全国名校高中数学优秀学案汇编（附详解） 1.3反证法导学案

1.3 反证法

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【学习目标】

(1)了解间接证明的方法——反证法，探索反证法原理；

(2)掌握反证法证题的基本步骤及利用反证法证明相关的数学问题．

【重点难点】

重点：了解反证法的思考过程和特点；运用反证法证明数学问题；

难点：对反证法思考过程和特点的概括．

【学法指导】

根据具体问题的分析与探究，揭示何时考虑用反证法解决问题，并通过对不同问题的探究与解决揭示反证法的思维特点及理论支持，归纳反证法解决问题的一般步骤，从而突出重点，化解难点．

【学习流程】

一．预习感知（阅读课本内容，理解概念）

1．反证法的概念

在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一. 我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与 、 、 相矛盾，或与命题中的 相矛盾，或与 相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法. 反证法是间接证明的一种基本方法．

2．反证法证题步骤

用反证法证明命题的一般步骤

二．预习检测（通过对概念的理解，试试，看你理解的怎么样？）

1．如果两个数之和为正数，则这两个数(　　)

A．一个是正数，一个是负数　 B．两个都是正数

C．至少有一个是正数 D．两个都是负数

2．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多一个钝角”的反面是“三角形的内角没有钝角”，其中，正确的叙述有(　　)

A．0个　　　　B．1个 C．2个　　　D．3个

3．(改编题)完成下面反面论证题的全过程：

题目：若p1p2＝2(q1＋q2)，则关于x的方程x2＋p1x＋q1＝0与方程x2＋p2x＋q2＝0中至少有一个方程有实根．

证明假设________________．

则Δ1＝pword/media/image2.gif－4q1<0，Δ2＝pword/media/image3.gif－4q2<0，

即0≤pword/media/image2.gif<4q1,0≤pword/media/image3.gif<4q2，

∴(p1p2)2<16q1q2≤16·(word/media/image4.gif)2＝4(q1＋q2)2.

∴－2(q1＋q2)<p1p2<2(q1＋q2)，

这与________矛盾．、

故假设错误，原命题为真．

三，合作探究

★“肯定”与“否定”型命题

例1　求证：word/media/image5.gif，word/media/image6.gif，word/media/image7.gif不可能成等差数列．

规律方法

1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．

2．常见否定词语的否定形式如下表所示：

★“至多”、“至少”型命题

例2　若下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围．

规律方法

1．写出结论的正确反设是解决本题的关键．

2．反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误．需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义．

★“唯一”型命题

例3　已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一个根．

规律方法

1．“唯一型”问题的证明一般需两步完成：一是证存在性；二是证唯一性．

2．结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论容易导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了．

四．课堂检测（请把检测试题的解题过程写在下面区域）

五．课堂小结

1．当遇到“否定性”“唯一性”“无限性”“至多”“至少”等类型命题时，常用反证法．

2．用反证法证明的一般过程是：

(1)否定结论⇒A⇒B⇒C；(注意分清命题和结论后，再否定结论)

(2)而C不合理word/media/image8.gif

(3)因此结论C不成立，原命题正确.

六．巩固训练（另行印制）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/86abd268dc36a32d7375a417866fb84ae45cc30c.html