2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
疱工巧解牛
知识•巧学
一、平面向量的数量积与投影
1.平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.
根据定义，若a=0，则0·b=0.
所以规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b=0.
误区警示 两个向量的数量积是两向量之间的一种新的乘法，与实数的乘法是有区别的，注意区分以下几点：
①两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定.
②两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、b的乘积ab(或a·b)是不同的.
③在实数中，若a≠0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，当a≠0时，由a·b=0不能推出b一定是零向量.因为其中cosθ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b=0.
④已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bcword/media/image3_1.pnga=c；但对于向量，该推理就是不正确的，即a·b=b·c
a=c.
⑤对于实数a、b、c有(ab)c=a(bc)，但对于向量a、b、c，(a·b)c=a(b·c)未必成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立.
2.向量a在b方向(或b在a方向)上的投影
图2-4-2
如图2-4-2，已知word/media/image6_1.png=a，
word/media/image7_1.png=b，过B作BB1垂直于直线
word/media/image6_1.png，垂足为B1，则OB1=|b|cosθ.
|b|cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影，同理，|a|cosθ叫做a在b方向上的投影.a·b的几何意义是：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cosθ的乘积.
二、两个向量的数量积的性质
设a、b都是非零向量，
1.a⊥bword/media/image8_1.pnga·b=0.
证明：若a⊥b，则a与b的夹角θ=90°，所以a·b=|a||b|cos90°=0；
反过来，a·b=|a||b|cosθ=0，因|a|≠0，|b|≠0，所以cosθ=0，
所以θ=90°，则a⊥b.
学法一得 数量积的这条性质是解决代数、几何问题中的垂直关系的基本方法.
2.当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|.特别地，a·a=a2=|a|2，或|a|=word/media/image9_1.png.
学法一得 该条性质实现了实数与向量的联系，我们在求向量模时，往往先求模的平方，借助向量的数量积运算进行.
3.|a·b|≤|a||b|.
由数量积的定义a·b=|a||b|cosθ可知
|a·b|=|a||b||cosθ|.
∵0≤θ≤180°，
∴|cosθ|≤1.
∴|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|.
学法一得 由1、2、3这三条性质可知，向量的数量积可以用来处理有关长度、角度、垂直的问题.
三、平面向量数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ.
1.a·b=b·a.
证明：设a与b的夹角为θ，则a·b=|a||b|cosθ，b·a=|b||a|cosθ，
∴a·b=b·a.
2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
证明：若λ>0，(λa)·b=λ|a||b|cosθ，
λ(a·b)=λ|a||b|cosθ，
a·(λb)=|a||λb|cosθ=|a||λ||b|cosθ=λ|a||b|cosθ，
∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
若λ<0，(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ，
λ(a·b)=λ|a||b|cosθ，
a·(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ.
∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
3.(a+b)·c=a·c+b·c.
学法一得 要推证向量数量积的运算律，要利用数量积的定义表示出左边与右边，因为实数的运算律是已知的，从而借助已有的实数的运算律来论证向量数量积的运算律.把未知的问题转化为已知的问题来解决，体现了化归思想的运用.
典题•热题
知识点一 平面向量数量积的定义
例1 判断下列各题正确与否：
①若a=0，则对任一向量b，有a·b=0;
②若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0;
③若a≠0，a·b=0，则b=0;
④若a·b=0，则a、b至少有一个为零向量;
⑤若a≠0，a·b=a·c，则b=c;
⑥若a·b=a·c，则b=c当且仅当a≠0时成立.
答案：①√；②×；③×；④×；⑤×；⑥×.
例2 已知|a|=4，e为单位向量，它们的夹角为word/media/image10_1.png，则a在e方向上的投影是__________;e在a方向上的投影是__________.
思路分析：a在e方向上的投影是|a|cosword/media/image11_1.png=4×(
word/media/image12_1.png)=-2;e在a方向上的投影是|e|cos
word/media/image11_1.png= 1×(
word/media/image12_1.png)=
word/media/image12_1.png.
答案：-2 word/media/image12_1.png
知识点二 两个向量的数量积的性质
例3 已知|a|=|b|=5，a与b的夹角为word/media/image13_1.png，求|a+b|，|a-b|的值.
解：∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=25+25+2|a||b|cosword/media/image14_1.png=75，∴|a+b|=
word/media/image15_1.png.
同理|a-b|2=a2-2a·b+b2=25+25-2|a||b|cosword/media/image14_1.png=25.
∴|a-b|=5.
方法归纳 由数量积定义式a·b=|a||b|cosθ得cosθ=word/media/image16_1.png，它是一种等价形式，侧重于两向量的夹角问题.求向量的夹角或平面几何图形中求角的问题可考虑用这个性质来解.
例4 已知a、b，a·b=40，|a|=10，|b|=8.求a与b的夹角.
解：∵a·b=|a||b|cosθ，θ为a、b的夹角，
而a·b=40，|a|=10，|b|=8，
∴cosθ=word/media/image17_1.png.∴θ=60°，
即a、b夹角为60°.
例5 已知|a|=2，|b|=word/media/image18_1.png，a与b的夹角为45°，λb-a与a垂直，则λ=_________.
思路分析：∵λb-a与a垂直，∴(λb-a)·a=0，
即λa·b-a2=0.∴λ·word/media/image19_1.pngcos45°-4=0.得λ=2.
答案：2
例6 证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
思路分析：前提是平行四边形对角线互相垂直，结论是要证其为菱形，即需证邻边相等.如何把对角线的关系转化为边的关系呢？可结合向量的加减法.
解：设在平行四边形OACB中，对角线OC和AB互相垂直，即word/media/image20_1.png⊥
word/media/image21_1.png.
图2-4-3
∴word/media/image20_1.png·
word/media/image21_1.png=0.
又word/media/image23_1.png=
word/media/image6_1.png+
word/media/image7_1.png，
word/media/image21_1.png=
word/media/image7_1.png-
word/media/image6_1.png，
于是，(word/media/image6_1.png+
word/media/image7_1.png)·(
word/media/image7_1.png-OA)=0，
即word/media/image24_1.png-
word/media/image25_1.png=0.∴|OB|=|
word/media/image6_1.png|.
∴平行四边形OACB是菱形.
知识点三 运用数量积的运算律来解题
例7 若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( )
A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.m(a+b)=ma+mb D.(a·b)c=a(b·c)
思路分析：对于实数a、b、c，它们之间的运算满足(ab)c=a(bc)，但对于向量没有这样的运算律.
答案：D
知识点四 公式(a+b)2=a2+2a·b+b2和(a+b)·(a-b)=a2-b2
例8 已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a+3b|等于( )
A.word/media/image26_1.png B.
word/media/image27_1.png C.
word/media/image28_1.png D.4
思路分析：|a+3b|2=|a|2+6a·b+9|b|2=|a|2+6|a||b|cos60°+9|b|2=13,
∴|a+3b|=word/media/image29_1.png.
答案：C
例9 已知|a|=13，|b|=19，且|a+b|=24，求|a-b|的值.
思路分析：解题时要将数量积作为联系已知条件和未知值之间的一座桥梁，利用模与数量积的性质求解.
解：(a+b)2=|a+b|2word/media/image3_1.pnga2+2a·b+b2=|a+b|2,
即169+2a·b+361=576，2a·b=46,
故|a-b|2=a2-2a·b+b2=169-46+361=484,所以|a-b|=22.
例10 已知a与b的夹角为30°，且|a|=word/media/image30_1.png，|b|=1，求向量p=a+b，q=a-b的夹角的余弦值.
思路分析：由两向量的数量积和模求夹角的余弦.
解：∵|p|2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=3+word/media/image31_1.pngcos30°+1=7，∴|p|=
word/media/image32_1.png；
同理可求得|q|=1.
∴cosθ=word/media/image33_1.png.
知识点五 向量数量积与垂直
例11 已知|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为60°，c=3a+5b，d=ma-3b.
(1)当m为何值时，c与d垂直?
(2)当m为何值时，c与d共线?
思路分析：利用向量垂直、共线的充要条件构造关于m的方程求解.
解：(1)由向量c与d垂直word/media/image8_1.pngc·d=0，
而c·d=(3a+5b)·(ma-3b)
=3ma2+(5m-9)a·b-15b2
=27m+3(5m-9)-60，
∴42m-87=0.∴m=word/media/image34_1.png，
即m=word/media/image35_1.png时，c与d垂直.
(2)由c与d共线word/media/image8_1.png存在实数λ，使得c=λd.
∴3a+5b=λ(ma-3b)，
即3a+5b=λma-3λb.
又∵a与b不共线，∴word/media/image36_1.png解得λ=
word/media/image37_1.png
即当m=-word/media/image38_1.png时，c与d共线.
问题•探究
材料信息探究
问题 关于平面向量的数量积的运算，我们学习了三个运算律：
a·b=b·a(交换律)；(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律)；
(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
它为我们实施向量的有关运算提供了理论上的保证.
对于这一点我们该如何理解？
探究过程:它一方面提示了平面向量的数量积的运算规律，另一方面又融入了平面向量的加法、实数与向量的积的相关内容.因而，平面向量的运算，由原有的加减法、实数与向量积的基础上，又注入了新的生机和活力.随着平面向量内容的不断丰富，我们对平面向量的了解也就越来越多，从而，用平面向量理论解决问题的观念思想就会逐步得到形成，策略、方法也就更加灵活了.所有这些，都集中体现在长度问题、角度问题、平行问题、垂直问题的交汇上，由平面向量的数量积的运算律解决有关问题.
探究结论:上面的三条运算律是基础内容，除了它们以外，还要掌握下面的这些常见的结论：a2=|a|2；(a+b)(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d；(a+b)2=a2+2a·b+b2，这些结论将有助于解决向量的求值、化简等问题.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/848c473749d7c1c708a1284ac850ad02df80076b.html
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