护理小讲课题目汇总

专题八 立体几何

第二十四讲 空间向量与立体几何

答案部分

2019年

1.解析：（1）连结B1C，ME．

因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=word/media/image1_1.pngB1C．

又因为N为A1D的中点，所以ND=word/media/image1_1.pngA1D．

由题设知A1B1word/media/image2_1.pngDC，可得B1CA1D，故MEword/media/image4_1.pngND，

因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．

又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．

（2）由已知可得DE⊥DA．

以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

word/media/image7_1.png

则word/media/image8_1.png，A1(2,0,4)，word/media/image9_1.png，，word/media/image11_1.png，，word/media/image13_1.png，word/media/image14_1.png．

设为平面A1MA的法向量，则word/media/image16_1.png，

所以可取word/media/image18_1.png．

设为平面A1MN的法向量，则word/media/image20_1.png

所以可取word/media/image22_1.png．

于是word/media/image23_1.png，

所以二面角word/media/image24_1.png的正弦值为word/media/image25_1.png．

2.解析：（I）因为word/media/image26_1.png平面，所以word/media/image28_1.png.

又因为word/media/image29_1.png，所以word/media/image30_1.png.平面word/media/image31_1.png，

（II）过A作AD的垂线交BC于点M，因为word/media/image26_1.png平面，所以word/media/image32_1.pngword/media/image33_1.png，如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）.

所以，word/media/image35_1.png, word/media/image36_1.png.

所以word/media/image37_1.png，word/media/image38_1.png

设平面AEF的法向量为，则

word/media/image40_1.png，即.

令z=1,则y=-1,x=-1.于是word/media/image42_1.png.

又因为平面PAD的法向量为，所以.

因为二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为word/media/image45_1.png

word/media/image46.emf

（III）直线AG在平面AEF内，因为点G在PB上，且word/media/image47_1.pngword/media/image48_1.png

所以，.

由（II）知，平面AEF的法向量为word/media/image42_1.png，

所以word/media/image51_1.png，所以直线AG在平面AEF内.

3.解析：方法一：

（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1Eword/media/image52_1.png平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.

又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F.

所以BC⊥平面A1EF.

因此EF⊥BC.

（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．

由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．

由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.

连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.

不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.

由于O为A1G的中点，故word/media/image55_1.png，

所以．

因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是word/media/image57_1.png．

方法二：

（Ⅰ）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1Eword/media/image52_1.png平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC.

如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.

不妨设AC=4，则

A1（0，0，2），B（，1，0），word/media/image60_1.png，，C(0，2，0).

因此，word/media/image62_1.png，．

由word/media/image64_1.png得word/media/image65_1.png．

（Ⅱ）设直线EF与平面A1BC所成角为，

由（Ⅰ）可得，word/media/image67_1.png，

设平面A1BC的法向量为，

由word/media/image69_1.png，得，

取word/media/image71_1.png，故.

因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为word/media/image73_1.png.

4.证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以A1B1∥ED.

又因为ED⊂平面DEC1，A1B1word/media/image74_1.png平面DEC1，

所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.

又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.

因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，

所以BE⊥平面A1ACC1.

因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.

32.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

5.解析（1）由已知得ADword/media/image77_1.pngBE，CGword/media/image77_1.pngBE，所以ADword/media/image77_1.pngCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．

由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．

又因为ABword/media/image79_1.png平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．

（2）作EHBC，垂足为H．因为EHword/media/image79_1.png平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．

由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=word/media/image80_1.png．

以H为坐标原点，word/media/image81_1.png的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系word/media/image82_1.png，

则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，word/media/image84_1.png），=（1，0，word/media/image84_1.png），word/media/image86_1.png=（2，–1，0）．

设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则

word/media/image87_1.png即

所以可取n=（3，6，–word/media/image89_1.png）．

又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以．

因此二面角B–CG–A的大小为30°．

6.解析：（1）由已知得，word/media/image91_1.png平面，word/media/image93_1.png平面word/media/image94_1.png，

故word/media/image91_1.png．

又word/media/image96_1.png，所以平面word/media/image98_1.png．

（2）由（1）知word/media/image99_1.png．由题设知，所以word/media/image101_1.png，

故，word/media/image103_1.png．

以为坐标原点，word/media/image105_1.png的方向为x轴正方向，word/media/image106_1.png为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

word/media/image107_1.png

则C（0，1，0），B（1，1，0），word/media/image108_1.png（0，1，2），E（1，0，1），word/media/image109_1.png，word/media/image110_1.png，word/media/image111_1.png．

设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则

即

所以可取n=word/media/image114_1.png.

设平面的法向量为m=（x，y，z），则

word/media/image116_1.png即

所以可取m=（1，1，0）．

于是word/media/image118_1.png．

所以，二面角的正弦值为word/media/image120_1.png．

7.解析：（I）因为word/media/image26_1.png平面，所以word/media/image28_1.png.

又因为word/media/image29_1.png，所以word/media/image30_1.png.平面word/media/image31_1.png，

（II）过A作AD的垂线交BC于点M，因为word/media/image26_1.png平面，所以word/media/image32_1.pngword/media/image33_1.png，如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）.

所以，word/media/image35_1.png, word/media/image36_1.png.

所以word/media/image37_1.png，word/media/image38_1.png

设平面AEF的法向量为，则

word/media/image40_1.png，即.

令z=1,则y=-1,x=-1.于是word/media/image42_1.png.

又因为平面PAD的法向量为，所以.

因为二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为word/media/image45_1.png

word/media/image46.emf

（III）直线AG在平面AEF内，因为点G在PB上，且word/media/image47_1.pngword/media/image48_1.png

所以，.

由（II）知，平面AEF的法向量为word/media/image42_1.png，

所以word/media/image51_1.png，所以直线AG在平面AEF内.

8.解析：方法一：

（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1Eword/media/image52_1.png平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.

又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F.

所以BC⊥平面A1EF.

因此EF⊥BC.

（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．

由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．

由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.

连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.

不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.

由于O为A1G的中点，故word/media/image55_1.png，

所以．

因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是word/media/image57_1.png．

方法二：

（Ⅰ）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1Eword/media/image52_1.png平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC.

如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.

不妨设AC=4，则

A1（0，0，2），B（，1，0），word/media/image60_1.png，，C(0，2，0).

因此，word/media/image62_1.png，．

由word/media/image64_1.png得word/media/image65_1.png．

（Ⅱ）设直线EF与平面A1BC所成角为，

由（Ⅰ）可得，word/media/image67_1.png，

设平面A1BC的法向量为，

由word/media/image69_1.png，得，

取word/media/image71_1.png，故.

因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为word/media/image73_1.png.

9.解析（1）由已知得ADword/media/image77_1.pngBE，CGword/media/image77_1.pngBE，所以ADword/media/image77_1.pngCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．

由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．

又因为ABword/media/image79_1.png平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．

（2）作EHBC，垂足为H．因为EHword/media/image79_1.png平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．

由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=word/media/image80_1.png．

以H为坐标原点，word/media/image81_1.png的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系word/media/image82_1.png，

则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，word/media/image84_1.png），=（1，0，word/media/image84_1.png），word/media/image86_1.png=（2，–1，0）．

设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则

word/media/image87_1.png即

所以可取n=（3，6，–word/media/image89_1.png）．

又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以．

因此二面角B–CG–A的大小为30°．

10.解析：（1）由已知得，word/media/image91_1.png平面，word/media/image93_1.png平面word/media/image94_1.png，

故word/media/image91_1.png．

又word/media/image96_1.png，所以平面word/media/image98_1.png．

（2）由（1）知word/media/image99_1.png．由题设知，所以word/media/image101_1.png，

故，word/media/image103_1.png．

以为坐标原点，word/media/image105_1.png的方向为x轴正方向，word/media/image106_1.png为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

word/media/image107_1.png

则C（0，1，0），B（1，1，0），word/media/image108_1.png（0，1，2），E（1，0，1），word/media/image109_1.png，word/media/image110_1.png，word/media/image111_1.png．

设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则

即

所以可取n=word/media/image114_1.png.

设平面的法向量为m=（x，y，z），则

word/media/image116_1.png即

所以可取m=（1，1，0）．

于是word/media/image118_1.png．

所以，二面角的正弦值为word/media/image120_1.png．

11.解析：（1）连结B1C，ME．

因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=word/media/image1_1.pngB1C．

又因为N为A1D的中点，所以ND=word/media/image1_1.pngA1D．

由题设知A1B1word/media/image2_1.pngDC，可得B1CA1D，故MEword/media/image4_1.pngND，

因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．

又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．

（2）由已知可得DE⊥DA．

以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

word/media/image7_1.png

则word/media/image8_1.png，A1(2,0,4)，word/media/image9_1.png，，word/media/image11_1.png，，word/media/image13_1.png，word/media/image14_1.png．

设为平面A1MA的法向量，则word/media/image16_1.png，

所以可取word/media/image18_1.png．

设为平面A1MN的法向量，则word/media/image20_1.png

所以可取word/media/image22_1.png．

于是word/media/image23_1.png，

所以二面角word/media/image24_1.png的正弦值为word/media/image25_1.png．

12.解析：（I）因为word/media/image26_1.png平面，所以word/media/image28_1.png.

又因为word/media/image29_1.png，所以word/media/image30_1.png.平面word/media/image31_1.png，

（II）过A作AD的垂线交BC于点M，因为word/media/image26_1.png平面，所以word/media/image32_1.pngword/media/image33_1.png，如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）.

所以，word/media/image35_1.png, word/media/image36_1.png.

所以word/media/image37_1.png，word/media/image38_1.png

设平面AEF的法向量为，则

word/media/image40_1.png，即.

令z=1,则y=-1,x=-1.于是word/media/image42_1.png.

又因为平面PAD的法向量为，所以.

因为二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为word/media/image45_1.png

word/media/image46.emf

（III）直线AG在平面AEF内，因为点G在PB上，且word/media/image47_1.pngword/media/image48_1.png

所以，.

由（II）知，平面AEF的法向量为word/media/image42_1.png，

所以word/media/image51_1.png，所以直线AG在平面AEF内.

13.解析 依题意，可以建立以word/media/image121_1.png为原点，分别以的方向为word/media/image123_1.png轴，word/media/image124_1.png轴，word/media/image125_1.png轴正方向的空间直角坐标系，如图所示，可得，word/media/image127_1.png.设word/media/image128_1.png，则.

（Ⅰ）依题意，word/media/image130_1.png是平面的法向量，又word/media/image132_1.png，可得word/media/image133_1.png，又因为直线word/media/image134_1.png平面word/media/image135_1.png，所以word/media/image136_1.png平面.

（Ⅱ）依题意，word/media/image138_1.png.

设为平面word/media/image140_1.png的法向量，则，即word/media/image142_1.png，不妨令word/media/image143_1.png，

可得.因此有word/media/image145_1.png.

所以，直线与平面word/media/image147_1.png所成角的正弦值为.

（Ⅲ）设word/media/image149_1.png为平面word/media/image150_1.png的法向量，则，即word/media/image152_1.png，

不妨令，可得.

由题意，有word/media/image155_1.png，解得word/media/image156_1.png.经检验，符合题意.

所以，线段的长为word/media/image158_1.png.

2010-2018年

1．【解析】(1)由已知可得，7b8d2f92148f52cad46e331936922e80.png⊥21080924b5d026e4a6011eb987ae1ec8.png，7b8d2f92148f52cad46e331936922e80.png⊥2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png，所以7b8d2f92148f52cad46e331936922e80.png⊥平面PEF．

又7b8d2f92148f52cad46e331936922e80.pngc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面9d19d7f014d8225539ffb111d82550c6.png，所以平面5a424e50ffdca719329d9ab07625d5ef.png⊥平面9d19d7f014d8225539ffb111d82550c6.png．

(2)作a25496ebf095e4198da4088449c83ac6.png⊥2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png，垂足为c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png．由(1)得，a25496ebf095e4198da4088449c83ac6.png⊥平面9d19d7f014d8225539ffb111d82550c6.png．

以c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png为坐标原点，bee4ab29af85d078705c603a37c438ee.png的方向为415290769594460e2e485922904f345d.png轴正方向，877e7f59bcbaa9c383d58ae5017a7c9d.png为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系06e42446644bbcc58ce8a965a120e66d.png．

word/media/image175_1.png

由(1)可得，3a52f3c22ed6fcde5bf696a6c02c9e73.png⊥3acf83834396fa1c878707132ead62b8.png．又e2fca8135c2fadca093abd79a6b1c0d2.png=2，3a52f3c22ed6fcde5bf696a6c02c9e73.png=1，所以3acf83834396fa1c878707132ead62b8.png=91a24814efa2661939c57367281c819c.png．

又21080924b5d026e4a6011eb987ae1ec8.png=1，2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png=2，故3acf83834396fa1c878707132ead62b8.png⊥21080924b5d026e4a6011eb987ae1ec8.png．

可得20a1521754ec296d12ae43075f0d78aa.png,7c7ff0e6675d804fe2447626a5c23321.png．

则caf61d97ca723e3aad19440a243ecb1e.png，fa3a2e3a6ef8ee1916dc9ef7dc8797f6.png，3f99cb62a1f51fa28334bdfcee3005d0.png，eec7e4f24dc0273f31d5ffc99910e4b8.png，

9ed133581d711706f42931d1cee40ad3.png为平面9d19d7f014d8225539ffb111d82550c6.png的法向量．

设e2fca8135c2fadca093abd79a6b1c0d2.png与平面9d19d7f014d8225539ffb111d82550c6.png所成角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，则6c4e1d1713b939e0b52898f8162e08f0.png．

所以e2fca8135c2fadca093abd79a6b1c0d2.png与平面9d19d7f014d8225539ffb111d82550c6.png所成角的正弦值为75276e5ef991e623587b42b4b08f7665.png．

2．【解析】(1)在三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png中，

∵86e43cc8f867b1331bc49e439e8afa17.png⊥平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，

∴四边形c7795c0285d9e53e30755b0e87922eed.png为矩形．

又3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，800618943025315f869e4e1f09471012.png分别为4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png，923ac2ea3897049a2180b44d6b91f675.png的中点，

∴4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png⊥2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png．

∵94623831cd335a1267dd5f75f120b4f5.png．

∴4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png⊥d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png，

∴4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png⊥平面ae69c26035822dcd39df8428d485f8f5.png．

(2)由(1)知4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png⊥2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png，4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png⊥d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png，2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png∥86e43cc8f867b1331bc49e439e8afa17.png．

又86e43cc8f867b1331bc49e439e8afa17.png⊥平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，∴2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png⊥平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png．

∵d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.pngc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，∴2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png⊥d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png．

如图建立空间直角坐称系e98ceca67ca7eee0de4e2afd5437fc92.png．

word/media/image211_1.png

由题意得f747339507ca4ce7eaeb40d74c75a8a1.png，f25fc3dd43165ea7a4099500332fd00c.png，35f04701bbacbe478f506e8a59c66017.png，2266553663696abdb866a8730a559752.png，b8f0256293644f7c86606fc37fac00b3.png．

∴34401a2ee391e643b547a8903b37ae4d.png，36df460607d81908fe79259141c968b1.png，

设平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png的法向量为fc46991b4e26b9092d9c8001bd7a9600.png，

∴8dad891fe74347dddd1d9b227ca85075.png，∴0a802994bde5b4be12ff9fa7204b79a1.png，

令83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png，则4fa2c30c74730418523e9ad5cd4ac6ac.png，167bbac4992c5aba51c5252a0ce4f7c7.png，

∴平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png的法向量7819ded94d70db8fd383d8ea0dfb083d.png，

又∵平面74dd43bef98f265eb6109133090dc7c0.png的法向量为c8dad82927e60af2298760e3cd6f33bb.png，

∴f0e35514b6e9a01c95afab52afd26385.png．

由图可得二面角f135fb82691f18e4ec4260eb2eef1eb8.png为钝角，所以二面角f135fb82691f18e4ec4260eb2eef1eb8.png的余弦值为a2af2ff5d59a05d14d49748413c92d4a.png．

(3)平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png的法向量为7819ded94d70db8fd383d8ea0dfb083d.png，∵b8f0256293644f7c86606fc37fac00b3.png，2266553663696abdb866a8730a559752.png，

∴516627399f1cdf858ed61173c9b8dca4.png，∴9152965958e54c95ab91e91ecf9a4d98.png，∴7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png与0284517d7a38ed5f751727efddf939d5.png不垂直，

∴c07b0b4d7660314f711a68fc47c4ab38.png与平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png不平行且不在平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png内，∴c07b0b4d7660314f711a68fc47c4ab38.png与平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png相交．

3．【解析】(1)因为9559607f0a47e3d856a0c2255a9330e1.png，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png的中点，所以36c5123e9bb22077af7cde02825f9292.png，且9767d9e7811045a23f01e8085ebddbc1.png．

连结02254216324801a8211731781e7eb52e.png．因为6c4d7b8dd23cf9fa2c5133d9295c1cf6.png，所以533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png为等腰直角三角形，

且86ce724a3671d664f8f0e15b6b931ee4.png，27cb0284ab77a67904fd08eefb34d9bf.png．

由a2e6825463b4b28e357c4c50403ba36f.png知370646839ba0fe7c5687070fe70161cf.png．

由2fd0796a4d92008a81d0ea12bbd9b52e.png，36c5123e9bb22077af7cde02825f9292.png知b3918665ee674080bf505e1b2d862187.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png．

(2)如图，以f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为坐标原点，0c2dfad2eb0a96918c3056b5a6bdaa82.png的方向为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴正方向，建立空间直角坐标系a094682bcaa447ec174c8cc223ba1897.png．

word/media/image261.emf

由已知得747bb9304e71de40348c3f7294a32cb8.png，72d84cf8f92acb07276379ceffc40f7c.png，479cb755a5e450f02ab9845002b90fa5.png，bd0864a60a24520666e5dd709c2b06d6.png，ec95a04477a5197a7922eb62c7ffa6a3.png，

b15688ef6b3fb56d27eb1a9b4bc1cac3.png，取平面37e3b0438ab90a43c45f5121e883c4b6.png的法向量058b89edbe25e735b391bbd66b6420fa.png．

设e84c80030e0a985d23d88b9cd41eb86c.png，则7110bb8a0a842eb488977c66a7e37ffd.png．

设平面f2a62109ee6526c8760e4e7497861aac.png的法向量为2e67b921d89e79979e219c2e2eebae1e.png．

由f52734378bba2156ba25bb46fa6b4f6f.png得83a2f8855c143bd3a6eec91479bb5c87.png，可取1c3c6614d63fdc3473981a007c72c7ff.png，

所以f48cf4a80a98abe62aa51e9c81dcb475.png．由已知得cd40e5fff3827fe3c1272f58d17a56e9.png．

所以b4951091b303c59957ae6e1dfb74d717.png．解得d16e273bbc81c8757bfeb5ad272f0e40.png（舍去），50224056db8abe7c0bc0ccf5f53c80e9.png．

所以2837e57aeff2a82b7bfb938506391592.png．又35424d5d3270b639f70beab5b9997d95.png，所以90c5635c4b5abcd704dc8823424c289d.png．

所以88dba0c4e2af76447df43d1e31331a3d.png与平面f2a62109ee6526c8760e4e7497861aac.png所成角的正弦值为75276e5ef991e623587b42b4b08f7665.png．

4．【解析】(1)由题设知，平面a28966bac17b8eef99c5afa5eb594130.png⊥平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，交线为4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png．

因为f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png⊥4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png，f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.pngword/media/image292_1.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，所以f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png⊥平面a28966bac17b8eef99c5afa5eb594130.png，故f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png⊥2ecda7a0252b442ac6ecf47462119f51.png．

因为69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png为be4f3e048ac18dc0950e5aedfe40fb80.png上异于0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png的点，且cf75e54791dd1f49f918345fdfe2430b.png为直径，所以 2ecda7a0252b442ac6ecf47462119f51.png⊥707354872d4e8210a2a573b99721b1fb.png．

又f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png707354872d4e8210a2a573b99721b1fb.png=0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png，所以2ecda7a0252b442ac6ecf47462119f51.png⊥平面396262ee936f3d3e26ff0e60bea6cae0.png．

而2ecda7a0252b442ac6ecf47462119f51.pngword/media/image292_1.png平面48af4341f745163f945fa838eeabb062.png，故平面48af4341f745163f945fa838eeabb062.png⊥平面396262ee936f3d3e26ff0e60bea6cae0.png．

(2)以f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png为坐标原点，caac590f75af16239ddb3791ccb17638.png的方向为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系67b2d8f476e5aa7eedad672998a3a67a.png．

word/media/image312.emf

当三棱锥3eb1f5b854e5d0df7ee5a65a52102476.png体积最大时，69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png为be4f3e048ac18dc0950e5aedfe40fb80.png的中点．

由题设得bf7a5f9c61f3a12dd51d2b554179b429.png，be05d025752199f6ecfd4a9dd220c678.png，0e3eb31b6eac0afcd90b0b27420d9d7c.png，bd0864a60a24520666e5dd709c2b06d6.png，19baa9ef4a8e74aca96f1c06ac134682.png，

8ccf2fbcbc67a750c9adc73610988b9f.png，685470582293071d3d3d72cc200e72f7.png，f19bdd700ff9a7fe9e37a57745df85b4.png

设2e67b921d89e79979e219c2e2eebae1e.png是平面7dd3a243df8d6d4f76d07c88edde12ef.png的法向量，则

即word/media/image326_1.png

可取e6143b4162a00221d9caaf4cb690fa45.png．

caac590f75af16239ddb3791ccb17638.png是平面23d8bc2b33aa76cd40f661c9e181ef67.png的法向量，因此

word/media/image330_1.png，

，

所以面7dd3a243df8d6d4f76d07c88edde12ef.png与面23d8bc2b33aa76cd40f661c9e181ef67.png所成二面角的正弦值是6a6f9d220af34df75ca26ecb8d23f3b0.png．

5．【解析】依题意，可以建立以f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png为原点，分别以caac590f75af16239ddb3791ccb17638.png，07fb1c4c84f46687a17c71b0f2fe7c57.png，1c404ed5000fa870fede863681f2badd.png的方向为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴，415290769594460e2e485922904f345d.png轴，fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得bf7a5f9c61f3a12dd51d2b554179b429.png，be05d025752199f6ecfd4a9dd220c678.png，b3d1f14bbd0ce2ecaa63f09d81b65c9a.png，bd0864a60a24520666e5dd709c2b06d6.png，d6ae0444366381a6eb7cc628cee6f6ce.png，b83862f157dc703967427c1e37b78c4b.png，753943a4e57f7b0ea8d45e7a044388ce.png，297550dc2af7de6af192165ec611b506.png，9679c12279ecd5f223ba8f536050e76e.png．

word/media/image351.emf

(1)证明：依题意1409b45916b700c97f43e690fb9a8b7e.png，96bece399b0deb3b032daed0c2aee0d6.png．设e2e1c26bb95afdc285510068b887c109.png为平面f8e054e3416de72e874492e25c38b3ec.png的法向量，则ca287b868c21958ac496f62c7515746b.png 即1b8292efd34608e2aec919d0ce605641.png 不妨令89c87c76f3352254758aea68b152d727.png，可得d079511643ac453d51e2475e0344813a.png．

又7f50f6805c8307566e98259edaa7f3f7.png，可得0f20dbecd80f3f1ac230fa58a048b96f.png，

又因为直线943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.png平面f8e054e3416de72e874492e25c38b3ec.png，所以943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png∥平面f8e054e3416de72e874492e25c38b3ec.png．

(2)依题意，可得7570c7515b78bde55e0fa812b8929ceb.png，0bad79791c4a8313e24062fa5e4dca0a.png，3e0904f3ab2b90cea628c25151197565.png．

设2e67b921d89e79979e219c2e2eebae1e.png为平面42451d370b188bc4ed2a312be0bd3c49.png的法向量，则05819f5b90db38a87181c08d0a9433ba.png 即1b3b378aae5a0daeb6a5ac6d0818b18a.png

不妨令9360d2c79de73e141e391d96ae0770ba.png，可得013d56652f032571529828b3b1ebc131.png．

设eff7ab3b1ab1d4c03373109915faaf86.png为平面44a5affa9df3e740bcb7835d6e376a28.png的法向量，则314790b56e8df3284b3b9f0a9527bae5.png 即790cf87c6b9ef307b41225ebae7a5741.png

不妨令9360d2c79de73e141e391d96ae0770ba.png，可得b01d6123647adae2f137378aa8cd60ab.png．

因此有b427c398cee68e30a53e0e17597941fa.png，于是5f2777635e2289d92975d58158c2da44.png．

所以，二面角835aa2fc9393d1283344e3e7790203bb.png的正弦值为4c61793172efe8473ab728c439bed102.png．

(3)设线段e2fca8135c2fadca093abd79a6b1c0d2.png的长为2510c39011c5be704182423e3a695e91.png(b59eae49055f5f297030761e0c53147b.png)，则点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的坐标为f50d52d9ac62d72118e3c18cfead98f2.png，可得8a60661948c85af228d1674ff05878f7.png．

易知，1409b45916b700c97f43e690fb9a8b7e.png为平面4f4b31eb7857a64a244472febf850122.png的一个法向量，故

7502ed58f49d908314ef0b5ab32c6d2f.png，

由题意，可得59110eaf73b0c3f51565ad2d056edd5a.png，解得5a4875f7c3ff6868cb4fc0373ad7af62.png．

所以线段e2fca8135c2fadca093abd79a6b1c0d2.png的长为227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png．

6．【解析】如图，在正三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png中，设4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png，923ac2ea3897049a2180b44d6b91f675.png的中点分别为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，48f3e78fb1319ea1c2706c6dac1e9b9a.png，则5cd91372bd7ad36e99a0a105ca3435de.png，6f73ea6834e605a66188d6bf7228a75d.png，fb2f21c15d7cce6032559762ae95f846.png，以5381cf631a5fc6d761e3483de20f709a.png为基底，建立空间直角坐标系a094682bcaa447ec174c8cc223ba1897.png．

因为1dc81b096c371805eebeaaf9cc2ac088.png，

所以ad1f7f81f0813ec9942ec4b33a1fcac0.png．

word/media/image408_1.png

(1)因为44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png为9d417dea13f2855580c7c2c6dbc254cd.png的中点，所以edd282f674e27175bde5ad0e3bbe5fb6.png，

从而fdb7a31aee9fa5dc2bfdec786f797bd1.png，

故631eb06311f23801d8aba5da811c78e6.png．

因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为0955ac768afa18f8a4adc7f5e5cf47e9.png．

(2)因为Q为BC的中点，所以e9bd16c79f8dc7612e784b6c83c01897.png，

因此752cc2c5108d84bfc9d1dc8b99f34c6a.png，95d5cc525502d9b27bf464ce3b4ef21f.png．

设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，

则17e8f92528657e96cea8db8f37cc4f8d.png即40ca303e53a95ccae303b5a80892ea4c.png

不妨取2ebf60597bbfd59ffdccb35d4594c337.png，

设直线CC1与平面AQC1所成角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，

则84bf3098c4dd69217944b07354bf99ec.png，

所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为2caf8383a51dc5a80a30f35520848a35.png．

7．【解析】（1）由已知6c8076982a37355a9c76abe9bc2fc84b.png，得AB⊥AP，CD⊥PD．

由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．

又AB c51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

（2）在平面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png内做3de602d4d65db0fd5f063e427a896b78.png，垂足为800618943025315f869e4e1f09471012.png，

由（1）可知，877dbe7b7363064ca5b71d98d99a595b.png平面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png，故5cde04296da60455d0827cb3207d9004.png，可得6a9389fb86582d567632273ddf176cd8.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png．

以800618943025315f869e4e1f09471012.png为坐标原点，df1fe951b4a3abeb39cbfe5975ef2263.png的方向为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴正方向，25015f4f40bee34f573ac8ab3cd4e16d.png为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系e88bd9663da5cd18c3f61487121b6e14.png．

word/media/image439.emf

由（1）及已知可得5be33cfb13dcf554f8e7372eba347f47.png，e0c262904a2a30b56245e8c3567ff2c8.png，1238cd6949d8d233c526be8ca23db4b1.png，865edafa6a933c0ac721ddd3e346e796.png．

所以e0e963e3bd27c1bd96ba1c908d58c0b8.png，a809bedef4bff8f080c0dcab53efbcd5.png，13163294c113cf3026096bfad199debb.png，

e84791aa9779a10d349adc23811328ac.png．

设2e67b921d89e79979e219c2e2eebae1e.png是平面9c34ebdc76c51a83ffdaa4b606088299.png的法向量，则

c1ff8030acd4a59a56f22141d3820973.png，即7b9b06d8fd6483b294b4999d58975580.png，

可取d0a23f7f0b52214f0e3d0279b165598d.png．

设eff7ab3b1ab1d4c03373109915faaf86.png是平面dcf47583029f79d64904cf78daa360cb.png的法向量，则

c569210d0b97657264b1c797d01a8365.png，即222136bfb720050065eb0d2c7ec48c84.png，

可取ace9ea4e0fde7c68d43f4a6c5f9bee03.png．

则af1f242d10613e6f6f62f9010271330a.png，

所以二面角13ae3e7c027821f7010470721d7a91d6.png的余弦值为437a1141f49c4ddc987721639026154c.png．

8．【解析】（1）取06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png的中点800618943025315f869e4e1f09471012.png，连结2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png，7b8d2f92148f52cad46e331936922e80.png．因为3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png是adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.png的中点，所以97949818d894eda91a48ccbe1c65d378.png，42f76de98de61b51bc89d03cb09564e8.png．由b0451fce1ffac4f812c285cb43d5ee0f.png得a047901ddf9d2a93ec4917e8634be085.png，又804b5a2297cc95dd43db64c8ec78230c.png，所以e47d6e2036b0bf90d48fdf3618cf356e.png，四边形e3ecafdae9412825268c8ba00366d7c2.png是平行四边形，00648982ed48af05798c8e8a75d783cc.png，又7b8d2f92148f52cad46e331936922e80.pngc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面dcf47583029f79d64904cf78daa360cb.png，7a86131338bf955e0a56311f264aa6aa.png61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.png平面dcf47583029f79d64904cf78daa360cb.png，故7a86131338bf955e0a56311f264aa6aa.png∥52c4041c96af8d9b80ed8c2dfe006435.png平面dcf47583029f79d64904cf78daa360cb.png．

（2）由已知得c28f0713720d063e705cff417957c7fb.png，以7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为坐标原点，ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png的方向为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴正方向，25015f4f40bee34f573ac8ab3cd4e16d.png为单位长，建立如图的空间直角坐标系48d600711fc492afe501e788b660521c.png，则8fa4c7529c90b9bdca5441bfd733bab7.png，fe2bd779eaa238212d3429c5db18b398.png，54d975b2adebdb2d1527ec4ecd51c850.png，0ca649d3d2c00dbdf4c3917e50d122b8.png，9ac75c4301d03ce1bf2bcd5ab0c72811.png，fb59800e12a34bb642d1bf973caad219.png．

word/media/image493_1.png

设61070cc4d9f4471a6f42b9e3c72fd1f4.png2743c920e4aba6a8307d50e00f454dc7.png，则c424cc4e437e3b5b7d73fa13dc10ee20.png，34b808bae17ac4af300af11885c44123.png．

因为5089fa881630360a9b3361469c1a0c5d.png与底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png所成的角为bad81dd69907c13ea2cb8ea38793a931.png，而96db9de47a448e8101c78b9443d85bf5.png是底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png的法向量，所以36e37af10329a7d35584bca1afb08f35.png，7668abe44ab7a27c5e5948e159d4dcc2.png，

即4541cc44d64c59a794676d6f91e2d11a.png． ①

又69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png在棱88dba0c4e2af76447df43d1e31331a3d.png上，设1c56cc8cb435240496bf186286a2c67d.png，则

389591b96a5784e1710e7c58b636c655.png，6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png，a29edd67a4712f150faba3f5b9559b1d.png． ②

由①，②解得0907a809106ac3f2152221507d2f53a1.png（舍去），b479c66fe4e6ac69bcf1b28e159d6f26.png

所以563f02e5c5d9ad667571ebbee3b0d81a.png，从而db34b19e73d022860817e34eacb741ac.png．

设eb1a3128a955e32bca0b37a22bc1dc29.png是平面39a8e755839fd97adb0c6dba2a1dfb84.png的法向量，则

345e79feea7639c9f2ce20f414d1bbfe.png，即b85589c803d1d418c50b33e8283ca5ae.png，

所以可取3775b223e61241e5deff30b4353b5996.png，于是c3f529e6da9f10f8b138b01bba0db723.png．

因此二面角ab1da9a0bcde71b22a9f6f31bb613658.png的余弦值为b78f19034bdedb175c5790f1f19c63e1.png．

9．【解析】（1）由题设可得，77da2a5d67b4020ebdef6aaa6a500d22.png，从而d853aa90d81d11cb0364ef86f9b3d311.png．

又42b0397d8c58a7907e8a76ab38946aed.png是直角三角形，所以90b49eff4ead15d6e41ef0ea6ae19298.png

取4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png的中点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，连接c23fa9996925b610710d93e28c59a3e2.png，7b60a39fc2a49bbac1b3426abb5ada4b.png，则84294d89c911e54c6e86c00f66ad3ba7.png，af1b1b111e98ee71421af5f891aea290.png．

又由于75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png是正三角形，故5e336e053b8d12e13eb1918ae2ab844a.png．

所以c897a70d856a3db80c89181bab84f13b.png为二面角413620da8dca27419665e5e304e5a949.png的平面角．

在83bb58723c834687dd69acd3cb13e138.png中，12cd3850711731cebd7fc44ba938c6c3.png．

又5c51c44fe1211a08b8765b3b19919460.png，所以ad760a3a716c6e33768d09fc54c23a9f.png，故a2d13a08afe1e347063992d4c40c232a.png．

所以平面72c5cc0e2586935d16539f31a2a4fec4.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png．

（2）由题设及（1）知，1193ced781e877dc24d5e0dc45f5f04c.png两两垂直，以f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为坐标原点，7ababa8311941d5b80d5c310cb27949f.png的方向为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴正方向，0a16cb87ca5fd1bb74c7f20e292f7b26.png为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系604f73b828399ae5171f3bf406d2c3b1.png，则

word/media/image551_1.png

3aa172dd0cb45d02fe9f830b0a28b522.png，8e7a6a868031944205433a1c2254fb52.png，f25fc3dd43165ea7a4099500332fd00c.png，2d4383be424ab465164bbc96f5d630ae.png．

由题设知，四面体6b011b774af5377cba2ec2b8ecd0b63b.png的体积为四面体cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png的体积的93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，从而3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png到平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的距离为f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png到平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的距离的93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，即3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png为0a5a4d7386065c6c6ac19c303768c7e1.png的中点，得03a8874becf67e5d2cf8ecd8c146fa03.png．故

1cecebc007aaac19a8e0d06c469c870f.png，c6d675cacce756578b07f7c469694016.png，3eeaa50fd232927f06b59dc87306d29b.png

设2e0e9403778b39e1944c11ac1ab918ca.png是平面2b25dd65bb2cc89a2a6b151c9a3221b4.png的法向量，则bae09621857403111d874128924ab08c.png即6e947d18afe3ba08b811cf6304b6999f.png

可取1c96d4a480f48a94f4172854a4510273.png

设6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png是平面970c17a0d8df46e95e6f48a19a2aae54.png的法向量，则78e76e135da1793f3614d8d956f20c8c.png同理可得477b05c639051dd96903b840c0d1e528.png

则7f0ca7905153aee37f0255696f3e91ad.png

所以二面角a85bf4073fe65aacc69be2f103d5d6ab.png的余弦值为f3901d925a58de2fd21af7d3f6fdaa9d.png． 

10．【解析】如图，以7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为原点，分别以ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png，f51c311ffaf7730d41ef1ac81e156cbd.png，24076c869dad9e5b8f0de07a4de9762f.png方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得

8fa4c7529c90b9bdca5441bfd733bab7.png，72d84cf8f92acb07276379ceffc40f7c.png，4eb47f2e323ee5a1cfee5ade9a79054b.png，95db1519530f4906cca7b25599b159c0.png，944d0532551cbf9976ea7b9c3c137c26.png，980f71729146f501b2443dc8bd42fb94.png，9e12e6ec0663f2f5f7039ecbf1cde1b2.png，914c885b0edca67e68ac9eda496a7638.png．

（Ⅰ）证明：9326bca8293b724be533078a1200cfde.png=7653f3c95036ac62cb7adb5515148176.png，9fa13b6fc9c1d810a63ec0e665ba751f.png=3400d20e0f8408488d9e3a5edce12939.png．设2e67b921d89e79979e219c2e2eebae1e.png，为平面901e2bf2161a620621dffe8eb1431615.png的法向量，

则aa88d00b483fbc46b08db8ca618f4b50.png，即754de0212281673ad819ef209e7cb5a4.png．不妨设9360d2c79de73e141e391d96ae0770ba.png，可得ace9ea4e0fde7c68d43f4a6c5f9bee03.png．又9b864a6d8157567f292387d355f90712.png=（1，2，768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png），可得d73c0c7ada20cf997280361f20469ba6.png．

因为17f50e78ced55bdc6e1f8fcd54add789.png平面BDE，所以MN//平面BDE．

（Ⅱ）易知e3a506c94a731eaf5fac2361d0f2b0d1.png为平面CEM的一个法向量．设8abc7525bb9e82e46d294f1bac1c28c3.png为平面EMN的法向量，则bd2c727c70ab0722d4b54f8fc19d42c3.png，因为45748da5ebcc31a0cc36ecdfcb3964d3.png，a288622bfde8101fe076d47d389229c2.png，所以275118a4aeae9f793a4050c0f30fdb46.png．不妨设6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png，可得8dc8ebb57a4e44f2291f038d9a7b7015.png．

因此有d505a54416f35466126aac4eba89c3d1.png，于是65ae0c3cef4389c1b2ed97302d8f7b8f.png．

所以，二面角C—EM—N的正弦值为61383fc3181d8660935403b8bc72326a.png．

（Ⅲ）依题意，设AH=h（7594dd74d73bcdb5c51af7b52c08defa.png），则H（0，0，h），进而可得8b61f663996b2d4fc166894a75077bce.png，9cec022cd6cfd9dd16c49adaad6a932a.png．由已知，得588e9efd95d49c41c6279d261c879a08.png，整理得d7ac5e50a4ff8f37144c295dec1b4a0e.png，解得0e16ca7da8a93d0321afaeb99e1b9c40.png，或f1b51ba174b88b81d3c14ba3f92f7487.png．

所以，线段AH的长为b0e1326365729673e417839e572d1ced.png或93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png．

11．【解析】（Ⅰ）设b00f7cd4903c5a590fddf8ed21dadefb.png交点为3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，连接9ee9d85a86f0118c40ba2385bb314fd7.png．

因为adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.png平面2e25c285356cbb0ed8785a1377027d79.png，平面2e25c285356cbb0ed8785a1377027d79.pngb6bdfaa17ef468bffe7b656c27ea5f38.png平面c0ab070e12bda04c7930906c112800f8.png，所以61a5dcb57515c604ed90f5e3ce225676.png．

因为cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png是正方形，所以3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png为87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png的中点，在af01fab1e0f5674c0cd68325fd10934d.png中，知69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png为cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png的中点．

（Ⅱ）取e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png的中点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，连接7457cdd15d09bfc6c4dbb5d2b6f87390.png，00e099a387e46b6681e536b05f110339.png．

因为d506eb1b0501873c982b83e98eedda64.png，所以0ac586e5a9c4099646c0c99c75226eaa.png．

又因为平面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，且24deec72d7f85abe21007f2acab89de2.png平面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png，所以d1d570335d2060a8200297a2639a3863.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png．

因为0bfe824d1817f8d79b5cb3a9960bbfea.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，所以fca206b9055d83c551819f8d1dd6ad8b.png．

因为cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png是正方形，所以5fb31ec010622c9289dd51e17f701549.png．

如图建立空间直角坐标系a094682bcaa447ec174c8cc223ba1897.png，则fec73bfdbe50a5e43f517fdd0e096030.png，4347b8bbb7ecfb23dda6b9c6c7c554ce.png，b370e93d6f19f98c8b6b4e3c8a2678ed.png，

8a345efb1a81c1b08fae16085342e174.png，2cd37d847e8971a3bc0263a038cd9bfc.png．

设平面1ac958a4d67d781fb28987b1a00c7fbf.png的法向量为2e67b921d89e79979e219c2e2eebae1e.png，则61dc01724b36efab705604518da9e2ec.png，即758e2a8d93442a23d18b1481cc61620c.png．

令a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png，则6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png，6df6094d7342d0694c1a81c0e1b72ce2.png．于是d116d3ce8d26d84153e560387263c2f8.png．

平面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png的法向量为da9597478e4b4894beb009c67913d638.png，所以263d92de25ffba5423493bda28f0768c.png．

由题知二面角3d1a2933d214fc201fbd047d62be7258.png为锐角，所以它的大小为c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png．

（Ⅲ）由题意知4b1d98ebf6cce2859777a70a08e8293e.png，bbc223ca017447a2f3f5d8c5b466a9d3.png，479b3529d9d1f19b6eb4bcb8ee3582b5.png．

设直线92a54b358b4cf53cca4095e4697e1004.png与平面1ac958a4d67d781fb28987b1a00c7fbf.png所成角为ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，则1bfa660282d32d50d51053233b3435d7.png．

所以直线92a54b358b4cf53cca4095e4697e1004.png与平面1ac958a4d67d781fb28987b1a00c7fbf.png所成角的正弦值为a997b23c54aa2edf0d65afd85da956af.png．

12．【解析】(1)∵面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.pngb6bdfaa17ef468bffe7b656c27ea5f38.png面7fa60601424d4f2f23008925a62a0c16.png，面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，

∵b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.pnge182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png，694494814f99afbc7d943885384ee532.png面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，∴b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png，

∵d003d8787de522bfa8c98a75af31f737.png面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png， ∴b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.pngadf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.png，

又adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png，∴adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png面dcf47583029f79d64904cf78daa360cb.png，

(2)取e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png中点为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，连结42983b05e2f2cc22822e30beb7bdd668.png，b3918665ee674080bf505e1b2d862187.png，

∵d1271cb9a635ed88d6cb6e9905ee2f1a.png， ∴42983b05e2f2cc22822e30beb7bdd668.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.pnge182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png，

∵d506eb1b0501873c982b83e98eedda64.png， ∴b3918665ee674080bf505e1b2d862187.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.pnge182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png，

以f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为原点，如图建系易知631ea686a99fcae355cbbff773d63cc7.png，4445cf3d9266bc4a138a11c49d18b979.png，ed3b1356db71e0939b4fffaa4eea617a.png，301b56c0314bf33b6d4ecb0ceb4cd441.png，

word/media/image716_1.png

则8de4bf065287156e057b2f582e6f6fb2.png，d4a052723508b24a62aeddb13a29d2a7.png，34c5e23e0425bb8eabce66852d0ebbac.png，1e5f76eaef595422f77913c7d5d2e162.png，

设ce2e3f9009db91ba395ae16aa14a9d35.png为面7e71b13908a9f0763c0ae54af9062080.png的法向量，令53f9a2646e213ea0a053b83bbf336b2d.png．

e478fe057bfe26be7a752277bab5fe67.png，则cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png与面64bd82be2f900e31c0c58b47fb919c28.png夹角7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png有，

9b347350048ba374808a226ab171f956.png

(3)假设存在69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png点使得1443a4b1dfa4ebdbec68b98a0c31849a.png面64bd82be2f900e31c0c58b47fb919c28.png， 设b0f8d043ade5f628bef0bb75ad716842.png，7650325642819ad3032b32d8684348db.png，

由(2)知c41f6876f92a13abec7bd1b0b80fcdfb.png，9977c9c3ff6f1a65a30a8a61e40b77cd.png，b55484bc5087fd9a5cc467d3f542ddb7.png，9b6992a6c7b5794235fa3af7357246c0.png，2fe91678cdf6039bf308a5e6e6a9e51a.png

有86694e89fdb0455467318c4b21b66170.png

∴c3b7f7106ee77a96151acda587e07a81.png

∵1443a4b1dfa4ebdbec68b98a0c31849a.png面64bd82be2f900e31c0c58b47fb919c28.png，793c63dadc3269c52622e20fd7836793.png为64bd82be2f900e31c0c58b47fb919c28.png的法向量，

∴a7e7a7f5d256f04d3237755d1bd2ce57.png，即c558e9a61cea3baf188c9a0f874a923c.png，∴bbb380b30500685951e1b6b32e0905b4.png

∴综上，存在69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png点，即当0b3d2383b6c56245d664343f8c3a4480.png时，69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png点即为所求．

13．【解析】(Ⅰ)连结6b8f0029ce30f9b4d5fe0def33875511.png，取6b8f0029ce30f9b4d5fe0def33875511.png的中点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，连结c78e9a424a369397510ec519978883e2.png，因为13abef05067d760a4c98af0b949e90f0.png，2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png在上底面内，64f3bd1741ab8d6ba545a1ae09bb8728.png不在上底面内，所以437c23ff93af24d9454cf5fd5e320744.png上底面，所以437c23ff93af24d9454cf5fd5e320744.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png；又因为0814ae018fd77fb1e9c5b28cc6b25a29.png，e3b0f2cbde0017722dcb19cd2457405a.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，0d2678f13ab78a4589fc91b1fe1e943b.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，所以c24c7c88a3c798bb40599d5692b2c09b.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png；所以平面74a9c053a7a82ba7c56c5bfb8aff3d5e.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，由3372ec5e7256205f66617b748b8da1bf.png平面2ae52b2c797c0dae0767631ca158cc5e.png，所以904102487a91ab112b0cb313d42090bb.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png．

word/media/image768.gif

(Ⅱ) 连结02254216324801a8211731781e7eb52e.png， d7d9c2a596818a298d74b069bb6509c6.png0d413f4d028c24ecb3379f521e2e6d95.png，以为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png原点，分别以68dd9357299bbe796baafaf1c03bc767.png为78b70da0fb6369f45abaccaaef4cabe9.png 轴，建立空间直角坐标系．

word/media/image775.gifword/media/image776.gif

44ec9f5ca05265a0317d716487f8fb09.png，94623831cd335a1267dd5f75f120b4f5.png．

2ce689518cca15c2a156b5434af62cfc.png，

于是有0d4f8f20bb9ae2358c1468ccad0eef65.png，405a1714b5117a3a2f6d910a3ce4d7ed.png，1fd6e4c0938383dfe027fff652137eeb.png，5cf368718548ff69e2317a56640e67e8.png，

可得平面e84020b187b2b85c4638d3c16988eb3a.png中的向量c9b941e2e35355a43b5727bab72e4ed4.png，e87074daa6d273df7ad6464c1e9a42c4.png,

于是得平面e84020b187b2b85c4638d3c16988eb3a.png的一个法向量为5d2af378d227a0af256d633c54913733.png，

又平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的一个法向量为fc567f514afb43e5e7ae6efe30be8a11.png，

设二面角b2d7595db6965670c70ae88e17d2f4ec.png为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，

则c3c1d45ff6d1423a9de6ec04ef00eb7b.png．

二面角b2d7595db6965670c70ae88e17d2f4ec.png的余弦值为f3901d925a58de2fd21af7d3f6fdaa9d.png．

14．【解析】(1)证明：找到word/media/image794_1.png中点，连结，∵矩形word/media/image797_1.png,∴280cea80245e734fad19a8bf4c98f010.png

∵、word/media/image800_1.png是中点，∴是c2196e00bc8bd87732d45cbe12a3522e.png的中位线，∴528fedf361c35fa715d9bfdf86f83cb6.png且word/media/image804_1.png，

∵是正方形word/media/image806_1.png中心，∴，∴word/media/image808_1.png且．

∴四边形word/media/image810_1.png是平行四边形，∴bdd7f36f5215c887de46d058f1459e2a.png

∵面word/media/image813_1.png，∴fbe46383db390907541a234bec7f2424.png07b71b0c30c5e44746c34f464b26c88c.png面word/media/image816_1.png

(2)正弦值，如图所示建立空间直角坐标系word/media/image818_1.png

word/media/image819.emf

word/media/image820_1.png，word/media/image821_1.png，，word/media/image823_1.png

设面的法向量word/media/image825_1.png

得：word/media/image827_1.png∴

∵word/media/image829_1.png面word/media/image830_1.png，∴面word/media/image831_1.png的法向量word/media/image832_1.png

word/media/image833_1.png

(3)∵word/media/image835_1.png，∴word/media/image836_1.png

设word/media/image837_1.png，

∴word/media/image838_1.png，得：word/media/image839_1.png

word/media/image840_1.png

15．【解析】（Ⅰ）连接87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png，设183a689b4fb8aa5c082694a6643defc4.png，连接a93066a70a87ce3dc1b09b34cb443af9.png．

在菱形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png中，不妨设d43d2ac58e097123ff01472512d8b7a0.png，由98bdeaf1267fad2fe7a5c21cd742154e.png，可得cc740fff71771d0c50cf5bd39f4754ce.png，

由3613672ba027ff4d2efbaa8fd087aca4.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，94623831cd335a1267dd5f75f120b4f5.png可知，0a87a636f6998064e663fd7efe5cce7c.png，

又∵7794ba51fb6bfb8df094da8b495a4bd6.png，∴71c6010cd2f282cb151fed6a82d7fe5f.png，341f6b8576a57c37434f168fc14dafcb.png，

在5d7f5fa782515fb109573fe7b035b019.png中，可得02a6154ab67554e2492308d9f26bff4e.png，故ddd94063c28963e01e764d129b436990.png．在c2f76a2393f6a792284c176246749bf9.png中，可得ad34e66facc9090a9255556835cecb0d.png．

在直角梯形9cf7cde22a2ecc5312ce93df1a8b2ce3.png中，由afe6b6745d09aa7cca71228d22690dc7.png，02a6154ab67554e2492308d9f26bff4e.png，ddd94063c28963e01e764d129b436990.png，可得1ab1e9fc5a348f2ff6b13732b779cb72.png，

∴360cbaac6b719d072bb3aaa4ae5040e2.png，∴fbe46383db390907541a234bec7f2424.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png2a5271c118492b7bb2274dd278a033ba.png，

∵4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png∩2a5271c118492b7bb2274dd278a033ba.png=dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png，∴fbe46383db390907541a234bec7f2424.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png平面b3ba8c7adfb0e850599c37e497312f63.png，

∵fbe46383db390907541a234bec7f2424.pngc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png面970c17a0d8df46e95e6f48a19a2aae54.png，∴平面b3ba8c7adfb0e850599c37e497312f63.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png平面970c17a0d8df46e95e6f48a19a2aae54.png．

（Ⅱ）如图，以dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png为坐标原点，分别以9592992b09b646c314cada489683ffcd.png的方向为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴，y轴正方向，73322b25314e30c666e4e280db4055e3.png为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png(0，－91a24814efa2661939c57367281c819c.png，0)，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png(1,0, d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png)，800618943025315f869e4e1f09471012.png(－1,0，a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png)，0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png(0，91a24814efa2661939c57367281c819c.png，0)，

∴92c89188dab6c813a4b345443743b25b.png=（1，91a24814efa2661939c57367281c819c.png，d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png），8ab8098ff2a9778e95a4a58803163017.png=（－1，－91a24814efa2661939c57367281c819c.png，a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png）．

故dce13ae3dd551500bbffddddd935c7ec.png．

所以直线ea8a1a99f6c94c275a58dcd78f418c1f.png与758951cac5e62129e654698c8ca0333b.png所成的角的余弦值为227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png．

16．【解析】解法一：（Ⅰ）如图，取ea8a1a99f6c94c275a58dcd78f418c1f.png的中点c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png，连接efbfa2b2fcea4f9cfbe3ae9333588857.png，27178471f2c4019c872d1545a0f154c7.png，

又dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png是d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png的中点，862d1969e2bbce5f4e1f8e4945f56dac.png，

又800618943025315f869e4e1f09471012.png是4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png中点，3896a687ad6491e511808f8ffabaf546.png，

由四边形ABCD是矩形得，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png∥4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png，0dd03c1d0a68991b4999102f3f2aecea.png，

所以6848ae6f8e786062f1b23476c9ecd258.png∥b98f83032f6e8ca0c8f5a38bca1e3d75.png，且c14ee3b9350f878f9672cc386c4694db.png．

从而四边形2e7d1a5797b48aa4e331908b855fe113.png是平行四边形，所以c07b0b4d7660314f711a68fc47c4ab38.png∥ff7a7d0ea68cf95f3d4b14e3f2a30767.png，

又10193d62896e5dfb9938b8cc934e42c7.png，所以c07b0b4d7660314f711a68fc47c4ab38.png∥平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png．

（Ⅱ）如图，在平面cdf5cd8617366687b19657108513b589.png内，过点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png作ab98bb8e9dd1e9ce9979c553a2a92923.png∥3fd6b696867d70225deda7868308679b.png，因为6f5b82dc2823f46ba7f5dfc95a6bcc45.png．

又因为b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png平面513bcfa2b82dc1735a07b97b7f870106.png，所以b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.pngd3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.pngab98bb8e9dd1e9ce9979c553a2a92923.png．

以9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png为原点，分别以7230363a9b24afa17d7f28aed0093df4.png的方向为x轴，415290769594460e2e485922904f345d.png轴，fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴的正方向，

建立空间直角坐标系，则A(0，0，2)，B(0，0，0)，E(2，0，0)，F(2，2，1)

因为b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png平面513bcfa2b82dc1735a07b97b7f870106.png，所以16f2b9b46dd0ad42db48a57ea0029dfc.png为平面513bcfa2b82dc1735a07b97b7f870106.png的法向量，

设1fabdc2edb871cd374d9900db3c06b84.png为平面AEF的法向量．又7298368e473b79ff355a1afa96e2a8ab.png，30d14a98067716b38d98a0b9d40592c7.png，

由04e452e71cd0afd92f2a0c6049fdfa42.png取c6c6aa9b314f0b77c1e5fd9aeeafa6ed.png得791222740ef267cd60297cd1c39759a9.png．

从而9d29c71e30f8a54ed6cbd5f5525d1310.png

所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png．

解法二：（Ⅰ）如图，取b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png中点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，连接ba2a034f4d913f87fe07cad29368d114.png，12c578c9f48dd6727464670d5daa0f9c.png，

又dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png是d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png的中点，可知64f3bd1741ab8d6ba545a1ae09bb8728.png7bc0ee636b3b83484fc3b9348863bd22.pngea8a1a99f6c94c275a58dcd78f418c1f.png，

又589c8fd76d19f743a9c2c4e2afebad4c.png，

所以64f3bd1741ab8d6ba545a1ae09bb8728.png7bc0ee636b3b83484fc3b9348863bd22.png平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png．

在矩形ABCD中，由9f0a59295a2946df65b772c76e2181b5.png分别是b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png，4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png的中点得557f72b50419419a4161d54749848ff8.png．

又14cd9aebd97dc2cdfef747364d8f4314.png，所以bdc419d16cf673e802a28027eca6e216.png．

又因为4af6ef931063525038687ae944113769.png，947a0382bc25ac06b3023220967ddd4d.pngb49c6382433726c079257f52088a977f.png

所以c55363459cb9c4e480574b68be146447.png07b71b0c30c5e44746c34f464b26c88c.png平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png，

因为c07b0b4d7660314f711a68fc47c4ab38.png965d6325259252b6f6c431bf7623a501.png，所以04c08252508acab5915ba259f2bddece.png3fb355063c80b1534af4c8cf7de97200.png

（Ⅱ）同解法一．

17．【解析】（Ⅰ）证法一：连接word/media/image972_1.png，设word/media/image973_1.png，连接word/media/image974.wmf．

在三棱台word/media/image975.wmf中，word/media/image976.wmf，word/media/image977_1.png为word/media/image978_1.png的中点，

可得word/media/image979_1.png，

所以四边形word/media/image980_1.png为平行四边形，

则word/media/image981.wmf为word/media/image982_1.png的中点，又word/media/image983_1.png为word/media/image984.wmf的中点，所以word/media/image985.wmf∥87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png，

又word/media/image987.wmf平面word/media/image988_1.png，word/media/image989_1.png平面word/media/image988_1.png，所以word/media/image990.wmf∥平面word/media/image988_1.png．

证法二：在三棱台word/media/image991.wmf中，由word/media/image992.wmf，word/media/image993_1.png为word/media/image994_1.png的中点，

可得1baa5a77aeff33338948c1e0c4466462.png∥2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png，3a1380c1bf4dc93e69948de33b319fb0.png，所以四边形word/media/image998_1.png为平行四边形，

可得 word/media/image999_1.png∥498ab1ea4aab0295389f6c51484cca6c.png，

在word/media/image1001_1.png中，word/media/image1002.wmf为word/media/image1003_1.png的中点，word/media/image1004_1.png为word/media/image1005.wmf的中点，所以word/media/image1006_1.png∥b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png，

又word/media/image1008_1.png，所以平面word/media/image1009_1.png∥平面word/media/image1010_1.png，

因为word/media/image1011_1.png平面word/media/image1012_1.png，所以 word/media/image1013_1.png∥平面word/media/image1014_1.png．

（Ⅱ）解法一：设word/media/image1015_1.png，则word/media/image1016.wmf，

在三棱台word/media/image1017_1.png中，word/media/image1018_1.png为word/media/image1019_1.png的中点，

由word/media/image1020_1.png，可得四边形word/media/image1021.wmf为平行四边形，

因此word/media/image1022.wmf∥6b8f0029ce30f9b4d5fe0def33875511.png，又word/media/image1024_1.png平面word/media/image1025_1.png，所以 word/media/image1026_1.png平面word/media/image1025_1.png，

在word/media/image1001_1.png中，由word/media/image1027_1.png，word/media/image1028_1.png，word/media/image1029_1.png是word/media/image1030_1.png中点，

所以 word/media/image1031_1.png，因此 word/media/image1032.wmf两两垂直，

以word/media/image1033.wmf为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系word/media/image1034_1.png，

word/media/image1035_1.png

所以word/media/image1036.wmf

可得word/media/image1037.wmf，

故word/media/image1038_1.png，

设word/media/image1039_1.png是平面word/media/image1040.wmf的一个法向量，则

由word/media/image1041.wmf 可得word/media/image1042_1.png

可得 平面word/media/image1040.wmf的一个法向量word/media/image1043.wmf，

因为word/media/image1044.wmf是平面word/media/image1045_1.png的一个法向量，word/media/image1046_1.png，

所以word/media/image1047.wmf，

所以平面word/media/image1048_1.png与平面word/media/image1049.wmf所成角（锐角）的大小为word/media/image1050_1.png．

解法二：作word/media/image1051_1.png与点word/media/image1052.wmf，作word/media/image1053.wmf与点word/media/image1054.wmf，连接word/media/image1055.wmf．

word/media/image1056_1.png

由word/media/image1057.wmf平面word/media/image1058.wmf，得word/media/image1059.wmf，

又word/media/image1060_1.png，所以word/media/image1061_1.png平面word/media/image1062_1.png，

因此word/media/image1063.wmf，所以word/media/image1064_1.png即为所求的角，

在word/media/image1065_1.png中，002f27e5064e874ecf4f5def17d1b797.png∥461b1990fe86af962cd15a16a26dceb8.png，0531eb20a4841b86ffa7d781a9d10c50.png，

由word/media/image1069.wmf，可得word/media/image1070_1.png，从而word/media/image1071_1.png，

由 word/media/image1072_1.png平面word/media/image1073_1.png，word/media/image1074.wmf平面word/media/image1073_1.png，得 word/media/image1075_1.png，

因此 word/media/image1076.wmf，所以 word/media/image1077_1.png，

所以 平面word/media/image1078_1.png与平面word/media/image1079_1.png所成角（锐角）的大小为word/media/image1080_1.png．

18．【解析】（Ⅰ）在图1中，因为3785ed186eb7b1ff58eba357d808b8c0.png，399cbf60c74dc97bcb6fbe063ef9ec23.png，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png是e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png的中点，

word/media/image1085_1.pngf1b68d66337a81cfa0d2076171cba2a8.png=word/media/image1087_1.png，所以d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.pngword/media/image1089_1.png4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png．

即在图2中，d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.pngword/media/image1093_1.png，d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png628ac2641a11205611acfdd540e18809.png．从而d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png平面word/media/image1097_1.png．

又4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png∥d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png，所以4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png平面word/media/image1097_1.png．

（Ⅱ）由已知，平面word/media/image1102_1.png平面e49bf34eb36b4b352f051e6625653715.png，又由（Ⅰ）知，d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.pngword/media/image1105_1.pngword/media/image1093_1.png，d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png628ac2641a11205611acfdd540e18809.png．

所以为二面角word/media/image1108_1.png的平面角，所以．

如图，以f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为原点，建立空间直角坐标系，

因为7fb1519c4e20dde96d66eb9c229a53b6.png，

所以04145c4dae15b720500b03c8d3354215.png，161d976c4047bdc45ffe4e433ae066cd.png，e0c696586f5ec3c5328a22ec574e2db4.png，397954eb0454be281175111e5f128bec.png．

得word/media/image1117_1.png word/media/image1118_1.png，．

设平面word/media/image1120_1.png的法向量，平面word/media/image1122_1.png的法向量word/media/image1123_1.png，

平面word/media/image1120_1.png与平面word/media/image1122_1.png夹角为word/media/image1124_1.png，

则word/media/image1125_1.png，得，取word/media/image1127_1.png，

，得word/media/image1129_1.png，取word/media/image1130_1.png，

从而，

即平面word/media/image1120_1.png与平面word/media/image1122_1.png夹角的余弦值为word/media/image1132_1.png．

19．【解析】（Ⅰ）连接87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png交4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png于点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，连结9d0c0b554a6dc5ae2d131c16922e7872.png．

因为cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为矩形，所以f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png的中点．

又3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png为adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.png的中点，所以9d0c0b554a6dc5ae2d131c16922e7872.png∥cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png．

9d0c0b554a6dc5ae2d131c16922e7872.pngc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面970c17a0d8df46e95e6f48a19a2aae54.png,cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.png平面970c17a0d8df46e95e6f48a19a2aae54.png，所以cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png∥平面970c17a0d8df46e95e6f48a19a2aae54.png．

（Ⅱ）因为06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为矩形，所以b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png，e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png，0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png两两垂直．

如图，以7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为坐标原点，ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png的方向为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的正方向，addf08b06dbfeb59cbc426c989401d53.png为单位长，建立空间直角坐标系48d600711fc492afe501e788b660521c.png，

word/media/image1161.emf

则91073a79b5392d0a5e8c49fc24581ab1.png2ef9157e9508daa85fbc273e6f42b1f9.pngf8a6f19d049a151b3fc29391fbce440b.png．

设48f8dc13adc2fa7bba2b3df66708b4e2.png，则712c005320a919243d4ce344ef0d68c2.pngc555ff2c5575f50bc6cfa12bfbda60f5.png．

设ab1b07074616a0ead3a32f006ad5f1c3.png为平面970c17a0d8df46e95e6f48a19a2aae54.png的法向量，

则b12409f5ae7328bb2cc800c39014ff47.png即03827e9c8a9f77d979ce107af48374de.png，可取1b1e90b34eefcf077802c101464ab3f0.png．

又2bc62368fc946e0c0fb3b6d3e3e483ae.png为平面2b25dd65bb2cc89a2a6b151c9a3221b4.png的法向量，

由题设2754dced965ed3d0aa90ee9a2e6fd647.png，即59f2148fa65584a122cef551fddbb6d5.png，解得e676f4127e872c73a1f1b8e7627b68ae.png．

因为3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png为adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.png的中点，所以三棱锥96f619e894aad365c45c1483d2f3c273.png的高为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png．

三棱锥96f619e894aad365c45c1483d2f3c273.png的体积ab6b25dba427347b0fc4505f028a89b1.png．

20．【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为等腰梯形，且731f751cb01315b151be141eab696690.png，

所以b0b2b542a79e23eb83f471c77382960f.png且8bae6f84774ca14f0062e1a70f3906a7.png，连接word/media/image1186_1.png

word/media/image1187_1.png为四棱柱，word/media/image1188_1.png word/media/image1189.wmf

又word/media/image1190.wmf为word/media/image1191_1.png的中点，word/media/image1192.wmf

word/media/image1193_1.png,word/media/image1194.wmf

word/media/image1195.wmf,word/media/image1196_1.png

word/media/image1197_1.png为平行四边形，word/media/image1198_1.png

又word/media/image1199_1.png ，word/media/image1200.wmf，word/media/image1201.wmf．

（Ⅱ）方法一： 由（Ⅰ）知 平面98889561fad22d71733f9bfb83656494.pngb6bdfaa17ef468bffe7b656c27ea5f38.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png=b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png

作word/media/image1206.wmf，连接word/media/image1207_1.png

则word/media/image1208_1.png即为所求二面角9ab4d7ebea2983c20461708555d8333d.png的平面角．

在word/media/image1210_1.png中，904a360db954e465273351bf1c663017.pngbccebf2822517e923676a75725491606.png word/media/image1213.wmf

e2a33cfaa54706a473f3d706dad356cb.png

在fcfc4cd32ba4fa120f6014bfe4b79e08.png中，9ff007244b9ee422684c99bca2083c5c.png．

方法二：连接c84c454c604c4f86527b3cbb979abdc0.png，由（Ⅰ）知acaea6c370dbf58d972e93292c8983eb.png且a0dfa00c0a23b018567112b07be7890d.png

∴fc7ae52ca273686297e8fb54168effb9.png为平行四边形．可得bec7381a97041121e09654528e32ca73.png，由题意c9514198effe5f8a3f98264284a2c12c.png，

所以e0203aebc2358de788e533148e4a8457.png为正三角形．

因此eb2b1ea22d4c7f6092158f7fe43e5776.png，∴ca07f24545fa9333ebfd069ca722c159.png．

word/media/image1226_1.png

以word/media/image1227_1.png为原点，word/media/image1228_1.png为word/media/image1229_1.png轴，word/media/image1230_1.png为word/media/image1231_1.png轴，word/media/image1232_1.png为word/media/image1233_1.png轴建立空间坐标系，

word/media/image1234_1.png

word/media/image1235.wmf

设平面word/media/image1236.wmf的法向量为word/media/image1237.wmf

word/media/image1238_1.png word/media/image1239_1.png

显然平面word/media/image1240.wmf的法向量为word/media/image1241_1.png

word/media/image1242_1.png

显然二面角为锐角，

所以平面word/media/image1243_1.png和平面word/media/image1244_1.png所成角的余弦值为word/media/image1245.wmf

word/media/image1246.wmf

21．【解析】（Ⅰ）（方法一）∵086568cc2e3eb15f2c4ddd096106c298.png，

且18496c08495ea681d1a99982c84df7a6.png，∴6cf619a8e4d8ad93b6e2329f931d7f06.png为705610ed3e5ec724f5cb0d76a5fd3aa1.png三角形，

a224bd85385fe9f0e8a76205b2e14191.png．同理，∵dc47b29b8c59f8f5ce04e39877059d08.png，

且607380144ca488354a524e33efddc92c.png，a383d5bc2f70058826605cd6f2911647.png为705610ed3e5ec724f5cb0d76a5fd3aa1.png三角形

badbff7e5a49378d13f6cec46e3c60a5.png，∴6cf619a8e4d8ad93b6e2329f931d7f06.pnga905f2cdb8d21b5d137cdf36e48ded62.pnga383d5bc2f70058826605cd6f2911647.png，

过3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png作a2713f836495e669f605e65cebad140b.png，垂足为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，连接7e4137add2dfe45e078e7f076aec84df.png，

可证出c43d4c0f5188c787b32f4f90f3073878.png，

所以15f162f405de4fc3d4849d48cc0ff006.png，即728f83ed30f99ba0a627e0e942bda0b9.png．

从而证出6badd10cbda3dbe6a0586c220097d64a.png面4423718c61c4e8a4362d955bbc7b9711.png，又e232703fd229bad9133cbc719093ef2a.png面4423718c61c4e8a4362d955bbc7b9711.png，所以d95d9b495eb1d7c97747e311ea8779f5.png．

word/media/image1270_1.png

（方法二）由题意，以9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png为坐标原点，在平面1356e30339d1bccc5081d29f9b43a018.png内过9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png作垂直f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的直线为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴，f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png所在直线为415290769594460e2e485922904f345d.png轴，在平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png内过9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png作垂直f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的直线为fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴，建立如图所示空问直角坐标系．易得a4bef06f2d51af339067b06117e8b362.png，ffc88d7346ea96ef5308d6118d21964b.png，

word/media/image1280_1.png

4425c9a55af2370827e71553965c8312.png，bd0864a60a24520666e5dd709c2b06d6.png．因而b0d30d2380d3b30160d64151fcf7b10f.png，

da19f06338f6b41916ce0446de0113f6.png，∴25346871d1bb5a78d209841560ecfb42.png，

2981d52c34253e7372ec0c8097bdab73.png，因此f25d5c457f2a8ed77ee90776ce29f5b0.png，

∴03554edf8de9fbb424b9c1bbe3b25a99.png，所以d95d9b495eb1d7c97747e311ea8779f5.png．

（Ⅱ）如上图中，平面4f2ab5061f6f4676367b7acaf2182f3f.png的一个法向量为c07dffaee4bc0e8a86fa119f0ca3071d.png．设平面ae69c26035822dcd39df8428d485f8f5.png的法向量

8abc7525bb9e82e46d294f1bac1c28c3.png，又9b78aca0208b39088b9fe9c93a6f1bbf.png，4a4826fa43c67dca6db2084b05dc8b6b.png，

由9a9683081936508c3f3b0a961a78a18c.png得其中07601b1729c3827e752ca6b50aee50ca.png．

设二面角ee99d61f89c01e474a2e477300b62054.png大小为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，且由题意知7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png为锐角

d2d898f05a625a53a8b8db7603109e49.png，因此7f746de6f100f4e383781db3c7c75ec7.png，

即所求二面角的正弦值为6a6f9d220af34df75ca26ecb8d23f3b0.png．

22．【解析】（Ⅰ）连接d63a232008ecbceb36a757eac9d9a157.png，交6679315ed2d0f1d723dee5e77fd8b448.png，连接AO，因为侧面2be4a914c0cf2227212dcbe18d21063d.png，

所以49ee4017f1bd3791dfdd856671d8bc20.png

又98d90f0b0bea500b7beca105fee088e9.png

938985458a06f575b2199ca6a12131fe.png

又3519c17d41114adb5a3ae8ab3c2105ef.png

（Ⅱ）因为27fb4365fd00692b43c37e5f056fa285.png

又因为d4b11ae6d03ccd61e0698536d8a1e7cc.png，bb799b47d4dbdaaf8fdfdc638f6e20ed.png

以495b880078befbed0dbb4f34a6d0354c.png

b73548373a17c2668784a78ac6988085.png．

word/media/image1315_1.png

因为d22bdd3349bf113ad143adf40b8308fd.png

15541c4b15c4ad88579383e925050dcc.png

7ccc5890fba3f13875dd7e2d7eeeab79.png

4b637c0a1348ae8bc873ab54ade29806.png

则42f0f06fc9ab6c01e932203822f8d762.png

75d0901346c4e6b30e7d3bebb4cf2364.png

23．【解析】：（Ⅰ）因为a7cdf8675192a55cc0f673f4dbc11859.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png,平面75b85826a15607f238debae369a5571c.pngb6bdfaa17ef468bffe7b656c27ea5f38.png平面feea7fef7f217491af060bb3ec65a860.png平面

6c5a78d74daf4cf4676f3fc5d5b85a57.png所以877dbe7b7363064ca5b71d98d99a595b.png平面04556032beddf60580b88da758b4d392.png又50ae2e8856aa4b71904205a4e8c0b96c.png平面04478b928e9497c7abcac8f715535921.png所以248b33f82999360c311305e5385e903b.png．

（Ⅱ）过点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png在平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png内作b7210457447f691178f407e246a2cafc.png,如图．

由（Ⅰ）知877dbe7b7363064ca5b71d98d99a595b.png平面04478b928e9497c7abcac8f715535921.pngfb4c102c5c0403d153f0606fb967a7c6.png平面04478b928e9497c7abcac8f715535921.png所以3365849a1be74a103933667ba3d9879d.png．以9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png为坐标原点,分别以0c5af0fb1d22f323a4ee0e6b11b5bdb3.png的方向为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴, 415290769594460e2e485922904f345d.png轴, fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴的正方向建立空间直角坐标系．

word/media/image1346.emf

依题意,得ceeed52ad5c887fae63f4228f8a63bb5.png．

则7b8c9193cfda2e998bc3f1f61742daf3.png．

设平面e40558450360f747f2ce0d9f9c74bf24.png的法向量94d87cbee4848402483bc9add56c03d5.png．

则a2e1cbb0d9604acb0ee4907731a74f61.png即6618c69da43dd45f729de406d43368c7.png．

取9cba19e94d58296a5353010fec9cbb2b.png得平面e40558450360f747f2ce0d9f9c74bf24.png的一个法向量0e33bc9cf47b5284dc40a056b1a25b65.png．

设直线e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png与平面e40558450360f747f2ce0d9f9c74bf24.png所成角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png,

则443f8dcc61688f3ced4571b320728d79.png

即直线e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png与平面e40558450360f747f2ce0d9f9c74bf24.png所成角的正弦值为7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.png．