2008-2009.1中国海洋大学线性代数以及答案

1.选择题（每题3分，共18分）

1. C 2. B 3. D 4. A 5. C 6. D

2．填空题：（每空3分,共18分）

1. 0

2. 3. 由，得

4. 1, 1, 0 5. -1

6.

3．(12分)

解：(1). 利用数学归纳法，得

1.，

2.假设时成立，证明时成立.

行列式按第一行展开，再按第一列展开得

.

由1.,2.得结论成立. -----------------------------------（4分）

(2).时，有唯一解.

由克莱默法则，得

. -----------------（8分）

(3).时，有无穷多解，解为

, 为任意常数.------------（12分）

四．(12分)

证明：设 （1）

因为，，，用左乘（1）式两端，得

，

从而 . （2）

---------------（6分）

由（1）式又有

. （3）

将（2）式代入（3）式，得

.

因为是基础解系，它们线性无关，故必有

，

因此，向量组线性无关. ------------（12分）

五．(15分)

解：对增广矩阵作初等行变换，有

----------（6分）

若，则，，方程组无解.

若，则，方程组有无穷多解.

若且，则，方程组有唯一解. ----------（9分）

当时，

方程组通解是：，为任意常数.----------（12分）

当且时，

得

方程组的唯一解为：. ----------（15分）

六． (13分)

解：由矩阵的特征多项式

----------（6分）

如果是重根，则中含有的因子，于是，

得.此时，矩阵的三个特征值为2，2，6.

对于，由于

故有两个线性无关的特征向量，可相似对角化.----------（9分）

若不是重根，则是完全平方，于是=0，即

，

解出. 矩阵的特征值为2，4，4.

对于，由于，说明只有一个线性无关的特征向量，

故不能相似对角化. -----------------------（13分）

七．(12分)

解：二次型矩阵

.中有2阶子式非零，故，得.

-----------------------（4分）

由

，

当时，特征向量为.

当时，特征向量为. -----------------------（8分）

对Schmidt正交化，单位化，得

，经

有. -----------------------（12分）