概率模型分类一（相互独立与独立重复）（学生版）

概率模型分类

一、 相互独立事件同时发生的概率与独立重复试验

1.相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，那么称事件A，B为相互独立事件。

注： 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也是相互独立的。

两个相互独立事件A、B同时发生的概率为：P（A·B）=P（A）·P（B）；

如果事件A1，A2，…彼此独立，则P（A1·A2·…）=P（A1）·P（A2）·…P（）；

2.事件的积：设事件A、B是两个事件，A与B同时发生的事件叫做事件的积，记作A·B。（此概念可推广到有限多个的情形）

3.独立重复试验（又叫贝努里试验）：在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率记为Pn（k），

设在一次试验中事件A发生的概率为P，则Pn（k）=。

1、掷三颗骰子，试求：

（1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率；

（2）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率．

2、设每门高射炮命中飞机的概率为0.6，试求：

（1）两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机的概率；

（2）若今有一飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99％的概率命中它？

3、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？三种方案中，哪一种方案系队获胜的概率更大一些，哪一种方案对系队更有利．

4、甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是0.8.计算：

(1)两人都击中目标的概率；

(2)其中恰有1人击中目标的概率；

(3)至少有1人击中目标的概率.

5、如图，电路由电池A、B、C并联组成.电池A、B、C损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路断电的概率.

6、 某所气象预报站的预报准确率为80%.则它5次预报中恰有4次准确的概率约为多少?(保留两位有效数字)

7、经抽检，某元件的次品率是0.3%，现将该元件按每100只装成一盒，试计算每盒中不含次品的概率.

练习：

1.10件产品中有4件是次品，从这10件产品中任选2件，恰好是2件正品或2件次品的概率是 ( ) A. B. C. D.

2.设A为一随机事件，则下列式子不正确的是 ( )

A.P(A·)=P(A)·P() B.P(A·)=0 C.P(A+)=P(A)+P() D.P(A+)=1

3.若A与B相互独立，且B与C也相互独立，则A与C ( )

A.相互独立 B.相互对立

C.可能相互独立，也可能不相互独立 D.互斥

4.10颗骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率是 ( )

A. B. C.1 D. 1

5.在一条线路上并联着3个自动控制的常开开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作．如果在某段时间里三个开关能够闭合的概率分别为P1、P2、P3，那么这段时间内线路正常工作的概率为 ( )

A. P1+P2+P3 B.P1P2P3 C. D.1-(1-P1)(1-P2)(1-P3)

6.若甲以10发8中，乙以10发中6，丙以10发中7的命中率打靶，3人各射击1次，则3人

中只有1人命中的概率为 ( )

A. B. C. D.

7.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一次，他们都中靶的概率为 ( )

A. B. C. D.

8.一学生通过某种英语听力测试的概率为，他连续测试2次，则恰有1次获得通过的概率为 ( ) A. B. C. D.

9.在某一试验中，事件A出现的概率为P，则在n次试验中，出现k的概率为 .

10.电子设备的某一部件由9个元件组成，其中任何一个元件损坏了，这个部件就不能工作．假定每个元件能使用3 000小时的概率为0.99，则这个部件能工作3 000小时的概率为 (结果保留两位有效数字)．

11.5名男生和2名女生排成一列，则男生甲排在中间，且2名女生排在男生甲左侧的概率是 .

12.1个产品要经过2道加工程序，第1道工序的次品率为3%，第二道工序次品率为2%，求产品的次品率．

13.一批高梁种子，其发芽率是0.8，现每穴种3粒．问：

(1)一穴中有两粒出芽的概率是多少?

(2)一穴中小于3粒出芽的概率是多少?

14.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立).

(1)求至少3人同时上网的概率；

(2)至少几个人同时上网的概率小于0.3?

15.如图，用A、B、C三类不同元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2．

16.假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1-P，且各引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行．问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全?

二、 二项分布

1．次独立重复试验

一般地，由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中。我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验。

2．二项分布

若随机变量的分布列为其中则称服从参数为，的二项分布，记作。

1、高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下

发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.

（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实

验至少有3次发芽成功的概率；

（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发

芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多

不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数的概率分布列和数学期望．

2、粒种子分种在甲、乙、丙个坑内，每坑粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。（1）求甲坑不需要补种的概率；（2）求个坑中需要补种的坑数的分布列；（3）求有坑需要补种的概率。（精确到）

3、一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数的概率分布。

4、(2013•北京朝阳一模)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是．

（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；

（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；

（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？

5、(2013•北京朝阳二模)为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.

（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；

（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E(X).

6、(2014•福建福州3月质检)“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．

（Ⅰ）求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；

（Ⅱ）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量，求的分布列及其期望．

三、 超几何分布

1、超几何分布的特征:一个总体(共有个)内含有两种不同的事物、,任取个,其中恰有个.符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列（）进行处理。

练习、

1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.

(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；

(Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.

2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位:cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为

“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”,

且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.

（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人,

再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担

任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.

3、(2013•北京石景山一模)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的名志愿者中随机抽样名志愿者的年龄情况如下表所示．

（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这名志愿者中年龄在岁的人数；

（Ⅱ）在抽出的名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取人参加中心广场的宣传活动，从这人中选取名志愿者担任主要负责人，记这名志愿者中“年龄低于岁”的人数为，求的分布列及数学期望．

四、 条件概率

1、一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B∣A)=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。对于初学者来说，若没有理解条件概率的含义，则需利用古典概型计算概率。那必须要利用加法计数原理和乘法计数原理或排列数和组合数来计算事件A和事件AB所包含的基本事件个数。

1、在5道题中有3道理科题和2道文科题。如果不放回地依次抽取2道题，求：

(1)第一次抽到理科题的概率；

(2)第一次和第二次都抽到理科题的概率；

(3)在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率。”

2、 从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率.

3、 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率.  

4、甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率.  

练习A：

1.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于 （ ）

A、 B、 C、 D、

2.某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连续射击3次,至少有2次命中目标的概率为 ( )

A. B. C. D.

3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是，现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是 （ ）

A、 B、 C、 D、

4.某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是______(精确到0.01) 。

5.在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是 。

6.甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为，已知该题被甲或

乙解出的概率为，甲乙两人同时解出该题的概率为，求:

（1）;

（2）解出该题的人数的分布列及.

7．高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下

发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.

（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实

验至少有3次发芽成功的概率；

（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发

芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多

不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数的概率分布列和数学期望．

练习B：

1．在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A在一次试验中出现的概率是 （ ）

A、 B、 C 、 D、

2．把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则等于 （ ）

A . B . C . D . 1

3．甲、乙两人独立解同一个问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有一人解决这个问题的概率是 （ ）

A、 B、 C、 D、

4．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，用X表示取球的次数，则 。

5．抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下, 则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为 。

6．一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0到9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，则:

（1）任意按一位数字，不超过2次就按对的概率为 ；

（2）如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过两次就按对的概率为 。

7．设随机变量X～B(2,P)，Y～B(3,P），若,则P（Y=2）= .

8．一高考考生咨询中心有A、B、C三条咨询热线。已知某一时刻热线A、B占线的概率均为0.5，热线C占线的概率为0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有条热线占线，试求随机变量的分布列和它的期望。

9．某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A级的可作为入围选手，选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则确定为B级，若投中4次及以上则可确定为A级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率是0.5.

（1）求阿明投篮4次才被确定为B级的概率；

（2）设阿明投篮投中次数为X，求X的分布列及期望；

（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.

练习C：

1．在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽得是正品的概率是 （ ）

A、 B、 C、 D、

2．设每门高射炮命中飞机的概率是0.6，今有一架飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它 （ ）

A、3 B、4 C、5 D、6

3．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A表示第一次摸得白球，B表示第二次摸到白球，则A与B是 （ ）

A、互斥事件 B、相互独立事件 C、对立事件 D、不相互独立事件

4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率是，既刮风又下雨的概率是，设A=“刮风”，B=“下雨”， = ； = 。

5．设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的

概率是 。

6．已知甲、乙、丙三名射击运动员集中目标的概率分别是0.7，0.8，0.85，若他们分别向目标各发一枪，命中弹数记为X,求X的分布列及期望.

7．现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有4个白球和4个红球，乙盒中装有3个白球和若干个红球，若从乙盒中任取两个球，取到同色球的概率是.

（1）求乙盒中红球的个数；

（2）若从甲盒中任取两个球，放入乙盒中均匀后，再从乙盒中任意取出2个球放回到甲盒中，求甲盒中白球没有增加的概率；

（3）从甲、乙两个盒子中各任取两个球进行交换，若交换后乙盒子中的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求当进行150次交换（都从初始状态交换）时，大约有多少次是成功的.

8．在2006年多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以

往战况，中国女排每一局赢的概率为。已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条件下，

（Ⅰ）求中国女排取胜的概率；

（Ⅱ）设决赛中比赛总局数，求的分布列及。（（Ⅰ）（Ⅱ）均用分数作答）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/93e784a85fbfc77da269b17c.html