中考二次函数综合压轴题型归类
一、常考点汇总
1、两点间的距离公式:
2、中点坐标:线段
直线
(1)两直线平行
(3)两直线重合
3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下:
① 用
② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式)
③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。
例:关于的一元二次方程
4、二次函数与
例:若抛物线
5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下:
已知关于
解:当
当
综上所述:无论
6、函数过固定点问题,举例如下:
已知抛物线
解:把原解析式变形为关于
∴
∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。
(题目要求等价于:关于
小结:关于
7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)
(1)如图,直线
(2)如图,直线
(3)如图,
三角形的面积求解常用方法:如右图,S△PAB=1/2 ·PM·△x=1/2 ·AN·△y
9、函数的交点问题:二次函数(
(1)解方程组
(2)解方程组
通过
有两个交点
仅有一个交点
没有交点
10、方程法
(1)设:设主动点的坐标或基本线段的长度
(2)表示:用含同一未知数的式子表示其他相关的数量
(3)列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时,利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求 | 几何分析 | 涉及公式 | 应用图形 |
跟平行有关的图形 | 平移 | 平行四边形 矩形 梯形 | |
跟直角有关的图形 | 勾股定理逆定理 利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等 | 直角三角形 直角梯形 矩形 | |
跟线段有关的图形 | 利用几何中的全等、中垂线的性质等。 | 等腰三角形 全等 等腰梯形 | |
跟角有关的图形 | 利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等 | ||
【例题精讲】
一 基础构图:
y=
★和最小,差最大 在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小,求出P点坐标
在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大,求出P点坐标
★求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P,使得
★ 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P,使得
求出P坐标或者在抛物线上求点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.
★ 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P,使得
求出P坐标
★ 讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,
且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标
二 综合题型
例1 (中考变式)如图,抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,顶点为D。交Y轴于C
(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。
(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M,使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形,若存在,求出点P的坐标。若没有,请说明理由
(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合),过E作EF与X轴垂直,交BC于F,设E点横坐标为x.EF的长度为L,
求L关于X的函数关系式?关写出X的取值范围?
当E点运动到什么位置时,线段EF的值最大,并求此时E点的坐标?
(4)在(5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形?
(5)在(5)的情况下点E运动到什么位置时,使三角形BCE的面积最大?
例2 考点: 关于面积最值
如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(-1,0)、(0,
(2)若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段PF的长;
(3)求△PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标.
例3 考点:讨论等腰
如图,已知抛物线y=
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;
(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.
例4考点:讨论直角三角
⑴ 如图,已知点A(一1,0)和点B(1,2),在坐标轴上
确定点P,使得△ABP为直角三角形,则满足这样条件的点P共有( ).
(A)2个 (B)4个 (C) 6个(D)7个
⑵ 已知:如图一次函数y=
(1)求二次函数的解析式;
(2)求四边形BDEC的面积S;
(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.
例5 考点:讨论四边形
已知:如图所示,关于x的抛物线y=ax 2+x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0),点B(6,0),与y轴交于点C.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;
(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
综合练习:
1、平面直角坐标系xOy中,抛物线
(1) 求此抛物线的解析式;
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB,求点P的坐标;
(3) Q为线段BD上一点,点A关于∠AQB的平分线的对称点为
2、在平面直角坐标系
(1) 求二次函数的解析式及顶点D的坐标;
(2) 点M是第二象限内抛物线上的一动点,若直线OM把四边形ACDB分成面积为1 :2的两部分,求出此时点
(3) 点P是第二象限内抛物线上的一动点,问:点P在何处时△
3、如图,在平面直角坐标系
(1)求点
(2)
(3)在(2)的条件下,点
4、已知关于
(1) 若方程有两个不相等的实数根,求
(2) 若正整数
5如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(﹣4,0)和B.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CEQ的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(﹣2,0).问是否有直线l,使△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
三、中考二次函数代数型综合题
题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧
例1.已知二次函数y=x 2+(m-1)x+m-2的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1<x2.
(1)若x1x2<0,且m为正整数,求该二次函数的表达式;
(2)若x1<1,x2>1,求m的取值范围;
(3)是否存在实数m,使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C(0,2),若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;
(4)若过点D(0,
题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题
例2 已知二次函数y= x 2+mx+m-5,
(1)求证:不论m取何值时,抛物线总与x轴有两个交点;
(2)求当m取何值时,抛物线与x轴两交点之间的距离最短.
题型三、抛物线方程的整数解问题
例1. 已知抛物线
例2.已知二次函数y=x 2-2mx+4m-8.
(1)当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围;
(3)若抛物线y=x 2-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数,
求整数m的值.
题型四、抛物线与对称,包括:点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合
例1.已知抛物线
(1)求m,b的值
(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方,且BO=
题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)
例1.已知:二次函数
(1)求实数m的取值范围;
(2)如果(
(3)把(2)中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移,如果平移后的函数图象与x轴交于点
综合提升
1.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,4),且| AB|=2
(1)求二次函数的表达式;
(2)若二次函数的图象都在直线y=x+m的下方,求m的取值范围.
2.已知二次函数y=-x 2+mx-m+2.
(1)若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB=
(2)设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N,且S△MNC =27,求m的值.
3. 已知关于x的一元二次方程x 2-2(k+1)x+k 2=0有两个整数根,k<5且k为整数.
(1)求k的值;
(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数y=x 2-2(k+1)x+k 2的图象沿x轴向左平移4个单位,求平移后的二次函数图象的解析式;
(3)根据直线y=x+b与(2)中的两个函数图象交点的总个数,求b的取值范围.
4.已知二次函数的图象经过点A(1,0)和点B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m.
(1)若m为定值,求此二次函数的解析式;
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围;
(3)若二次函数的图象截直线y=-x+1所得线段的长为2
四、中考二次函数定值问题
1. 如图,已知二次函数L1:y=x2﹣4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.
(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)研究二次函数L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.
2. 如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,O)、B(2,0)、C(0,-l)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作平行于x轴的直线、.
(1)求抛物线对应二次函数的解析式;
(2)求证以ON为直径的圆与直线相切;
(3)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长.
3. 如图1,已知直线y=kx与抛物线交于点A(3,6).
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
4.孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点,请解答以下问题:
(1)若测得OA=OB=2
(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BF⊥x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标;
(3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.
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