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应用多元统计分析第二章习题解答-

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2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。
设 ， 是p维随机向量，称由它的q（）个分量组成的子向量
， 的分布为 的边缘分布，相对
地把 的分布称为联合分布。
当 的分布函数为F ， 时， 的分布函数即边缘分布函数为F ， =P( = F ，
当X有分布密度f（ ， ）则 也有分布密度，即边缘密度函数为：f（ ， ）= （ ， ） 2.2 设随机向量 服从二元正态分布，写出其联合分布密度函数和 各自的边缘密度函数。 联合分布密度函数





















，

0 , 其他


















==




























（


）







所以指数部分变为





令t=



























=exp[ ]


=
exp[




] ，

0 ，其他 同理，
= 0 ，其他
2.3 已知随机向量 的联合分布密度函数为



exp[




] ，

,其中, 。求：
（1） 随机变量各自的边缘密度函数、均值与方差。
解 =
=



：

















同理，

=
=






baEx1x1f1x1x1同理可得Ex21ab dx1ba2cd
2
Dx1x1Ex12ab ab1f1x1dx1x1dx1a2ba12b222cd同理可得Dx2
12（2） 随机变量的协方差和相关系数。 E( = E( = E(







=






= = =





E( =



D( E( D( E(



Cov E( E( =









.=






=


=



（3） 判断是否独立。





不相互独立。
2.4设随机向量 ， 服从正态分布，已知其协差阵为对角阵，证明的分量是相互独立的随机变量。



Σ= Σ

Σ
Σ
Σ 与 不相关

又 ， 服从正态分布
与 相互独立。（ ， ， ， ， ， ）
2.5 解： 依据题意，X=







E(X=

D(X=






111注：利用 Xp1X1n, SX(In1n1nX 其中 Innn00 1在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：
1. 选择菜单项Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打开Descriptives对话框。将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。



图2.1 Descriptives对话框

2. 单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。



图2.2 Options子对话框


3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。

表2.1 样本均值向量
在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下：
1. 选择菜单项Analyze→Correlate→Bivariate，打开Bivariate Correlations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。



图2.3 Bivariate Correlations对话框

2. 单击Options按钮，打开Options子对话框。选择Cross-product deviations and covariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。


图2.4 Options子对话框

3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，Pearson Correlation为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products为样本离差阵。）




2.6均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？
1．E(Xμ，即X是μ的无偏估计；
n11Σ，即S不是Σ的无偏估计， nn11 而E(SΣ，即S是Σ的无偏估计；
n1n112．X，S分别是μ，Σ的有效估计；
n1113．X，S（或。 S）分别是μ，Σ的一致估计（相合估计）nn1 E(S1nE(Xμ ）

） Σ
2.7 试证多元正态总体 的样本均值向量
证明： （ ）（
）


（ ）




（ ）











2.8 试证多元正态总体 的样本协差阵 计。
证明：E(


为
的无偏估 =


=


= =



=




是 的无偏估计，S=n 为 的无偏估计
2.9 设 是从多元正态总体
中独立抽取的一
个随机样本，试求样本协差阵
 的分布。
解： X(a~Np(μ,Σ，a1,2,,n且相互独立，则样本离
1n差阵S(X(aX(X(aX~Wp(n1,Σ，其中XX(a
na1a1n 样本协差阵
的分布为 (1,
2.10 设 是来自 的数据阵，i=1,2, ,k （1）已知 且 ，求 和 的估计。 （2）已知 ，求 ， ， 和 的估计。

这道题我对自己的答案不是很确定。


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/96d2fc2bbd64783e09122b76.html

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