余弦定理的十一种证明方法

余弦定理的十一种证明方法

余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较经典的十一种证明方法，供大家参考！

余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与其夹角余弦的积的二倍。

如图1所示，在△ABC中，若AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有：

c2＝a2＋b2－2abcosC

a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2cacosB.

【证法1】如图2，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝bcosC，AD＝bsinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即

AB2＝(a－bcosC)2＋(bsinC)2

＝a2－2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2

＝a2－2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2abcosC。

当C重合于D时，在Rt△ABC中，

∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。

当C在D左侧时，△ABC为钝角三角形，如图3所示，∠ACD＝180°－C，cos∠ACD＝cos(180°－C)＝－cosC，sin∠ACD＝sin(180°－C)＝sinC，

所以CD＝bcos(180°－C)＝－bcosC，

AD＝b sin(180°－C)＝b sinC，

在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，

即AB2＝(a－bcosC)2＋(bsinC)2

＝a2－2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2

＝a2－2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2abcosC。

【证法2】将△ABC的顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴

上，如图4所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，

asinC)，C(0，0).由此得

|AB|2＝(acosC－b)2＋(asinC－0)2

＝a2cos2C－2abcosC＋b2＋a2sin2C

＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝a2＋b2－2abcosC 。

【证法3】由正弦定理变形得：

所以 a2＋b2－c2＝4R2(sin2A＋sin2B－sin2C)

因sin2A＋sin2B－sin2C

＝－cos(A＋B) cos(A－B)＋cos2C＝cosCcos(A－B)＋cos2C

＝cosC［cos(A－B)＋cosC］＝cosC［cos(A－B)－cos(A＋B)］

＝2sinAsinBcosC，

所以a2＋b2－c2＝4R2·2sinAsinBcosC＝2·2RsinA·2RsinB·cosC

＝2abcosC，即c2＝a2＋b2－2abcosC。

【证法4】由正弦定理，得

从而有asinB＝bsinA……①，

csinA＝asin(A＋B)＝asinAcosB＋acosAsinB……②，

①代入②，整理得 acosB＝c－bcosA……③，

①2＋②2，可得a2＝(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝b2＋c2－2bccosA，

即c2＝a2＋b2－2abcosC。

【证法5】如图5所示，令∠A=α，以B为圆心，以长边AB为半径画圆（这里用长边的原因是保证C点在圆内）。延长BC交⊙B于点D和E，则DC＝c－a，CE＝c＋a，AC＝b，∵AG＝2ccosα，∴CG＝2ccosα－b，

由相交弦定理得DC×CE＝AC×CG，

∴(c－a)(c＋a)＝b(2cosα－b)，

化简得a2＝b2＋c2＋2accosα，即a2＝b2＋c2＋2ac cosA。

【证法6】如图6，以Rt△ABC的三边为边长向外作三个正方形， CN⊥IH交斜边AB于K。据说当时欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。连BE、CH，易证△EAB≌△CAH(SAS)，△EAB与正方形EACD等高共底，△CAH与长方形KAHN等高共底，进而可得SEACD＝SKAHN；同理SFBCG＝SKBIN，所以SEACD＋SFBCG＝SKAHN＋SKBIN＝SABIH，即a2＋b2＝c2。

又从SEACD＝SKAHN可知，AC2＝AK·AH＝AK·AB，即AC2＝AK·AB(射影定理)。

若△ABC不是直角三角形，如图7所示，则△ABC的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，用上面的证明方法可证得每个顶点两边的矩形面积相等，即SBFMJ＝SBLPE＝accosB(长×宽)，SMGCJ＝SCHNK＝abcosC(长×宽)，SKNIA＝SLADP＝bccosA(长×宽)，故b2＋c2＝2bccosA＋accosB＋abcosC＝2bccosA＋a2，即a2＝b2＋c2－2bccosA。

【证法7】如图8，将△ABC绕点B旋转一个较小角度α得到△DBE，则△ABC≌△DBE；由面积关系得SAECD＝S△ABD＋S△DBC＋S△CBE－S△ABE，即

AC·DE sinα＝ BA·BD sinα＋ BD·BC sin(B－α)

＋ BC·BE sinα－ BA·BE sin(B＋α)，

即 b2 sinα＝ c2 sinα＋ ac(sinBcosα－cosBsinα)＋ a2sinα

－ ac(sinBcosα＋cosBsinα)，化简得b2＝a2＋c2－2ac cosB 。

【证法8】建立图9所示的平面直角坐标系，则点A(0,0)、B(c,0)、C(bcosA，bsinA)，再由两点间距离公式，可得a2＝(c－bcosA)2＋(bsinA)2＝c2－2cbcosA＋b2，即a2＝b2＋c2－2bc cosA。

【证法9】如图10所示，过C作CD∥AB，交△ABC外接圆于D，则AD＝BC＝a，BD＝AC＝b。分别过C、D作AB的垂线，垂足分别为E、F，则AE＝BF＝bcosA，故CD＝c－2bcosA。由托勒密定理，得AB·BC＝AB·CD＋AC·BD，即a·a＝c·(c－2bcosA)＋b·b，整理得a2＝b2＋c2－2bccosA。

【证法10】如图11所示，以△ABC的三边为边长向外作三个正方形，作AB边上的高CD，则AD＝bcosA，CD＝bsinA，在Rt△BDC中，BC2＝BD2＋CD2，又BD＝c－bcosA ，所以a2＝(c－bcosA)2＋(bsinA)2，

整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA。

【证法11】 如图12所示，作△ABC，AB边上的高，则

c＝bcosA＋acosB，

将等式两边同乘以c得 c2＝bccosA＋accosB，

同理可得a2＝accosB＋abcosC……①，

b2＝abcosC＋bccosA……②，

①＋② 得a2＋b2＝accosB＋abcosC＋abcosC＋bccosA＝(bccosA＋accosB)＋(abcosC＋abcosC)＝c2＋2abcosC，即c2＝a2＋b2－2abcosC。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/833fc28752d380eb62946def.html