高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式例谈韦达定理解含参数的一元二次不等式素材北师大版必修5201

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例谈韦达定理解含参数的一元二次不等式

韦达定理是研究一元二次不等式的重要工具，而巧用韦达定理还可以解决一类含参数的二次不等式的求解问题．

定理：若word/media/image1_1.png有两实根word/media/image2_1.png 则

word/media/image3_1.png word/media/image4_1.png的解为word/media/image5_1.png或word/media/image6_1.png．

word/media/image7_1.png word/media/image8_1.png的解为word/media/image9_1.png．

其中word/media/image10_1.png满足word/media/image11_1.png

例1．已知word/media/image12_1.png的解为word/media/image13_1.png，试解不等式word/media/image14_1.png．

解法1．由word/media/image12_1.png的解为word/media/image13_1.png可知word/media/image15_1.png且word/media/image16_1.png是word/media/image17_1.png

的两根．则由韦达定理可知word/media/image18_1.png

那么word/media/image14_1.png即为word/media/image19_1.png ，其解为word/media/image20_1.png或word/media/image21_1.png

解法2．上面解题过程中也可不求word/media/image22_1.png的值：

由韦达定理可知word/media/image23_1.png

那么由word/media/image15_1.png，在word/media/image14_1.png两边同除以word/media/image24_1.png可得：word/media/image25_1.png

即word/media/image26_1.png word/media/image27_1.png 其解为word/media/image20_1.png或word/media/image21_1.png

例2．知关于word/media/image28_1.png的不等式word/media/image4_1.png的解为word/media/image29_1.png，其中word/media/image30_1.png，

求word/media/image31_1.png的解．

解：由word/media/image4_1.png的解为word/media/image29_1.png可知word/media/image15_1.png，

再由韦达定理可知word/media/image32_1.png

word/media/image33_1.png 在word/media/image31_1.png两边同除以word/media/image24_1.png可得：word/media/image34_1.png

即word/media/image35_1.png word/media/image36_1.png 又word/media/image30_1.png

故word/media/image37_1.png 且word/media/image38_1.png

word/media/image39_1.png解为word/media/image40_1.png或word/media/image41_1.png

例3．已知关于word/media/image28_1.png的不等式word/media/image42_1.png的解为word/media/image29_1.png，其中word/media/image43_1.png，

求word/media/image44_1.png的解．

解：由条件易知word/media/image45_1.png．再由韦达定理可知word/media/image46_1.png

在word/media/image47_1.png两边同除以word/media/image24_1.png 则：word/media/image34_1.png

即word/media/image48_1.png word/media/image49_1.png 又word/media/image50_1.png

故word/media/image51_1.png 且word/media/image52_1.png 则word/media/image53_1.png

word/media/image39_1.png 所求不等式的解为word/media/image54_1.png．

评述：韦达定理在一元二次不等式和对应的二次方程关系中起到了导航的作用，在求解中达到了化难为易、化繁为简的目的，同学们不妨一试．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8c68db40a1116c175f0e7cd184254b35effd1a2e.html