概率论与数理统计浙大四版习题答案第四章汇编

第四章

2.[二] 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E (X)。（设诸产品是否是次品是相互独立的。）

解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ

P=P（调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]

1－0.7361=0.2639.

因此X表示一天调整设备的次数时X～B(4, 0.2639). P (X=0)=×0.26390×0.73614 =0.2936.

P (X=1)=×0.26391×0.73613=0.4210, P (X=2)= ×0.26392×0.73612=0.2264.

P (X=3)=×0.26393×0.7361=0.0541, P (X=4)= ×0.2639×0.73610=0.0049.从而

E (X)=np=4×0.2639=1.0556

3.[三] 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E (X)。

∵ 事件 {X=1}={一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒}+{两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒}+{三只球均装入一号盒}（右边三个事件两两互斥）

∴

∵事件“X=2”=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒”+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒”+“三只球装入二号盒”

∴

同理：

故

5.[五] 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为

求E (X)

解：

6.[六] 设随机变量X的分布为

X －2 0 2

Pk 0.4 0.3 0.3

求 E (X)， E (3X2+5)

解： E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2

E (X2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8

E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.4

7.[七] 设随机变量X的概率密度为

求（1）Y=2X （2）Y=e－2x的数学期望。

解：（1）

（2）

8.[八] 设（X，Y）的分布律为

(1) 求E (X)，E (Y )。

(2) 设Z=Y/X，求E (Z )。

(3) 设Z= (X－Y )2，求E (Z)。

解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为

E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4

=0.4+0.4+1.2=2.

E(Y)= (－1)×0.3+0×0.4

+1×0.3=0.

（2）

E (Z )= (－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1

= (－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15.

（3）

E (Z )=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=5

10.[十] 一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢

利的数学期望。

解：一台设备在一年内损坏的概率为

故设Y表示出售一台设备的净赢利

则

故

11.[十一] 某车间生产的圆盘直径在区间（a, b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。

解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为

用Y表示圆盘的面积，则

12.[十三] 设随机变量X1，X2的概率密度分别为

求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2)

解：（1）

=

（2）

=

（3）

13.[十四] 将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X )

解：引进随机变量

i=1, 2, … n

则球盒对号的总配对数为

Xi的分布列为

i=1, 2 …… n

∴ i=1, 2 …… n

14.[十五] 共有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。

（1）写出X的分布律，（2）不写出X的分布律。

解：（1）

（2）设一把一把钥匙的试开，直到把钥匙用完。

设 i=1, 2 …… n

则试开到能开门所须试开次数为

∵ E (Xi)=

i=1, 2……n

∴

15. （1）设随机变量X的数学期望为E (X)，方差为D (X)>0，引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）：

验证E (X* )=0，D (X* )=1

（2）已知随机变量X的概率密度。

求X*的概率密度。

解：（1）

D (X* )= E [X*－E (X )* ]]2= E (X*2 )=

=

（2）

16.[十六] 设X为随机变量，C是常数，证明D (X )<E {(X－C )2 }，对于C≠E (X )，（由于D (X ) = E {[X－E (X )]2 }，上式表明E {(X－C )2 }当C=E (X )时取到最小值。）

证明：∵ D (X )－E (X－C )2 = D (X2 )－[E (X )]2－[E (X2 )－2CE (X2 )+C2

=－{[E (X )]2－2CE (X2 )+C2}

=－[E (X )－C ] 2<0，

∴当E (X )≠C时D (X )< E (X－C )2

17. 设随机变量X服从指数分布，其概率密度为其中θ>0是常数，求E (X )，D (X )。

解：

又

D (X )= E (X 2 )－E 2 (X )=2θ2－θ2=θ2

21．设X1, X2 ,…, Xn是相互独立的随机变量且有,i=1,2,…, n.记，.（1）验证（2）验证.（3）验证E (S 2 )

除了“漂亮女生”形成的价格，优惠等条件的威胁外，还有“碧芝”的物品的新颖性，创意的独特性等，我们必须充分预见到。证明：（1）

(利用数学期望的性质2°，3°)

创业首先要有“风险意识”，要能承受住风险和失败。还要有责任感，要对公司、员工、投资者负责。务实精神也必不可少，必须踏实做事； (利用方差的性质2°，3°)

大学生购买力有限，即决定了要求商品能价廉物美，但更注重的还是在购买过程中对精神文化爱好的追求，满足心理需求。（2）首先证

于是

1、DIY手工艺市场状况分析（3）

上述所示的上海经济发展的数据说明：人们收入水平的增加，生活水平的提高，给上海的饰品业带来前所未有的发展空间，为造就了一个消费额巨大的饰品时尚市场提供了经济基础。使大学生对DIY手工艺品的时尚性消费，新潮性消费，体验性消费成为可能。

（三）上海的文化对饰品市场的影响

可见“体验化消费” 广受大学生的欢迎、喜欢，这是我们创业项目是否成功的关键，必须引起足够的注意。23．[二十五] 设随机变量X和Y的联合分布为：

验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。

证：∵ P [X=1 Y=1]= P [X=1]= P [Y=1]=

P [X=1 Y=1]≠P [X=1] P [Y=1]

∴ X，Y不是独立的

又 E (X )=－1×+0×+1×=0

E (Y )=－1×+0×+1×=0

COV(X, Y )=E{[X－E (X )][Y－E (Y )]}= E (XY )－EX·EY

= (－1)(－1) +(－1)1×+1×(－1)×+1×1×=0

∴ X，Y是不相关的

27．已知三个随机变量X，Y，Z中，E (X )= E (Y )=1, E (Z )=－1，D (X )=D (Y )=D (Z )=1, ρXY=0 ρXZ=，ρYZ=－。设W=X+Y+Z 求E (W )，D (W )。

解：E (W )= E (X+Y+Z)= E (X )+ E (Y )+ E (Z )=1+1－1=1

D (W )= D (X+Y+Z)=E{[ (X+Y+Z)－E (X+Y+Z)]2}

= E{[ X－E (X )]+[ Y－E (Y )]+Z－E (Z )}2

= E{[ X－E (X )]2+[ Y－E (Y )]2+ [Z－E (Z )]2+2[ X－E (X )] [ Y－E (Y )]

+2[ Y－E (Y )] [Z－E (Z )]+2[Z－E (Z )] [ X－E (X )]}

= D (X )+D (Y )+D (Z )+2 COV(X, Y )+ 2 COV(Y, Z )+ 2 COV(Z, X )

= D (X )+D (Y )+D (Z )+2

+=1+1+1+2×

26.[二十八] 设随机变量（X1，X2）具有概率密度。

， 0≤x≤2, 0≤y≤2

求 E (X1)，E (X2)，COV（X1，X2），

解：

D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2)

=

28.[二十九]设X～N（μ，σ 2），Y～N（μ，σ 2），且X，Y相互独立。试求Z1= αX+βY和Z2= αX－βY的相关系数（其中是不为零的常数）.

解：由于X，Y相互独立

Cov(Z1, Z2)=E(Z1,Z2)－E(Z1) E(Z2)=E (αX+βY ) (αX－βY )－(αEX+βEY ) (αEX－βEY )

=α2EX 2－βEY 2－α2 (EX ) 2+β(EY ) 2=α2DX－β 2DY=(α2－β 2) σ 2

DZ1=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2, DZ2=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2,

(利用数学期望的性质2°3°)

故

29．[二十三] 卡车装运水泥，设每袋水泥重量（以公斤计）服从N（50,2.52）问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05.

解：已知X～N（50,2.52）不妨设最多可装A袋水泥才使总重量超过2000的概率不大于0.05.则由期望和方差的性质得Y=AX～N（50A,2.52A）.故由题意得

P {Y≥2000}≤0.05

即 解得A≥39.

30.[三十二] 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率p.

解：由题意知μ=7300,σ=700，则由契比雪夫不等式

31.[三十三]对于两个随机变量V,W若E(V2 )E (W2 )存在,证明[E (VW)]2≤E (V2 )E (W 2 )这一不等式称为柯西施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式.

证明：由和关于矩的结论，知当E (V2 ), E (W 2 )存在时E (VW)，E(V ), E(W ), D (V ), D (W ),都存在.当E (V2 ), E (W 2 )至少有一个为零时，不妨设E (V2 )=0，

由D (V )= E (V2 )－[E (V )]2≤E (V2 )=0知D (V )=0，此时[E (V )]2 = E (V2 )=0即E (V )=0。再由方差的性质知P (V=0)=1.又故有P (VW=0)=1.于是E(VW )=0，不等式成立. 当E (V2 )>0，E (W 2 )>0时，对

有E (W－tV )2 = E (V2 ) t2－2 E(VW )t+ E (W 2 )≥0.(*)

(*)式是t的二次三项式且恒非负，所以有∆=[－2 E(VW )] 2－4 E (V2 ) E (W 2 ) ≤0

故Cauchy-Schwarz不等式成立。

[二十一]（1）设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且有E (Xi )=i, D (Xi )=5－i, i=1,2,3,4。设Y=2 X1－X2+3X3－X4，求E (Y)，D (Y)。

（2）设随机变量X，Y相互独立，且X～N（720，302），Y～N（640，252），求Z1=2X+Y，Z2=X－Y的分布，并求P {X>Y }, P {X+Y>1400 }

解：（1）利用数学期望的性质2°，3°有

E (Y )= 2E (X1 )－E (X2 )+3 E (X3 )－E (X4 )=7

利用数学方差的性质2°，3°有

D (Y )=22 D (X1 )+ (－1)2 D (X2 )+32 D (X3 )+()2 D (X4 )=37.25

（2）根据有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知

Z1～N（· ，·），Z2～N（· ，·）

而E Z1=2EX+Y=2×720+640, D (Z1)= 4D (X )+ D (Y )= 4225

E Z2=EX－EY=720－640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525

即 Z1～N（2080，4225）， Z2～N（80，1525）

P {X>Y }= P {X－Y >0 }= P {Z2>0 }=1－P {Z2 ≤0 }

=

P {X+Y >1400 }=1－P {X+Y ≤1400 }

同理X+Y～N（1360，1525）

则P {X+Y >1400 }=1－P {X+Y ≤1400 }

=

[二十二] 5家商店联营，它们每周售出的某种农产品的数量（以kg计）分别为X1，X2，X3，X4，X5，已知X1～N（200，225），X2～N（240，240），X3～N（180，225），X4～N（260，265），X5～N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互独立。

（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差；

（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品？

解：（1）令为总销售量。

已知E X1=200，E X2=240，E X3=180，E X4=260，E X5=320，

D (X1)=225，D (X2)=240，D (X3)=225，D (X4)=265，D (X5)=270，

利用数学期望的性质3°有

利用方差的性质3°有

（2）设商店仓库储存a公斤该产品，使得

P {Y ≤ a}>0.99

由相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，并注意到（1），得

Y～ N（1200，1225）

查标准正态分布表知

∴ a至少取1282.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/92a734130129bd64783e0912a216147916117e77.html