有关矩阵最小多项式的探讨

编号：09005110201

南阳师范学院2013届毕业生

毕业论文（设计）

题 目： 关于矩阵最小多项式的探讨

完 成 人： 李菊花

班 级： 2009-02

学 制： 4 年

专 业： 数学与应用数学

指导教师： 袁玉卓

完成日期： 2013-04-12

目　　录

摘要.........................................................................................................(1)

0引言.....................................................................................................(1)

1 预备知识.............................................................................................(1)

2矩阵最小多项式的求法…………………………………………………….(2)

2.1利用不变因子求矩阵最小多项式…………………………………………………………….(3)

2.2利用特征函数求矩阵的最小多项式………………………..…………………..............(4)

2.3利用标准型计算矩阵的最小多项式…………………..………………….............(5)

3 矩阵最小多项式的应用………………………………………...........................(7)

3.1矩阵最小多项式在矩阵运算中的应用.……..…............................................(7)

3.1.1已知方阵和多项式，求……….……………..……..…..........(7)

3.1.2为方阵确定非奇异及求的逆..……………..…..................(8)

3.2矩阵最小多项式在矩阵相似中的应用........………..…………………………………(10)

3.3矩阵最小多项式在微分方程组中的应用.........………..……..........................(12)

参考文献………..………..………..………..………..…......................(13)

Abstract………..………..………..………..………..........…................(14)

关于矩阵最小多项式的探讨

作 者：李菊花

指导老师：袁玉卓

摘要：总结矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了矩阵最小多项式在代数问题、常微分方程组求解问题上的应用.

关键词：矩阵;最小多项式;最小多项式的应用

0引言

在《高等代数》教材中，对矩阵最小多项式的概念有所阐述，但对其求法和应用讨论较少.事实上，矩阵的最小多项式在判断矩阵相似、若当标准型、矩阵函数、矩阵方程和研究线性变换的结构中都有极为重要的应用，也是现在研究矩阵最小多项式的主要方向之一.目前，国内很多学者对矩阵最小多项式的求法已有较深入的研究.为了更好地掌握矩阵最小多项式的求法，挖掘其应用价值，本文给出了矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了最小多项式的相关应用.

1预备知识

为了叙述的需要,我们首先引入以下符号.

表示复数域上的一元多项式环.

表示上的全体阶矩阵对矩阵的加法与数乘矩阵运算构成的向量空间.

表示方阵的特征多项式.

表示方阵的最小多项式.

为了便于证明，有必要引入矩阵最小多项式的相关概念.

定义1 设，，若=0，则称为的零化多项式.

定义2 在的零化多项式中，次数最低的首项系数是1的多项式称为的最小多项式，记作.

引理1 若当块的最小多项式为.若当块的最小多项式恰好是其特征多项式时，.

引理 2相似矩阵有相同的最小多项式，即若相似于，则.

引理3任取中的阶可逆矩阵，设其最小多项式为，则的最小多项式是

引理4设=，记的最小多项式为，的最小多项式为，则.

引理 5的根必是的根.

2 矩阵最小多项式的求法

在给出了矩阵的最小多项式的相关概念之后，我们容易得到以下几种计算矩阵最小多项式的方法.

2.1利用不变因子求矩阵最小多项式

定理1阶复数矩阵的最小多项式就是的最后一个不变因子.

证明 任取中矩阵，则相似于某一个若当块.

其中，

由引理2知，

（1）

又由引理4，

（2）

再有引理1，

（3） 其中，是的阶数，是主对角线的元素，

结合（1），（2），（3）得：

.

由引理4及初等因子的概念，是各若当块的初等因子（即的初等因子组）的最小公倍式，恰好等于从各组同底初等因子中抽取次数最高的一个作乘积的结果.根据用初等因子组确定不变因子的方法知，从而.

由定理1得出求的步骤如下：

（1）首先，求出矩阵的特征多项式.

（2）其次，求出矩阵的各阶行列式因子.

（3）最后，利用不变因子与行列式因子之间的关系求出矩阵的最后一个不变因子即为矩阵的最小多项式.

由定理1可以得到计算矩阵最小多项式的第一种方法，即通过求矩阵的最后一个不变因子，得到矩阵的最小多项式.

例1求矩阵的最小多项式.

解 矩阵特征多项式为：

.

各阶行列式因子分别为：

，，.

则有

.

于是

.

由于的不变因子即为的不变因子，从而有定理1知，的最后一个不变因子就是的最小多项式，即.

注 由例1可以看出运用定理1求矩阵的最小多项式有以下特点：

(1)优点: 具有普遍适用性.

(2)缺点: 由于该方法结合了矩阵的初等因子、行列式因子等的计算，计算过程比较复杂.

为了减少运算，我们能否从矩阵的特征多项式出发，不用计算矩阵的各阶行列式因子以及利用不变因子与行列式因子之间的关系，得出求解矩阵的最小多项式的方法呢？下面我们先介绍一下另一个定理.

2.2利用特征多项式求矩阵最小多项式

定理2 若矩阵的特征多项式

其中为的所有互不相同的特征值，且均大于等于1，则

，其中.

由此定理2得出求的步骤如下：

(1)首先求出矩阵的特征多项式.

(2)其次将分解不同的一次因式的幂积.

(3)最后取包含一切不同的一次因式的幂积,由低次像高次逐一试验，求出使零化的次数最低的这样的幂积即为.

由定理2可以得到计算矩阵的最小多项式的第二种方法，即通过计算矩阵的特征多项式，并分解成含的形式，通过检测，可以得到矩阵的最小多项式.

例2求矩阵的最小多项式.

解 矩阵的特征多项式为：

.

矩阵的最小多项式为：

由于

所以故的最小多项式为：

注 由代数基本定理，我们知道在复数域上肯定可以作标准分解，但是有时候做标准分解时有一定的难度，也有一定的技巧.那么有没有较易的方法来计算矩阵的最小多项式呢？下面是计算矩阵的最小多项式的另外一种方法.

2.3利用标准型计算矩阵的最小多项式

北大教材《高等代数》第七章中关于矩阵的最小多项式有这样一个定理，现叙述如下：

定理3 设是一个准对角矩阵

并设的最小多项式为，的最小多项式为，那么

的最小多项式为，的最小公倍式.

这个结论可以推广到为若干个矩阵组成的准对角的情形，即如果

的最小多项式为，其中，那么的最小多项式为.

从上述定理和推论中，我们可以得出利用标准型计算矩阵最小多项式的步骤如下：

(1)将矩阵化成若干个矩阵组成的准对角的形式.

(2)分别求出各个分块矩阵的最小多项式.

(3)求出各个分块矩阵的最小多项式的最小公倍式，即为矩阵的最小多项式.

由定理3及其推广我们可以得到计算矩阵的最小多项式的第三种方法，即只要求出矩阵的分块矩阵的最小多项式，然后求出它们的最小公倍式，即为矩阵的最小多项式.

例3设，求矩阵的最小多项式.

解 设，其中，.

因矩阵的最小多项式为

.

矩阵的最小多项式为

.

故由上述定理可得矩阵的最小多项式为

从例3中可以看出，用标准型计算矩阵的最小多项式虽然比较容易计算，但是运算量比较大.那么计算矩阵的最小多项式还有其它的方法呢？

目前计算矩阵的最小多项式的方法有四种，第一种是利用矩阵的最后一个不变因子，第二种是利用矩阵矩阵的特征多项式的标准分解，第三种是利用标准型，第四种是利用矩阵的幂系列的相关性.上面给出了求矩阵的最小多项式的前三种最常用的方法.最后一种方法在此不再论述.当给出一个矩阵要求计算其最小多项式的时候，我们要灵活地选择计算矩阵最小多项式的方法.这样不仅可以有效地达到预计目的，而且可以大大地减少运算过程.我们知道矩阵的最小多项式在研究线性变换的结构及矩阵的对角化方面起着十分重要的作用，然而它在实际运算中有哪些作用呢？下面从三个方面简要叙述.

3 矩阵最小多项式的应用

我们在矩阵的最小多项式的相关概念以及两种基本求法的基础上，进一步探讨矩阵的最小多项式，简要地总结出了矩阵的最小多项式在矩阵函数、矩阵相似和微分方程组中的相关应用.下面从这三个角度逐一论述.

3.1 矩阵最小多项式矩阵运算中的应用

3.1.1已知方阵和多项式，求

设是任意多项式，为方阵的最小多项式，有带余除法知，用除，得到商式和余式，即

由哈密顿-凯莱定理可知

再由引理5得出

因此

由此看出，由来求要比直接计算简单些.下面通过实际运算来体现矩阵的最小多项式在求矩阵函数中的作用.

例4设

求.

解 矩阵的特征多项式为：

因为没有重根，故

由带余除法得：

计算可知因此：

在利用矩阵的最小多项式求解矩阵函数时，从例4中可以看出，当多项式的次数比较高时，直接将带入求解运算量会很大，而由带余除法知利用最小多项式可以使的次数降到低于的次数，再将带入求解，从而简化了运算过程.

注 如果已知矩阵的特征多项式，而矩阵的最小多项式尚未求出，为了求出，可以用除得到余式，此时依然有

3.1.2为方阵确定非奇异及求的逆.(是多项式).

定理4 设是方阵的最小多项式，是次数大于等于1的多项式.

（1）若，则降秩（奇异）.

（2）若则秩=秩.

（3）非异的充要条件是、互质.

我们从以下两个例题来说明上述定理的简单应用.

例5 设多项式，

矩阵，试判断矩阵多项式和的奇异性，并求出的秩.

解：由例2知，矩阵的最小多项式为：

由多项式理论求得和的最大公因式为：

由定理3知，是非奇异矩阵.

和的最大公因式为：

由定理3知，是奇异矩阵，且秩秩，而

.

显然，秩秩.

从例5中我们可以得出：利用定理3可以判断矩阵多项式的奇异性并可以求出的秩.

在矩阵的运算中,求矩阵的逆一般是比较麻烦的,对于一些特殊的矩阵可以利用矩阵的最小多项式来化简.我们通过下面的例子来说明.

例6 设

求的逆矩阵.

解 矩阵的特征多项式为：

所以或

由于

故

易知

于是存在使得

其中

于是

.

由于

因此

从而

在例6中，如果直接将带入求解，在求解的逆，虽然可以求出最终的结果，但是计算过程复杂繁琐的多.由此可以看出，利用矩阵最小多项式求解矩阵函数的逆，可以简化计算过程.

从以上的例题中，我们可以得出：矩阵最小多项式能起到简化多项式的作用.

3.2矩阵最小多项式在矩阵相似中的应用

由北大数学教材《高等代数》第七章定理，我们知道 ： 数域上的级矩阵与对角阵相似的充要条件为的最小多项式是上的互素的一次因式的乘积.

由此得出的推论如下：

推论1若的某一零化多项式没有重根，则与对角方阵相似，且对角阵的元素都是此零化多项式的根.

证明 设多项式没有重根且，

由于

(4)

故也没有重根，所以存在对角阵，使得

则都是的特征根,同时都是的根.

由(4)知都是的根.

我们由北大数学教材《高等代数》第七章第九节中的推论可以知道：复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式没有重根.有推论1可以判断方阵能否与对角阵相似.下面举例说明与对角矩阵相似的一些特殊矩阵.

例7 证明在以下三种条件下矩阵是否可以对角化.

证明（1）由于，得到，取使零化. 由于无重根，故

其中.

（2）由，得，故使零化.

由于没有重根，故

，.

（3）由于故得为零化多项式.但是它有重根，由推论2知不可对角化.

3.3矩阵最小多项式在微分方程组中的应用

在历年研究生入学考试中,对矩阵的最小多项式的考查综合性较强,能力要求较高,是个难点.下面通过线性微分方程组的定解问题和有关定理来说明矩阵的最小多项式在常微分方程组中的灵活运用.

在线性控制系统中，常常涉及求解线性微分方程组的问题，用矩阵函数理论给计算带来很大方便.对于一阶线性微分方程组的定解问题：

，其中

易得方程组的唯一解为：

上述求解可归纳为的计算，一般都用矩阵标准型来求解矩阵函数或,但是若矩阵与对角阵不相似，计算过程会很复杂.如果运用矩阵的最小多项式理论，计算过程将大大简化.如何运用矩阵的最小多项式理论快速地求出基解矩阵呢？为此我们引入下述定理：

定理5 若矩阵的最小多项式为次多项式，，其中为的所有互不相同的特征值，又与收敛的复变幂级数相应的是的收敛幂级数，则可表为的次多项式，

并且

其中系数，，，由以下方程组确定：对

例8 求下列微分方程组的定解.

其中

解 有定解理论得出方程组的解为：

其特征方程为

.

易得矩阵的最小多项式

设，得

解之得：

则有

故定解为：

从例8中我们可以看出，如果利用特征多项式来求解，由于特征多项式.特征根有两个，且特征值1的次数为2，计算量显然要比例题中的解法复杂.由此可见，用矩阵最小多项式计算微分方程组的标准矩阵和齐次线性微分方程组的初值问题能起到简化计算的目的. 此题通过利用矩阵的最小多项式灵活地求出了微分方程组的定解,体现了其在交叉学科中的重要地位.

参 考 文 献

[1] 赵礼峰.矩阵最小多项式求法探讨[J].淮北煤师院学报.1993,3(14):60-65.

[2] 吴洁华.矩阵最小多项式的求解及应用[J].韩山师范学院学报.2010,6(31):19-24.

[3] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4] 韩振芳，杨小姝，王宇红.有关最小多项式定理及其应用[J].河北北方学院学报（自然科学报）2006，3（22）：4-5.

[5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6] 龙小胖.最小多项式的求法[J].井冈山师范学院学报（自然科学）.2004，5（25）：54-55.

[7] 贺加来.矩阵的最小多项式的进一步探讨[J].巢湖学院学报.2006,3(8):157-159.

[8] 朱思铭，王寿松，李艳会.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

[9] 靳艳芳.最小多项式的性质、求法及应用[D].河南郑州：郑州华信学院综合教育部,1994.

[10] 王子瑜，陈华如.矩阵最小多项式在微分方程组中的应用[J].铜陵学院学报.2004(3):67-71.

Discussion on Minimal Polynomial of Matrix

LI Ju-hua

Abstract: We summarize the approaches to minimal polynomial of a matrix. Examples about the minimal polynomial in solving algebra and ordinary differential system problems are explained to prove the Validity.

Key words: matrix; minimal polynomial; application of minimal polynomial.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8ae707d02cc58bd63186bda6.html