2020年河南省焦作市中考数学一模试卷

中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. -的绝对值是（　　）

A. B. C. D.

2. “十三五”期间，河南将安排40.27亿元资金支持郑州大学、河南大学“双一流”建设．数据“40.27亿”用科学记数法表示为（　　）

A. 4.027×1010 B. 0.4027×1010 C. 4.027×109 D. 0.4027×109

3. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（　　）

A. B. C. D.

4. 如表是我国近六年“两会”会期（单位：天）的统计结果：

则我国近六年“两会”会期（天）的众数和中位数分别是（　　）

A. 13，11 B. 13，13 C. 13，14 D. 14，13.5

5. 程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（　　）

A. 大和尚25人，小和尚75人 B. 大和尚75人，小和尚25人
C. 大和尚50人，小和尚50人 D. 大、小和尚各100人

6. 将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率（　　）

A. B. C. D.

7. 下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（　　）

A. B. C. D.

8. 已知函数y=kx-b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k-b=0根的情况是（　　）

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 不确定

9. 如图，已知矩形AOBC的三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为( )

A. B. C. D.

10. 如图1，在菱形ABCD中，∠A=120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（　　）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 计算：=______．

12. 已知：如图，∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数是______．

13. 已知反比例函数y=，当x＜-1时，y的取值范围为______．

14. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，把菱形ABCD绕BC的中点E顺时针旋转60°得到菱形A'B'C'D'，其中点D的运动路径为，则图中阴影部分的面积为______．

15. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，CD是△ABC的中线，E是AC上一动点，将△AED沿ED折叠，点A落在点F处，EF线段CD交于点G，若△CEG是直角三角形，则CE=______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 先化简，再求值：，其中m=-2．

17. 贺岁片《流浪地球》被称为开启了中国科幻片的大门，2019也被称为中国科幻片的元年．某电影院为了全面了解观众对《流浪地球》的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次接受调查的观众共有______人；
（2）扇形统计图中，扇形C的圆心角度数是______．
（3）请补全条形统计图；
（4）春节期间，该电影院来观看《流浪地球》的观众约3000人，请估计观众中对该电影满意（A、B、C类视为满意）的人数．

18. 如图，AB为⊙O的直径，DB⊥AB于B，点C是弧AB上的任一点，过点C作⊙O的切线交BD于点E．连接OE交⊙O于F．
（1）求证：CE=ED；
（2）填空：
①当∠D=______时，四边形OCEB是正方形；
②当∠D=______时，四边形OACF是菱形．

19. 如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是该双曲线第一象限上的一点，且∠AOP=45°，填空：
①直线OP的解析式为______；
②点P的坐标为______．

20. 某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈）

21. 某公司推出一款产品，成本价10元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如表：

（注：日销售利润 =日销售量×（销售单价-成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）
（2）根据以上信息，填空：
①m=______kg；
②当销售价格x=______元时，日销售利润w最大，最大值是______元；
（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1025元，试确定该产品销售单价的范围．

22. 如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC、BE，点P为DC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段AP与BE的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出线段AP的取值范围______．

23. 如图，抛物线y=ax2-bx+3交x轴于B（1，0），C（3，0）两点，交y轴于A点，连接AB，点P为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P到直线AB的距离为时，求点P的横坐标；
（3）当△ACP和△ABC的面积相等时，请直接写出点P的坐标．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：-的绝对值是|-|=；
故选：C．
根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算；
本题考查了绝对值的定义．注意一个正数的绝对值是它本身，0的算术平方根是0；负数的绝对值等于它的相反数．
2.【答案】C

【解析】解：40.27亿用科学记数法表示为4.027×109，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C

【解析】解：A、左视图是两个正方形，俯视图是三个正方形，不符合题意；
B、左视图与俯视图不同，不符合题意；
C、左视图与俯视图相同，符合题意；
D左视图与俯视图不同，不符合题意，
故选：C．
根据图形、找出几何体的左视图与俯视图，判断即可．
此题主要考查了由几何体判断三视图，考查了空间想象能力，解答此题的关键是要明确：由几何体想象三视图的形状，应分别根据几何体的前面、上面和左侧面的形状想象主视图、俯视图和左视图．
4.【答案】B

【解析】解：由表知这组数据的众数13，中位数为=13，
故选：B．
根据中位数和众数的定义解答．第3和第4个数的平均数就是中位数，13出现的次数最多．
本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个
5.【答案】A

【解析】解：设大和尚有x人，则小和尚有（100-x）人，
根据题意得：3x+=100，
解得x=25
则100-x=100-25=75（人）
所以，大和尚25人，小和尚75人．
故选：A．
根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程．
6.【答案】B

【解析】解：列表得：

∵12种可能的结果中，能组成“强国”有2种可能，共2种，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“强国”的概率为，
故选：B．
列表得出所有等可能的情况数，找出能组成“强国”的情况数，即可求出所求的概率．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
7.【答案】D

【解析】解：由A得，∴不等式组无解；
由B得，∴不等式组的解集为x＜-2；
由C得，∴不等式组无解；
由D得，∴不等式组的解集为-1＜x≤2．
故选：D．
分别解出各个不等式组，进行检验就可以．
命题立意：考查不等式组的解法．
求不等式组解集的规律：同大取大，同小取小，大小、小大取中间，大大、小小是无解．
8.【答案】C

【解析】解：由图象可得，
​​​​​​​即：k-b＜0
∵△=12-4（k-b）=1-4(k-b)，
而k-b＜0，∴-4（k-b）＞0
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选C．
利用一次函数的性质得k＜0，b＞0，再计算判别式的值得到△=1-4(k-b)，然后判断△与零的关系，从而得到方程根的情况．
本题考查了一元二次方程根的判别式及一次函数的图像．熟练掌握根的判别式是解题的关键。
9.【答案】A

【解析】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），
∴OB=4，OA=BC=3，∠OBC=90°，
∴OC==5，
作GH⊥OC于H．

由作图可知：OG平分∠BOC，
∵GB⊥OB，GH⊥OC，
∴GB=GH，时GB=GH=x，
∵S△OBC=×3×4=×5×x+×4×x，
∴x=，
∴G（4，）．
故选：A．
首作GH⊥OC于H．先证明GB=GH，利用面积法求出GB即可解决问题．
本题考查基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】C

【解析】解：∵在菱形ABCD中，∠A=120°，点E是BC边的中点，
∴易证AE⊥BC，
∵A、C关于BD对称，
∴PA=PC，
∴PC+PE=PA+PE，
∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长．
观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC=6，
∴BE=CE=2，AB=BC=4，
∴在Rt△AEB中，BE=2，
∴PC+PE的最小值为2，
∴点H的纵坐标a=2，
∵BC∥AD，
∴=2，
∵BD=4，
∴PD==，
∴点H的横坐标b=，
∴a+b=2+=；
故选：C．
由A、C关于BD对称，推出PA=PC，推出PC+PE=PA+PE，推出当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC=6，推出BE=CE=2，AB=BC=4，分别求出PE+PC的最小值，PD的长即可解决问题．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】-4

【解析】解：原式=-2-2
=-4．
故答案为：-4．
直接利用负指数幂的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】125°

【解析】解：如图，

∵∠1=∠2=∠5
∴a∥b
∴∠3+∠6=180°，且∠3=55°
∴∠6=125°
∴∠4=∠6=125°
故答案为：125°
根据对顶角相等以及平行线的判定与性质求出∠3+∠6=180°，即可得出∠4的度数．
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．
13.【答案】-2＜y＜0

【解析】解：∵反比例函数y=中，k=2＞0，
∴此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵当x=-1时，y=-2，
∴当x＜-1时，-2＜y＜0．
故答案为：-2＜y＜0．
先根据反比例函数的性质判断出函数的增减性，再求出x=-1时y的值即可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
14.【答案】

【解析】解：如图连接AE、DE、A'E、DE，
∵菱形ABCD中，∠B=60°，E为BC中点，
∴BE=AB=1，∠BAE=30°，∠EAD=90°，
∴∠EA'D=90°，A'E=AE=，DE==，DE'=
∵旋转角为60°，
∴∠DED'=60°，BEB'=60°，BB'=BE=B'E=1，
∴CE=CA'=A'D=1
∴S△EA'D=S△ECD=CE•AE==，
S△EA'D'=EA'•A'D'=××2=，
S扇形EDD'==，
∴S阴影部分=S扇形EDD'-S△EA'D-S△EA'D=--=，
故答案为，
先通过已知条件求出△EA'D与△EA'D'以及扇形EDD'的面积，然后根据S阴影部分=S扇形EDD'-S△EA'D-S△EA'D求出阴影部分面积．
本题考查了扇形的面积，熟练运用割补法是解题的关键．
15.【答案】或

【解析】解：如图1中，当∠CEG=90°时．

易知∠AED=∠DEF=45°，作DH⊥AC于H．则DH=EH，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，AC=AB•cos30°=，
∵AD=DB，
∴AD=1，
在Rt△ADH中，DH=AD•sin30°=，AH=AD•cos30°=，
∴EC=AC-AH-EH=--=．

如图2中，当∠EGC=90°时，易证点B与点F重合，此时ED⊥AB，AE=，EC=-=，

综上所述，EC的长为或．
故答案为或．
分两种情形：如图1中，当∠CEG=90°时．如图2中，当∠EGC=90°时，分别求解即可．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：原式=
=
=
=-，
当m=-2时，
原式=
=
=．

【解析】先化简分式，然后将m的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
17.【答案】（1）100  
（2）54°  
（3）C类人数为：100-60-20-5=15（人），
补全条形统计图如图所示：

（4）观众中对该电影满意的人数为：3000×=2850（人）.

【解析】解：（1）由条形统计图可知，A类人数是60人，由扇形统计图可知，A类人数所占的百分比为60%，
则本次接受调查的观众人数为：60÷60%=100（人），
故答案为：100；
（2）扇形C的圆心角度数为：360°××100%=54°，
故答案为：54°；
（3）见答案；
（4）见答案．
【分析】
（1）根据条形统计图得到A类人数，根据扇形统计图得到A类人数所占的百分比，计算求出接受调查的观众人数；
（2）根据C类人数的百分比，求出圆心角；
（3）求出观众中对该电影满意的人数的百分比，计算即可．
本题考查的是条形统计图、扇形统计图、样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
18.【答案】解：（1）证明：连接OC，
​
∵CE为⊙O的切线，
OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∴∠ACO+∠DCE=90°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∴∠A+∠D=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠D=∠DCE，
∴CE=ED；
（2）45°；30°.

【解析】解：（1）见答案
（2）若四边形OCEB是正方形，
则∠CEB=90°，
∴∠CED=90°，
∵CE=ED，
∴∠D=∠DCE=45°，
故答案为45°；
（3）若四边形OACF是菱形，
则OA=AC，
∵OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∵DB⊥AB，
∴∠A+∠D=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
故答案为30°．
【分析】（1）证明：连接OC，由CE为⊙O的切线，可得OC⊥CE，∠OCE=90°，所以∠ACO+∠DCE=90°，因为BD⊥AB，所以∠A+∠D=90°，又OA=OC，∠A=∠OCA，所以∠D=∠DCE，因此CE=ED；
（2）若四边形OCEB是正方形，则∠CEB=90°，∠CED=90°，因为CE=ED，所以∠D=∠DCE=45°；
（3）若四边形OACF是菱形，则OA=AC，又OA=OC，于是△OAC为等边三角形，∠A=60°，因为DB⊥AB，所以∠A+∠D=90°，因此∠D=30°．
本题是圆综合题，熟练掌握圆的相关性质以及菱形正方形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：（1）由图知，点A（1，3），
∵点A（1，3）在反比例函数y=图象上，
∴k═1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y=；
​（2）①y=x；
②（，）

【解析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，方程组的解法，构造出全等三角形是解本题的关键．
（1）由网格得出点A坐标，代入反比例函数解析式中，即可得出结论；
（2）①先构造出全等三角形，AC=BC，求出点B（3，-1），C的横坐标为3，用AC=BC建立方程求解即可得出结论；
②联立直线OP和双曲线解析式，解得即可得出结论．
【解答】
解：（1）见答案；
（2）①如图，
过点O作OA的垂线OE，取x轴上点（3，0），
记D，则D（3，0），
∴OD=3，
过点D作BD⊥x轴，交OE于B，OP于C，
易知，B（3，-1），OA=OB，
∵∠AOP=45°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOP=45°=∠AOC，
∵OC=OC，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴AC=BC，
设C（3，m），
∵A（1，3），B（3，-1），
∴AC=，BC=m+1，
∴=m+1，
∴m=，
∴C（3，），
设直线OP的解析式为y=kx，
∴3k=，
∴k=，
∴直线OP的解析式为y=x，
故答案为：y=x；

②由①知，直线OP的解析式为y=x（Ⅰ），
由（1）知，反比例函数解析式为y=（Ⅱ），
联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，或（由于点P在第一象限内，所以，舍去），
∴P（，），
故答案为：（，）．
20.【答案】解：施工方提供的设计方案不满足安全要求，理由如下：
在Rt△ABC中，AC=15m，∠ABC=45°，
∴BC==15m．
在Rt△EFG中，EG=15m，∠EFG=37°，
∴GF=≈=20m．
∵EG=AC=15m，AC⊥BC，EG⊥BC，
∴EG∥AC，
∴四边形EGCA是矩形，
∴GC=EA=2m，
∴BF=GF-GC-BC≈20-15-2=3m．
∵BD=5m，
∴FD=BD-BF≈5-3=2＜2.5，
∴施工方提供的设计方案不满足安全要求．

【解析】在Rt△ABC中通过解直角三角形可求出BC的长度，在Rt△EFG中通过解直角三角形可求出GF的长度，由EG=AC=15m、AC⊥BC、EG⊥BC可得出四边形EGCA是矩形，进而可得出GC的长度，再根据BF=GF-GC-BC、FD=BD-BF即可求出FD的长度，由FD的长度小于2.5米可得出施工方提供的设计方案不满足安全要求．
本题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，通过解直角三角形求出BC、GF的长度是解题的关键．
21.【答案】解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，
将点（14，240），（18，180）代入，
，
∴，
∴y=-15x+450；
（2）①60  ；② 20 ，  1500  ；
（3）W=-15x2+600x-4500-100≥1025，
∴x2-40x+375≤0，
∴15≤x≤25.

【解析】解：（1）见答案；
（2）①当x=26时，代入解析式m=60，
故答案为60；
②W=y（x-10）=（-15x+450）（x-10）=-15x2+600x-4500=-15（x-20）2+1500，
当x=20时，W有最大值1500；
故答案为20，1500；
（3）见答案.
本题考查一次函数的应用，二次函数的性质，一元二次不等式的解法；能够理解题意列出合理的方程和不等式是解题的关键．
​（1）从表格中取点代入一次函数解析式即可求解；
（2）W=y（x-10）=-15（x-20）2+1500，结合二次函数的性质求W的最大值；
（3）列出不等式W=-15x2+600x-4500-100≥1025，求解即可；
22.【答案】解：（1）AP=BE；AP⊥BE；
（2）结论成立．
理由：如图2中，延长AP到J，使得PJ=PA，连接JC，延长PA交BE于O．

∵PA=PJ，PD=PC，∠APD=∠JPC，
∴△APD≌△JPC（SAS），
∴AD=JC，∠ADP=∠JCP，
∴AD∥JC，
∴∠DAC+∠ACJ=180°，
∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∴∠EAB=∠JCA，
∵AB=CA，AE=DA=CJ，
∴△EAB≌△JCA（SAS），
∴BE=AJ，∠CAJ=∠EBA，
∴AP=​AJ=BE.
∵∠CAJ+∠BAO=90°，
∴∠EBA+∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，
∴PA⊥BE．
（3）3≤PA≤7.

【解析】解：（1）如图1中，设PA交BE于点O．

∵AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠EAB，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴BE=CD，∠ACD=∠ABE，
∵∠DAC=90°，DP=PC，
∴PA=CD=PC=PD，
∴PA=BE，∠ACD=∠PAE，
∵∠CAP+∠BAO=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，
∴PA⊥BE，
故答案为：AP=BE，PA⊥BE．
（2）见答案．
（3）∵AC=10，CJ=4，
∴10-4≤AJ≤10+4，
∴6≤AJ≤14，
∵AJ=2AP，
∴3≤PA≤7．
故答案为：3≤PA≤7．
【分析】
（1）如图1中，设PA交BE于点O．证明△DAC≌△EAB（SAS），结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
（2）结论成立．如图2中，延长AP到J，使得PJ=PA，连接JC．延长PA交BE于O．证明△EAB≌△JCA（SAS），即可解决问题．
（3）利用三角形的三边关系即可解决问题．
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：（1）用交点式抛物线表达式得：y=a（x-1）（x-3）=a（x2-4x+3），
即3a=3，解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2-4x+3…①，
则点A（0，3）；
（2）过点P作PH⊥AB于点H，
过点H作HG∥x轴交过点P平行于y轴的直线于点G，

则∠ABO=∠HPG=α，
在△AOB中，tanABO==3=tanα，
设PG=n，则HG=3n，PH=，
即：n2+9n2=（）2，解得：n=，
则直线直线AB的表达式为：y=-3x+3，
设点H（m，3-3m），则点P（m+，-3m），
将点P坐标代入①式并整理得：3m2+11m-14=0，
解得：m=1或-，
故点P的横坐标为：或-；
（3）①当点P在x轴上方时，
参考（2）作△P′G′H′，过点O作OM⊥AC于点M，

∵△ACP和△ABC的面积相等，
∴P′H′=OM，
∵OA=OB，
∴∠ACO=45°，
∴OM=，
即：P′H′=OM=，
按照（2）的方法，同理可得：
点P′的坐标为（，）或（，）；
②当点P不在x轴上方时，
同理可得：点P（2，-1）或（1，0）（与B点重合）；
故：点P（P′）的坐标为（，）或（，）或（2，-1）或（1，0）．

【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数、勾股定理运用等知识点，难度不大．
（1）用交点式抛物线表达式得：y=a（x-1）（x-3）=a（x2-4x+3），即可求解；
（2）在△AOB中，tanABO==3=tanα，设PG=n，则HG=3n，PH=，求出n=，设点H（m，3-3m），则点P（m+，-3m），即可求解；
（3）△ACP和△ABC的面积相等，则P′H′=OM=，即可求解．

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