2009年考研数学一真题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

（1）当时，与等价无穷小，则（ ）

. .

. .

（2）如图，正方形被其对角线划分为

四个区域，，

则（ ）

. . . .

（3）设函数在区间上的图形为：

则函数的图形为（ ）

. .

. .

（4）设有两个数列，若，则（ ）

当收敛时，收敛. 当发散时，发散.

当收敛时，收敛. 当发散时，发散.

（5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基

的过渡矩阵为（ ）

. .

. .

（6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ）

. .

. .

（7）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则（ ）

. . . .

（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ）

0. 1. 2. 3.

二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）

（9）设函数具有二阶连续偏导数，，则 。

（10）若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为 。

（11）已知曲线，则 。

（12）设，则 。

（13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为 。

(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差。若为的无偏估计量，则 。

三、解答题（15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分9分）求二元函数的极值。

（16）（本题满分9分）设为曲线与所围成区域的面积，记

，求与的值。

（17）（本题满分11分）椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是过点且与椭圆 相切的直线绕轴旋转而成。

（Ⅰ）求及的方程

（Ⅱ）求与之间的立体体积。

（18）（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得

（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。

（19）（本题满分10分）计算曲面积分，其中是曲面

的外侧。

（20）（本题满分11分）

设

（Ⅰ）求满足的. 的所有向量,.

（Ⅱ）对中的任意向量,证明,,无关。

（21）（本题满分11分）

设二次型

（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；

（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。

（22）（本题满分11分）

袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求二维随机变量概率分布。

（23）（本题满分11 分）

设总体的概率密度为，其中参数未知，，,…是来自总体的简单随机样本

(Ⅰ)求参数的矩估计量；

（Ⅱ）求参数的最大似然估计量

2009年考研数学一真题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）当时，与等价无穷小，则（ ）

. .

. .

【答案】

【解析】为等价无穷小，则

故排除。

另外存在，蕴含了故排除。

所以本题选A。

（2）如图，正方形被其对角线划分为

四个区域，，

则（ ）

. . . .

【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的奇函数，所以;

两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的偶函数，所以；

.所以正确答案为A.

（3）设函数在区间上的图形为：

则函数的图形为（ ）

. .

. .

【答案】

【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：

①时，，且单调递减。

②时，单调递增。

③时，为常函数。

④时，为线性函数，单调递增。

⑤由于F(x)为连续函数

结合这些特点，可见正确选项为。

（4）设有两个数列，若，则（ ）

当收敛时，收敛. 当发散时，发散.

当收敛时，收敛. 当发散时，发散.

【解析】

方法一：

举反例 A取

B取

D取

故答案为（C）

方法二：

因为则由定义可知使得时，有

又因为收敛，可得则由定义可知使得时，有

从而，当时，有，则由正项级数的比较判别法可知收敛。

（5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基

的过渡矩阵为（ ）

. .

. .

【解析】因为，则称为基到的过渡矩阵。

则由基到的过渡矩阵满足

所以此题选。

（6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ）

. .

. .

【解析】根据，若

分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆

故答案为（B）

（7）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则（ ）

. . . .

【答案】

【解析】因为，

所以，

所以

而，

所以。

（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ）

0. 1. 2. 3.

【答案】 B

【解析】

独立

（1）若，则

（2）当，则

为间断点，故选（B）

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）设函数具有二阶连续偏导数，，则 。

【答案】

【解析】

，

（10）若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为 。

【答案】

【解析】由，得，故

微分方程为

设特解代入，

特解

把 ， 代入，得

所求

（11）已知曲线，则 。

【答案】

【解析】由题意可知，，则

，

所以

（12）设，则 。

【答案】

【解析】

方法一：

方法二：由轮换对称性可知

所以，

（13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为 。

【答案】2

【解析】

, 的非零特征值为2.

(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差。若为的无偏估计量，则 。

【答案】

【解析】为的无偏估计

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）求二元函数的极值。

【解析】

故

则

0' altImg='f6cd4289e30a6410febfd83f586359ff.png' w='77' h='21' class='_4'>而

二元函数存在极小值

（16）（本题满分9分）设为曲线与所围成区域的面积，记

，求与的值。

【解析】由题意，与在点和处相交，

所以，

从而

由 取得

（17）（本题满分11分）椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成。

（Ⅰ）求及的方程

（Ⅱ）求与之间的立体体积。

【解析】（I）的方程为，

过点与的切线为，

所以的方程为。

（II）记，由，记，

则

（18）（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得

（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。

【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：

；在闭区间上连续，在开区间内可导，且。

根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即

（Ⅱ）任取，则函数满足；

在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得……

又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：

故存在，且。

（19）（本题满分10分）计算曲面积分，其中是曲面

的外侧。

【解析】，其中

①

②

③

①+②+③=

由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）

有

（20）（本题满分11分）

设

求满足的. 的所有向量,.

对中的任意向量,证明,,无关。

【解析】（Ⅰ）解方程

故有一个自由变量，令，由解得，

求特解，令，得

故 ，其中为任意常数

解方程

故有两个自由变量，令，由得

求特解 故 ，其中为任意常数

（Ⅱ）证明：

由于

故 线性无关.

（21）（本题满分11分）设二次型

（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；

（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。

【解析】（Ⅰ）

（Ⅱ） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则

1) 若，则 ， ，不符题意

2) 若 ，即，则，，符合

3) 若 ，即，则 ，，不符题意

综上所述，故

（22）（本题满分11分）

袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求二维随机变量概率分布。

【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球

（Ⅱ）X，Y取值范围为0，1，2，故

（23）（本题满分11 分）

设总体的概率密度为，其中参数未知，，,…是来自总体的简单随机样本

(Ⅰ)求参数的矩估计量；

（Ⅱ）求参数的最大似然估计量

【解析】

（1）由

而为总体的矩估计量

（2）构造似然函数

取对数

令

故其最大似然估计量为

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/934440c06729647d27284b73f242336c1eb930cb.html