第八讲 复数
知识、方法、技能
I．复数的四种表示形式
代数形式： R）
几何形式：复平面上的点Z（）或由原点出发的向量
.
三角形式： R.
指数形式：.
复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实.
II．复数的运算法则
加、减法：
乘法：
除法：
乘方： N）；
开方：复数次方根是
III．复数的模与共轭复数
复数的模的性质
①
②
③
④、
对应的向量
、
反向时取等号；
⑤，与复数
对应的向量
同时取等号.
共轭复数的性质
①；
②；
③
④；
⑤；
⑥
⑦z是实数的充要条件是是纯虚的充要条件是
Ⅳ．复数解题的常用方法与思想
（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主
值相等（辐角相差2的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.
（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.
赛 题 精 讲
例1：设m、n为非零实数，i为虚单位， C，则方程
①与
②
如图I—1—8—1，在同一复平面内的图形（F1、F2是焦点）是（ ）
【思路分析】可根据复平面内点的轨迹的定义；也可根据m、n的取值讨论进行求解.
【略解】由复平面内点的轨迹的定义，得
方程①在复平面上表示以点为焦点的椭圆，
.这表明，至少有一焦点在下半虚轴上，可见（A）不真.
又由方程①，椭圆的长轴之长为n，
∴|F1F2|<n，而图（C）中有|OF1|=n，可见（C）不真.
又因椭圆与双曲线共焦点，必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即
故在图（B）与（D）中，均有F1 : －ni，F2 : mi，且. 由方程②，双曲线上的点应满足，到F2点的距离小于该点到F1点的距离.
答案：（B）
【别解】仿上得n>0.
（1）若这时，在坐标平面上，F1（0，－n），F2（0，m），只可能为图象（C），但与|F1F2|<长轴n，而|OF1|=n矛盾.
（2）若均在y轴的下半轴下，故只能为图象（B）与（D）.
又因椭圆与双曲线共焦点，必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即|n|>|m|. 故在（B）与（D）中，均有F1 : －ni；F2 : mi，且m<0. 由方程②，双曲线上的点应满足到F2点的距离小于该点到F1点的距离.
答案：（B）
【评述】（1）本题涉及的知识点：复数的几何意义，复平面上的曲线与方程，椭圆，双曲线，
共焦点的椭圆与双曲线，讨论法.
（2）本题属于读图题型. 两种解法均为基本方法：解法中前者为定义法；后者为分类讨论法.
例2：若的值是 .
【思路分析】本题可由已知条件入手求出复数z的模，继而求出复数；也可由几何意义入手来求复数z.
【略解】令 ①
②
①—②得
解得
代入后，
①+②得
【别解】如图I—1—8—2，.
过D作与实轴平行的直线AB，取AD=BD=4，
【评述】本题的两种解法中，前者应用了复数的三角形式；后者应用了复数的几何意义，数形结合，形象直观.
例3：x的二次方程、
、m均是复数，且
.
、
，且满足
.
求|m|的最大值和最小值.
【解法1】根据韦达定理有
这表明复数m在以A（4，5）为圆心，以7为半径的圆周上如图I—1—8—3所示.
故原点O在⊙A之内. 连接OA，延长交⊙A于两点B与C，则|OB|=|OA|+|AB|=
最大值.
|OC|=|CA|－|AO|=7－最小值.
∴|m|的最大值是的最小值是7－
.
【解法2】同解法1，得
R）.
其中
∴ |m|的最大值=
|m|的最小值=
【解法3】根据韦达定理，有
，
∴
等号成立的充要条件是的辐角主值相差
，即
取最小值
【评述】三种解法，各有千秋. 解法1运用数形结合法，揭示复数m的几何意义，直观清晰；解法2则活用三角知识，把化为角“
”的正弦；解法3运用不等式中等号成立的条件获得答案；三种解法从不同侧面刻面了本题的内在结构特征.
例4：若R，
R，
中元素的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
解法同本章一的练习第4题.
例5：设复数
.
【思路分析】应先设法求出的值.
【评述】由题设知
因为
当，可得同样结果，故答案4000.
【评述】此题属填空题中的难题，故解题时应仔细.
例6：设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为则复数
所对应的不同的点的个数是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
【思路分析】如题设可知，应设.故解题中应注意分解因式.
【解法1】因为我们只关心不同的点的个数，所以不失一般性可设.由
，有
【答案】A.
【解法2】由
可知只有4个取值，而
=（
）3的取值不会增加，则B、C、D均应排除，故应选A.
【评述】上述两个解法均为基本方法.思维的起点是不失一般性设，于是可用直接法（解法1）和排除法（解法2）.
针对性训练题
1．设x是模为1的复数，则函数的最小值为 （ ）
A．5 B．1 C．2 D．3
2．若复数z满足关系对应的复平面的点Z的轨迹是 （ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．直线
3．已知复数z满足关系式，则复数z的辐角主值的范围是 （ ）
A． B．
C． D．
4．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为则复数
所对应的不同的点的个数是 （ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
5．设n=2001，则 .
6．若虚数z满足的值是 .
7．若关于x的方程至少有一个模为3的根，则实数a的值是
.
8．给正方体的8个顶点染上k个红点，个蓝点（
）.凡两端为红色的棱记上数字
凡两端为蓝色的棱记上数字
凡两端异色的棱记上数字1，这12个数字之积的所有可取值为 .
沁园春·雪
北国风光， 千里冰封， 万里雪飘。
望长城内外， 惟余莽莽； 大河上下， 顿失滔滔。
山舞银蛇， 原驰蜡象， 欲与天公试比高。
须晴日， 看红装素裹， 分外妖娆。
江山如此多娇， 引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武， 略输文采； 唐宗宋祖， 稍逊风骚。
一代天骄， 成吉思汗， 只识弯弓射大雕。
俱往矣， 数风流人物， 还看今朝。 克
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