2019-2020学年山西省吕梁市文水县八年级（上）期末数学试卷

2019-2020学年山西省吕梁市文水县八年级（上）期末数学试卷

一.选择题（每小题的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确的选项字母填入下表相应空格内，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．x＞＝2 B．x＜﹣2 C．x≠﹣2 D．x＝﹣2

2．（3分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的民间艺术之一．窗花的内容丰富、题材广泛，以其特有的概括和夸张手法将吉事祥物、美好愿望表现得淋漓尽致．下列窗花的图案中是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

3．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）

A．2，3，5 B．3，3，7 C．8，6，3 D．6，7，14

4．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． a3•a2＝a6 B．（﹣3x2y3）2＝6x4y6

C．（﹣a2b）3÷a5b3＝﹣a D．m4+m4＝m8

5．（3分）从正多边形的一个顶点可以引出5条对角线，则这个正多边形每个外角的度数为（　　）

A．135° B．45° C．60° D．120°

6．（3分）中华人民共和国成立70周年之际，美术社团的同学们用手中的画笔表达了对祖国的爱与祝福．活动中，他们先后两次购买画笔，第一次用120元购买了若干支，第二次用240元在同一家商店购买同样的画笔，这次商家每支优惠2元，结果购买画笔的数量恰好是第一次的3倍，求第一次买了多少支画笔？若设第一次买了x支画笔，根据题意，列方程正确的是（　　）

A．﹣＝2 B．﹣＝2

C．﹣＝2 D．﹣＝2

7．（3分）在数学活动课上，老师提出这样一个问题：“已知∠MON，同学们只用一块三角板可以画出它的角平分线吗？”聪明的小阳经过思考设计了如下方案（如图）：

（1）在角的两边OM、ON上分别取OA＝OB；

（2）过点A作DA⊥OM于点A，交ON于点D；过点B作EB⊥ON于点B，交OM于点E，AD、BE交于点C；

（3）作射线OC．

小阳接着解释说：“此时，△OAC≌△OBC，所以射线OC为∠MON的平分线．”小阳的方案中，△OAC≌△OBC的依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．HL D．AAS

8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是底边BC和腰AC上的中线，点P为AD上一动点，则PE+PC的最小值等于（　　）

A．线段AB的长 B．线段BC的长 C．线段AD的长 D．线段BE的长

9．（3分）我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中，我国南宋数学家在所著的《详解九章算术》（1261年）一书中就用上图解释了二项和的乘方规律．这位南宋数学家是（　　）

A．秦九韶 B．杨辉 C．祖冲之 D．赵爽

10．（3分）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：

①分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧交于点M、N；

②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，则下列结论中不一定成立的是（　　）

A．∠ACB＝90° B．△ACD是等边三角形

C．点D是AB的中点 D．S△ACD＝S△BCD

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）

11．（3分）若分式的值为0，则x＝　 　．

12．（3分）如图所示，a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝10°，∠2＝50°，则∠C的度数为　 　．

13．（3分）已知点M（m+1，1）与点N（2，n﹣1）关于y轴对称，则nm的值为　 　．

14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝75°，BC＝5，将△ABC绕点C旋转得到△A'B'C，且点B'恰好落在AB边上，则BB'的长为　 　．

15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD、CE分别为△ABC的高，并交于点F，若BD＝cm，则AF的长为　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.）

16．（8分）因式分解：

（1）2a2﹣8b2

（2）1+（x﹣1）（x﹣3）

17．（10分）（1）计算：（x+4）（x﹣4）﹣3（x2﹣x+1）

（2）解方程：﹣＝

18．（8分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中x＝﹣2．

19．（7分）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F．求证：BC＝DF．

20．（11分）如图，已知∠AOB，点C是边OA上一点，且∠ACD＝∠AOB．

（1）尺规作图：作∠AOB的平分线OE，交CD于点E．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作图形中，若∠AOB＝30°，OC＝4，求△OCE的面积．

21．（8分）2019年8月，龙城太原成功举办了全国第二届青年运动会．其中，太原学院足球场作为一个重要的比赛场馆，占地面积约24300平方米，总建筑面积4790平方米，设有2476个座位，整体建筑简洁大方，独具特色.2018年3月15日该场馆如期开工，某施工队负责安装该场馆所有座位，在安装完476个座位后，采用新技术，效率比原来提升了25%，结果比原计划提前4天完成安装任务，求原计划每天安装多少个座位？

22．（10分）阅读下面材料，完成相应任务：

（1）小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形．由此判断命题①是　 　命题（填“真”或“假”）．

（2）小彬经过探究发现命题②是真命题．请你结合图2证明这一命题．

（3）小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若AB＝A′B′，BC＝B'C'，CD＝C'D'，　 　，　 　，则四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题．

23．（13分）综合与实践

问题情境

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E是射线AB上一点，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，且交直线CD于点G．

（1）如图1，当点E在线段AD上时，求证：CG＝AE．

自主探究

（2）如图2，当点E在线段BD上时，其它条件不变，请猜想CG与AE之间的数量关系，并说明理由．

拓展延伸

（3）如图3，当点E在线段AB的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CG与AE之间的数量关系．

2019-2020学年山西省吕梁市文水县八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（每小题的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确的选项字母填入下表相应空格内，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．x＞＝2 B．x＜﹣2 C．x≠﹣2 D．x＝﹣2

【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值，进而得出答案．

【解答】解：若分式有意义，

则x+2≠0，

解得：x≠﹣2，

故选：C．

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零是解题关键．

2．（3分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的民间艺术之一．窗花的内容丰富、题材广泛，以其特有的概括和夸张手法将吉事祥物、美好愿望表现得淋漓尽致．下列窗花的图案中是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念判断．

【解答】解：A、不是轴对称图形；

B、不是轴对称图形；

C、不是轴对称图形；

D、是轴对称图形；

故选：D．

【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）

A．2，3，5 B．3，3，7 C．8，6，3 D．6，7，14

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．

【解答】解：根据三角形的三边关系，知

A、2+3＝5，不能组成三角形；

B、3+3＜7，不能够组成三角形；

C、3+6＞8，能组成三角形；

D、6+7＜14，不能组成三角形．

故选：C．

【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．

4．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． a3•a2＝a6 B．（﹣3x2y3）2＝6x4y6

C．（﹣a2b）3÷a5b3＝﹣a D．m4+m4＝m8

【分析】直接利用积的乘方运算法则、整式的除法运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；

B、（﹣3x2y3）2＝9x4y6，故此选项错误；

C、（﹣a2b）3÷a5b3＝﹣a，故此选项正确；

D、m4+m4＝2m4，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

5．（3分）从正多边形的一个顶点可以引出5条对角线，则这个正多边形每个外角的度数为（　　）

A．135° B．45° C．60° D．120°

【分析】先由n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可求出多边形的边数，再根据正多边形的每个外角相等且外角和为360°．

【解答】解：∵经过多边形的一个顶点有5条对角线，

∴这个多边形有5+3＝8条边，

∴此正多边形的每个外角度数为360°÷8＝45°，

故选：B．

【点评】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．熟记n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解题的关键．

6．（3分）中华人民共和国成立70周年之际，美术社团的同学们用手中的画笔表达了对祖国的爱与祝福．活动中，他们先后两次购买画笔，第一次用120元购买了若干支，第二次用240元在同一家商店购买同样的画笔，这次商家每支优惠2元，结果购买画笔的数量恰好是第一次的3倍，求第一次买了多少支画笔？若设第一次买了x支画笔，根据题意，列方程正确的是（　　）

A．﹣＝2 B．﹣＝2

C．﹣＝2 D．﹣＝2

【分析】设第一次买了x支画笔，根据“第一次用120元购买了若干支，第二次用240元在同一家商店购买同样的画笔，这次商家每支优惠2元”列出方程解答即可．

【解答】解：设第一次买了x支画笔，

根据题意，得﹣＝2．

故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．

7．（3分）在数学活动课上，老师提出这样一个问题：“已知∠MON，同学们只用一块三角板可以画出它的角平分线吗？”聪明的小阳经过思考设计了如下方案（如图）：

（1）在角的两边OM、ON上分别取OA＝OB；

（2）过点A作DA⊥OM于点A，交ON于点D；过点B作EB⊥ON于点B，交OM于点E，AD、BE交于点C；

（3）作射线OC．

小阳接着解释说：“此时，△OAC≌△OBC，所以射线OC为∠MON的平分线．”小阳的方案中，△OAC≌△OBC的依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．HL D．AAS

【分析】利用作法得到OA＝OB，OC＝OC，∠OAC＝∠OBC＝90°，则可利用“HL”判定△OAC≌△OBC．

【解答】解：由基本作图得OA＝OB，∠OAC＝∠OBC＝90°，

而OC为公共边，

所以利用“HL”可证明Rt△AOC≌Rt△BOC，

所以∠AOC＝∠BOC，即射线OC为∠MON的平分线．

故选：C．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．

8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是底边BC和腰AC上的中线，点P为AD上一动点，则PE+PC的最小值等于（　　）

A．线段AB的长 B．线段BC的长 C．线段AD的长 D．线段BE的长

【分析】如图连接PB，只要证明PB＝PC，即可推出PC+PE＝PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．

【解答】解：如图，连接PB，

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，

∴PB＝PC，

∴PC+PE＝PB+PE，

∵PE+PB≥BE，

∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，

故选：D．

【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

9．（3分）我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中，我国南宋数学家在所著的《详解九章算术》（1261年）一书中就用上图解释了二项和的乘方规律．这位南宋数学家是（　　）

A．秦九韶 B．杨辉 C．祖冲之 D．赵爽

【分析】根据数学常识解答即可．

【解答】解：这位南宋数学家是杨辉，

故选：B．

【点评】本题考查了数学常识，熟练掌握一些数学常识是解题的关键．

10．（3分）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：

①分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧交于点M、N；

②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，则下列结论中不一定成立的是（　　）

A．∠ACB＝90° B．△ACD是等边三角形

C．点D是AB的中点 D．S△ACD＝S△BCD

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合直角三角形的性质、三角形的性质分别判断得出答案．

【解答】解：由作图方法可得：MN垂直平分BC，

则DC＝DB，

∵CD＝AD，

∴DC＝BD＝AD，

∴∠B＝∠NCB，∠A＝∠ACN，

∴∠A+∠B＝∠NCB+∠ACN＝90°，

故∠ACB＝90°，则A选项不合题意；

无法得出△ACD是等边三角形，故B选项正确；

由DC＝BD＝AD，则点D是AB的中点，故选项C不合题意；

由AD＝BD，则S△ACD＝S△BCD，故选项D不合题意；

故选：B．

【点评】此题主要考查了基本作图以及三角形的性质，正确得出DC＝BD是解题关键．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）

11．（3分）若分式的值为0，则x＝　2　．

【分析】分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，所以，据此求出x的值是多少即可．

【解答】解：∵分式的值为0，

∴

解得x＝2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

12．（3分）如图所示，a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝10°，∠2＝50°，则∠C的度数为　30°　．

【分析】根据平行线的性质可以得到∠3的度数，从而可以得到∠CBA的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得∠C的度数．

【解答】解：∵a∥b，

∴∠2＝∠3，

∵∠2＝50°，

∴∠3＝50°，

∵∠CBA＝∠1+∠3，∠1＝10°，

∴∠CBA＝60°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠C＝30°，

故答案为：30°．

【点评】本题考查平行线的性质、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

13．（3分）已知点M（m+1，1）与点N（2，n﹣1）关于y轴对称，则nm的值为　　．

【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出，横坐标相反数，纵坐标相等，进而得出答案．

【解答】解：∵点M（m+1，1）与点N（2，n﹣1）关于y轴对称，

∴m+1＝﹣2，n﹣1＝1，

解得：m＝﹣3，n＝2，

∴nm＝2﹣3＝．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝75°，BC＝5，将△ABC绕点C旋转得到△A'B'C，且点B'恰好落在AB边上，则BB'的长为　5　．

【分析】证明△BCB'是等边三角形，得出BB'＝BC＝5即可．

【解答】解：∵△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝75°，

∴∠B＝180°﹣45°﹣75°＝60°，

由旋转的性质得：CB'＝CB，

∴△BCB'是等边三角形，

∴BB'＝BC＝5；

故答案为：5．

【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明△BCB'是等边三角形是解题的关键．

15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD、CE分别为△ABC的高，并交于点F，若BD＝cm，则AF的长为　3cm　．

【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，可得AE＝CE，∠EAF＝∠ECB，继而证得△AEF≌△CEB，然后由全等三角形的性质，得到AF＝2BD，代入BD求得答案即可．

【解答】证明：在△ABC中，

∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，

∴AE＝CE，∠EAF＝∠ECB，

在△AEF和△CEB中，

，

∴△AEF≌△CEB（ASA），

∴AF＝BC，

∵BC＝BD+CD，且BD＝CD，

∴BC＝2BD，

∴AF＝2BD，

∵BD＝cm，

∴AF＝3cm．

故答案为：3cm．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.）

16．（8分）因式分解：

（1）2a2﹣8b2

（2）1+（x﹣1）（x﹣3）

【分析】（1）先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；

（2）先将式子展开，再根据完全平方公式进行分解．

【解答】解：（1）2a2﹣8b2

＝2（a2﹣4b2）

＝2（a+2b）（a﹣2b）；

（2）1+（x﹣1）（x﹣3）

＝1+x2﹣3x﹣x+3

＝x2﹣4x+4

＝（x﹣2）2．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

17．（10分）（1）计算：（x+4）（x﹣4）﹣3（x2﹣x+1）

（2）解方程：﹣＝

【分析】（1）原式利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）（x+4）（x﹣4）﹣3（x2﹣x+1）

＝x2﹣16﹣3x2+3x﹣3

＝﹣2x2+3x﹣19；

（2）去分母得：2（x﹣1）+3（x+1）＝6，

去括号得：2x﹣2+3x+3＝6，

移项合并得：5x＝5，

解得：x＝1，

检验：当x＝1时，x2﹣1＝0，

∴原分式方程无解．

【点评】此题考查了解分式方程，以及平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

18．（8分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中x＝﹣2．

【分析】首先计算括号里面的减法，再计算括号外的除法，化简后，再代入x的值即可．

【解答】解：原式＝，

＝，

＝，

＝，

当x＝﹣2时，

原式＝＝﹣．

【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序，正确把分式进行化简．

19．（7分）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F．求证：BC＝DF．

【分析】由已知得出AB＝ED，由平行线的性质得出∠A＝∠E，由AAS证明△ABC≌△EDF，即可得出结论．

【解答】证明：∵AD＝BE，

∴AD﹣BD＝BE﹣BD，

∴AB＝ED，

∵AC∥EF，

∴∠A＝∠E，

在△ABC和△EDF中，，

∴△ABC≌△EDF（AAS），

∴BC＝DF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．

20．（11分）如图，已知∠AOB，点C是边OA上一点，且∠ACD＝∠AOB．

（1）尺规作图：作∠AOB的平分线OE，交CD于点E．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作图形中，若∠AOB＝30°，OC＝4，求△OCE的面积．

【分析】（1）根据角平分线的做法作图即可；

（2）过点E作EF⊥OA于点F，根据角平分线的性质求出∠1＝∠2，然后再根据平行线的判定与性质和等腰三角形的性质可证出EC＝OC＝4，利用含30°的直角三角形的性质可得EF长，再根据三角形面积公式即可求解．

【解答】解：（1）作图如下：

（2）过点E作EF⊥OA于点F，

∵OE平分∠AOB，

∴∠1＝∠2，

∵∠ACD＝∠AOB＝30°，

∴CD∥OB，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∴EC＝OC＝4，

在Rt△CEF中，∠ACD＝30°，

∴EF＝EC＝2，

∴△OCE的面积＝OC×EF＝×4×2＝4．

【点评】此题主要考查了作图﹣复杂作图．以及三角形的面积，关键是掌握角平分线的画法．

21．（8分）2019年8月，龙城太原成功举办了全国第二届青年运动会．其中，太原学院足球场作为一个重要的比赛场馆，占地面积约24300平方米，总建筑面积4790平方米，设有2476个座位，整体建筑简洁大方，独具特色.2018年3月15日该场馆如期开工，某施工队负责安装该场馆所有座位，在安装完476个座位后，采用新技术，效率比原来提升了25%，结果比原计划提前4天完成安装任务，求原计划每天安装多少个座位？

【分析】设原计划每天安装x个座位，则采用新技术后每天安装（1+25%）x个座位，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合采用新技术后提前4天完成安装任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解答】解：设原计划每天安装x个座位，则采用新技术后每天安装（1+25%）x个座位，

依题意，得：﹣＝4，

解得：x＝100，

经检验：x＝100是原方程的解，且符合题意．

答：原计划每天安装100个座位．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

22．（10分）阅读下面材料，完成相应任务：

（1）小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形．由此判断命题①是　假　命题（填“真”或“假”）．

（2）小彬经过探究发现命题②是真命题．请你结合图2证明这一命题．

（3）小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若AB＝A′B′，BC＝B'C'，CD＝C'D'，　∠B＝∠B′　，　∠C＝∠C′　，则四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题．

【分析】（1）利用图1作出判断即可．

（2）连接BD、B’D’．利用全等三角形的性质证明四边形的四条边线段，四个角线段即可解决问题．

（3）结论：∠B＝∠B'，∠C＝∠C′．如图2﹣1中，连接AC，A′C′，利用全等三角形的性质证明四边形的四条边线段，四个角线段即可解决问题．

【解答】解：（1）由图1可知，命题①是假命题．

故答案为：假．

（2）连接BD、B’D’．

在△ABD与△A’B’D’中

∴△ABD≌△A’B’D’（SAS），

∴BD＝B’D’∠ABD＝∠A’B’D’∠ADB＝∠A’D’B’，

在△BCD与△B’C’D’中

，

∴△BCD≌△B’C’D’（SSS），

∴∠C＝∠C’，∠CBD＝∠C’B’D’，∠CDB＝∠C’D’B’，

∴∠ABD+∠CBD＝∠A’B’D’+∠C’B’D’，

∠ADB+∠CDB＝∠A’D’B’+∠C’D’B’，

即∠ABC＝∠A’B’C’，∠ADC＝∠A’D’C’，

∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．

（3）结论：∠B＝∠B'，∠C＝∠C′．

理由：如图2﹣1中，连接AC，A′C′，

∵AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），

∴∠BAC＝∠B′A′C′，AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，

∵∠BCD＝∠B′C′D′，

∴∠ACD＝∠A′C′D′，

∵CD＝C′D′，

∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），

∴AD＝A′D′，∠D＝∠D′，∠CAD＝∠C′A′D′，

∵∠BAC＝∠B′A′C′，∠CAD＝∠C′A′D′，

∴∠BAD＝∠B′A′D′，

∵∠B＝∠B′，∠D＝∠D′，∠BCD＝∠B′C′D′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D′，AD＝A′D′，

∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．

故答案为∠B＝∠B，∠C＝∠C′．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，多边形全等的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，属于中考常考题型．

23．（13分）综合与实践

问题情境

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E是射线AB上一点，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，且交直线CD于点G．

（1）如图1，当点E在线段AD上时，求证：CG＝AE．

自主探究

（2）如图2，当点E在线段BD上时，其它条件不变，请猜想CG与AE之间的数量关系，并说明理由．

拓展延伸

（3）如图3，当点E在线段AB的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CG与AE之间的数量关系．

【分析】综合与实践

（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠ABC，根据同角的余角相等得到∠CBG＝∠ACE，根据ASA证明△ACE≌△CBG，即可得出结论；

自主探究

（2）同理即可证明△ACE≌△CBG，即可得出结论；

拓展延伸

（3）同（2）可得∠A＝∠GCB＝45°，证得∠CGB＝∠AEC，可证明△ACE≌△CBG，即可得出结论．

【解答】综合与实践

解：（1）AE＝CG，理由如下：

∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠ABC＝45°．

∵点D是AB的中点，

∴∠BCG＝∠ACB＝45°，

∴∠A＝∠BCG．

∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF＝90°．

∵∠ACE+∠BCF＝90°，

∴∠CBG＝∠ACE，

在△ACE和△CBG中，

，

∴△ACE≌△CBG（ASA），

∴AE＝CG；

自主探究

（2）AE＝CG；理由如下：

∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠ABC＝45°．

∵点D是AB的中点，

∴∠BCG＝∠ACB＝45°，

∴∠A＝∠BCG．

∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF＝90°．

∵∠ACE+∠BCF＝90°，

∴∠CBG＝∠ACE，

在△ACE和△CBG中，

，

∴△ACE≌△CBG（ASA），

∴AE＝CG；

拓展延伸

（3）CG＝AE．

证明：同（1）（2）可得∠A＝∠GCB＝45°，

∵BF⊥CE，

∴∠GDB＝∠BFE＝90°，

∵∠DBG＝∠FBE，

∴∠CGB＝∠AEC，

，

∴△ACE≌△CBG（AAS），

∴CG＝AE．

【点评】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

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