924011c73192d9190f24d81cbc73e.png,e68297b7934067bb8fe806cc08271b83.png

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11. AB是双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，Mfc6c713e7eb34f6cb756d754fc2f61db.png为AB的中点，则7a7c0e69de8dc44306de7b7e20990a47.png，即d3f030e1eb6efead6fe2b28cdeca148d.png。

12. 若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2aa23bd15b8fab3ffc662da3c456b69c.png.

13. 若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是023b80aa9868aa9dcfba1696dc3b262f.png.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

椭圆

1. 椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞o）的两个顶点为fdc337bc3bf575f3087b34775f9b4729.png,a5691ec7212cdd7cf99cbf886942a79c.png，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png.

2. 过椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png (a＞0, b＞0)上任一点54dc9ca4245caae78b461320b6392001.png任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且2301f41645a36db70cb509bd5ee3c887.png（常数）.

3. 若P为椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, 317935b7909c4755d9315cf7fb07acd7.png, 9d7a91e4cc2291629419a9bc89f8d189.png，则c2ae94cbdd2de4713b60b739a38cad9a.png.

4. 设椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记11335cd92814e7c4d4ed1f779b0a16a7.png, c68a59f8e8fadf85302a95511b3e4075.png,e294f849e3a543519befabd1f56fa2a5.png，则有a434e60759d2e0065c42740e2c5d3ca8.png.

5. 若椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤c8168f582ccafb1cc49f0ef6d5a66f3b.png时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6. P为椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则64c13702c282ab1e78e2ec05606d3802.png,当且仅当cce6a2b940b395e52b3e0860a05e976a.png三点共线时，等号成立.

7. 椭圆e7fbf47aca99202138437c4439542393.png与直线a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png有公共点的充要条件是bb797327fc9ba28febcf23ee39e6e107.png.

8. 已知椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且9d0e7f0b419d2fbebadd5c7c40c66a43.png.（1）5aa261c68b73e66419360c01c089eacc.png;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为369d12467bf2c46280b84d632a3b3221.png;（3）4424f688d053300b486e5f50fa492c61.png的最小值是65d8ba85ce998d58e7efc23a61930c9a.png.

9. 过椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则2d58f9445737941921b98db48d304409.png.

10. 已知椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点7b0207925e26d6352e1016d1de34013e.png, 则8d11b1a319134ecae3e4e7e07753506c.png.

11. 设P点是椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记d4d509eda8906c6e11c38f14de30152f.png，则(1)d6e002c9802d1305ae34522c83741d26.png.(2) c12fc01b86795b754b2541a60629eb1a.png.

12. 设A、B是椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，652400af54fd5dd0c2dd26bb63d20415.png, 1f9670f1569388ab9c6805157cd5610e.png,03b6009b71dff54da8df240dcef26d65.png，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)be1c45fcb6e8aad797787a5ca54c6521.png.(2) ac48500b69f6a42734da9db335c0091c.png.(3) 8ba496b357cce8ff04a947e8a4e4ddc0.png.

13. 已知椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（ a＞b＞0）的右准线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与x轴相交于点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，过椭圆右焦点800618943025315f869e4e1f09471012.png的直线与椭圆相交于A、B两点,点0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png在右准线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png上，且fa25a808dce7bec83eb0d0773afadedb.png轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

1. 双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的两个顶点为fdc337bc3bf575f3087b34775f9b4729.png,a5691ec7212cdd7cf99cbf886942a79c.png，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png.

2. 过双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞o）上任一点54dc9ca4245caae78b461320b6392001.png任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且cc8166fb11fca9b8f2aea7e2ad97338d.png（常数）.

3. 若P为双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, 317935b7909c4755d9315cf7fb07acd7.png, 9d7a91e4cc2291629419a9bc89f8d189.png，则7e49ba5875ba705161e955f1af1bb27b.png（或964221603e94279c1032f96bbc2ad296.png）.

4. 设双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记11335cd92814e7c4d4ed1f779b0a16a7.png, c68a59f8e8fadf85302a95511b3e4075.png,e294f849e3a543519befabd1f56fa2a5.png，则有26fc812969317b3147f97caec8c0ebf2.png.

5. 若双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤4bc3c43b38c136cb7a40b233c50b591e.png时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6. P为双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则c1dbb4e7875ac5434bb469f1fd4fcc4f.png,当且仅当cce6a2b940b395e52b3e0860a05e976a.png三点共线且44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png和e891d5cb337d9f6a723c23a5f52df883.png在y轴同侧时，等号成立.

7. 双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）与直线a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png有公共点的充要条件是08797f8ed151fa903fd322f14dc0d2fa.png.

8. 已知双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且9d0e7f0b419d2fbebadd5c7c40c66a43.png.

（1）c902378febe412be9f5cd15e15741005.png;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为5abc89b0883cd1f421df91030f969318.png;（3）4424f688d053300b486e5f50fa492c61.png的最小值是9a73e81968a35a1176facd27a977530b.png.

9. 过双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则2d58f9445737941921b98db48d304409.png.

10. 已知双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点7b0207925e26d6352e1016d1de34013e.png, 则ae085fae28bc551b3e24c96bc0205908.png或b869242f3eca8aa30dc5906431a07015.png.

11. 设P点是双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记d4d509eda8906c6e11c38f14de30152f.png，则(1)9ea8f836cc8b747228f9b85f6486d9c9.png.(2) 50fdeb0b0ffff63590bc86668119a3dd.png.

12. 设A、B是双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，652400af54fd5dd0c2dd26bb63d20415.png, 1f9670f1569388ab9c6805157cd5610e.png,03b6009b71dff54da8df240dcef26d65.png，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)e913a51b6df125dd9b58edae5bb2bd41.png.

(2) ac48500b69f6a42734da9db335c0091c.png.(3) dafbf975ddf98a04f868fd985086e034.png.

13. 已知双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的右准线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与x轴相交于点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，过双曲线右焦点800618943025315f869e4e1f09471012.png的直线与双曲线相交于A、B两点,点0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png在右准线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png上，且fa25a808dce7bec83eb0d0773afadedb.png轴，则直线AC经过线段EF 的中点.