5.6智慧广场：等量代换
教学内容: 青岛版教材P58-59，智慧广场：等量代换。
教学目标:
1. 知识与能力：
结合具体问题，初步体验等量代换的思想方法，了解等量代换思想方法的核心是根据数量间相等的关系进行替换，并能用等量代换的思想方法解决日常生活中的简单问题。
2. 过程与方法：
通过观察、操作、思考、交流、分析等活动， 培养推理能力和语言表达能力，发展思维能力。
3. 情感态度价值观：
经历解决问题的过程，感受等量代换与生活的密切联系及应用价值；体验成功，增强自信心。
重点、难点：
教学重点：
准确找到等量关系，掌握等量代换的方法，能够运用方法解决生活中的相关问题。
教学难点：
引导学生经历观察、思考、交流、分析等活动，发现等量代换问题的本质，培养学生的推理能力。
教学准备
教师准备：课件。
学生准备： 练习本
⏹ 教学过程
（一）新课导入：
1.谈话：同学们，你们听过“曹冲称象”的故事吗？
【出示图片，简单讲述故事】
2.谈话：曹冲用了一个什么巧妙的办法来称象的？ 预设：用石头来代替大象；把大象换成石头来称„„
小结：大家说的不错，用石头“代替”大象，这么一“换”，难题就解决了。这节课上我们看看能不能也用上这种好方法。看看谁像曹冲一样聪明。
设计意图：课前由富有情趣的情境导入新课的学习，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，激发了解决问题的欲望。
（二）探究新知
一、创设情境，提出问题
1．谈话：仔细观察情境图，你能得到哪些数学信息？
出示智慧广场情境图：
预设：▲+●=12，▲=●+●+●（板贴）
2．追问：根据情境图你能提出什么数学问题呢?
预设：●和▲各表示几呢？（板贴问题）
3．追问：你们能解决这个问题吗？下面，我们可以用小卡片动手摆摆看，也可以动手画一画，待会儿我们一起进行交流。
教师放手让学生独立思考，给学生充分的时间考虑。
二、合作交流，探索新知
（一）组内交流，感悟方法
谈话：请同学在小组中交流一下自己的方法，我们看看哪个小组能想出更多好办法。 学生自主探索，教师巡视指导，了解学生的想法。
（二）全班交流，理解方法
1．拼凑法和列举法
（1）谈话：谁愿意将你的想法和大家分享？
预设：学生可能会想到以下的方法：
方法一：拼凑法
从▲+●=12入手，通过猜测、拼凑找出符合▲=●+●+●条件的答案。
方法二：列举法
从▲=●+●+●入手一个一个试，直到找出符合▲+●=12条件的情况。
（2）刚才，同学们用拼凑、列举的方法解决了▲和●分别表示的几的问题，在列举时能够做到有条理，按顺序，真不错！还有其他的方法吗？
2．等量代换
（1）预设：
方法三：把▲换成3个●来试一试，发现相当于4个●等于12，从而得出1个●等于3。
方法四：与第三种方法道理相同，只是用符号来记录解决问题的过程。
（2）追问：这两种方法道理相同，都是把▲换成3个●，只不过记录的方式不同罢了。为什么可以把▲换成3个●呢？
预设：因为▲=●+●+●。
追问：也就是说，一个▲和3个●是相等的关系，是这样吗？
3．小结：正因为，它们之间有这样相等的关系，所以，我们可以用“换”的方法，把一个▲换成3个●，从而发现4个●等于12，进一步得出1个●等于3。那▲就等于9。
（教师边叙述边进行板书）
谈话：我们把这种方法称之为“等量代换”。（板书课题）
小结：同学们在自己动手操作的过程中，不仅能够运用我们学过的列举的方法，而且还找到了等量代换这个新的方法，这样就帮我们更方便地解决了这个问题，实际上提出猜想、动手验证、总结归纳方法，这也是我们解决一般数学问题的方法。
（三）初步尝试，运用方法
1．谈话：你能用刚才学过的“等量代换”的方法来解决下面的问题吗？
多媒体出示自主练习3的第一小题：
2．谈话：你能找到等量关系在哪儿吗？ 预设：■=▲+▲+▲+▲ 追问：下一步怎么办？
预设：把一个■换成4个▲，从而发现5个▲等于20，进一步得出1个▲等于4。那么一个■就是16.
3．多媒体出示自主练习3的第二小题： 谈话：这道题能独立解决吗？
学生尝试独立完成，全班交流。
设计意图：等量代换是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。本“智慧广场”中等量代换的思想是在教材中第一次出现，也是学生第一次接触，因此要把操作、思维与语言表达结合起来，帮助学生形成清晰的表象。
（三）巩固新知：
谈话：下面，我们就用“等量代换”的方法来解决几道实际问题。
1．“自主练习”第1题。
谈话：要求一只鹅相当于几只鸡重，首先要知道什么？
预设：1只鸭和多少只鸡同样重。
追问：你能独立解决这个问题了吗？
学生自己做做看，再全班交流。
2．“自主练习”第2题
谈话：这道题你能解决吗？在小组中与大家交流一下你的想法吧。
学生小组内交流，再派代表全班交流。引导学生找出等量关系。
3．“自主练习”第4题
谈话：谁来读读这道题目？你能用画图的方法试一试吗？
学生独立解决问题。
指名上台展示，全班交流。
引导学生说说找到的等量关系。
设计意图：练习设计层次清晰，难度逐步递增，引导学生通过练习，找到等量关系，掌握简单的代换方法，体会等量代换的作用，同时培养学生的推理能力，发展思维能力。
（四）达标反馈
一、每个图形各代表几？
△+○=24 △+□=20
△=○+○+○ △=□+□+□+□
△=（ ） △=（ ）
○=（ ） □=（ ）
☆-□=18
☆=□+□+□+□
□=（ ）☆=（ ）
二、解决问题
1、一大盒和一小盒水彩笔共36支，大盒的支数是小盒的2倍，大盒和小盒各装了多少支水彩笔？
2、一支钢笔和一支圆珠笔共用12元，一支钢笔的价钱可以买5支圆珠笔，每支圆珠笔和钢笔各多少元？
3、小红买了3本练习本和2本笔记本，共付11元，每本笔记本的价钱是练习本的4倍。两种本子的单价分别是多少元？
答案：
一、△=（ 18 ） △=（16 ）
○=（ 6 ） □=（ 4 ）
□=（ 6 ）☆=（24）
二、1、36÷（2+1）=12（支）
12×2=24（支）
答：大盒装了24支，小盒12支。
2、12÷（5+1）=2（元）
2×5=10（元）
答：圆珠笔2元，钢笔10元。
3、11÷（2×4+3）=1（元）1×4=4（元）
答：练习本单价1元，笔记本单价4元。
（五）课堂小结
课后总结，反思提升
谈话：同学们，今天这节课的探索过程到这里就结束了，通过今天的学习你有什么收获？
知识：知道了等量代换的方法；会找等量关系。
方法：我会用等量代换的方法来解决问题；先找到等量关系再解决问题。
情感：在与同学交流的过程中学会了解决问题的方法，体会到合作的快乐。
谈话：希望大家在以后的生活中能够主动发现数学、运用学过的数学知识来帮助你解决生活中的问题，让数学知识为我们的生活带来更多快乐！
设计意图：自主总结，关注知识方法和学生的感受，培养概括能力。
（六）布置作业
一、根据算式在（ ）里填上合适的数。
1、□+□+□=21 ○+○+○+○+○=30 ☆+☆+☆+☆+☆+☆+☆=42
□=（ ） ○=（ ） ☆=（ ）
2、□+□+△=56 ○+△=10 □+□+☆=13
△+△+□+□=72 ○+○+○+△+△=26 □+□+□+☆+☆=21
□=（ ） ○=（ ） □=（ ）
△=（ ） △=（ ） ☆=（ ）
3、△+☆+△+△=27 41-○-□=5 □+△=13
☆+☆=△+△+△ □=○+○+○ □-△=3
△=（ ） ○=（ ） □=（ ）
☆=（ ） □=（ ） △=（ ）
二、解决问题。
1. 1只猴子的体重等于3只猫的体重，3只狗的体重等于9只猫的体重。如果1只猴子重3 千克。请问1只狗重多少千克？
2. 2只兔子的重量等于6只小鸡的重量，3只袋鼠的重量相当于4只兔子的重量，那么1 只袋鼠的重量相当于多少只小鸡的重量？
3. 已知1个排球和1个足球共重5千克。1个排球和1个篮球共重6千克。1个足球和1 个篮球共重7千克。求每一种球各重多少千克？
4. 王老汉养了许多家畜，已知2只兔子重量等于2只鸡和1只兔的重量。3只鸡等于2只 鸭的重量。大家想一想哪种动物最重?
答案：
一、□=（ 7 ） ○=（ 6 ） ☆=（ 6 ）
□=（ 20 ） ○=（ 6 ） □=（ 5 ）
△=（ 16 ） △=（4 ） ☆=（ 3 ）
△=（ 6 ） ○=（ 9 ） □=（ 7 ）
☆=（ 9 ） □=（ 27 ） △=（ 4 ）
二、1、9÷3=3(只) 3-3=0（只）3+0=3（千克）
2、4÷2=2（只）2×6÷3=4（只）
3、（5+6+7）÷6=3（千克）3×3-5=4（千克）6-4=2（千克）5-2=3（千克）
答：篮球4千克，排球2千克，足球3千克。
4、兔子最重。
⏹ 板书设计
智慧广场
▲+●=12， ▲=●+●+●
▲=？ ●=？
教学反思
注重向学生渗透一些初步的现代数学思想方法，并用这些思想方法解决一些简单的实际生活问题和数学问题。
1、教学设计注重让学生在独立思考、合作交流中感悟体会等量代换的思想方法。整节课有一个鲜明的主线和层次，如以学生熟悉的《曹冲称象》引入新课，感受“相等的才可以替换”，从而引出新课；例题要求Δ=？Ο=？，为了能让学生把自己的思路理清，老师给予学生充分的时间和空间，先让学生独立思考，再在全班交流讨论中得出两种解题思路，最后总结出方法，把思维和和语言表达结合起来，帮助学生形成清晰的表象，初步感受等量代换的思想方法，再内化为自己的认识，为今后的学习打下必要的基础；练习设计层次分明,采用独立思考、同桌交流的形式进行学习。教学全过程是以学生为核心组织开展学习活动，力求体现“以生为本”的新理念。
2、尊重学生的认知规律，充分挖掘教材。考虑到学生都是初步接触等量代换，在运用教材时，从“换”字入手，化解学生对等量代换的陌生感觉，同时又充满了趣味。另外充分运用教材，从量的代换，到物品价值的代换，再过渡到图形代换、物的代换，都取自教材。
3、恰当运用现代信息技术动态图像演示技术，利用媒体信息传播的丰富性、形象性和生动性，将比较抽象的知识加以直观地演示，帮助学生理解所学知识的本质属性，促使他们了解掌握相对完整的知识形成过程。如：把用3个Ο等量代换1个Δ的过程形象地演示出来，使学生深刻理解一个Δ和3个Ο同样大小的道理。从而在脑中建立等量代换的表象，进一步理解该如何进行等量代换，突破了难点。
教学资料包
教学资源
数学中的等量代换
等量代换是解数学题时常用的一种思考方法。有些数学问题中，存在着两个相等的量，我们可以根据已知条件与未知数量之间的关系，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找出解题的方法，这就是等量代换的基本方法。
在这次学校举行的数学能力抽测中，就涉及到了数学中的等量代换问题。
现列举如下：
1、一支钢笔可以换2支圆珠笔，一支圆珠笔可以换4枝铅笔，1枝钢笔可以换几枝铅笔？
【分析与解】根据一支圆珠笔可以换4枝铅笔得出：2支圆珠笔可以换2个4枝铅笔，即4＋4 或者 4×2 ，也就是8枝铅笔，由此推出一支钢笔可以换8支铅笔。这是等量代换中最基本的思考方法。
2、甲乙两数之差是18，如果把乙数扩大10倍，就与甲数相等，求甲、乙两数各是多少？
【分析与解】把乙数扩大10倍 ，才与甲数相等，可见甲数是乙数的10倍。把题目中的条件简写成这样的两个关系式：甲数-乙数= 18 ，乙数×10=甲数。用“乙数×10”可代换甲数，则：乙数×10-乙数= 18，变化为乙数×（10-1）=18 。由此，我们可得出，乙数：18÷（10-1）=2，甲数： 2×10= 20。
走笔至此，让我不由想起了语文课本中广为传颂的一些智慧故事，如“曹冲称象”、“乌鸦喝水”等，这些题材广泛、妙趣横生的故事能引发学生无穷的遐想，激起学生思维的碰撞。而且每则故事本身还都蕴含着丰富的数学思想内涵。若果借来一用，不是可以更好的化难为易，为我所用吗？
《曹冲称象》：
三国时期，有人送曹操一只大象，从水路运到京城。这件事轰动了京城，人们纷纷跑到河边看大象。这只大象又高又大，人们边看边议论，这只大象到底有多重？曹操听了大家的议论，就站起来问：“谁知道，这只大象质量是多少？”大家都说不出来。这时，他年仅7岁的儿子曹冲想出来一个好办法。他叫人弄来一条空船，把大象牵到空船里，待水面平静后，在船侧刻下水面位置的记号，然后把大象牵出船，又叫人把一块块大石头搬到空船里，直到水面又上升到了刻着记号的位置才停止。然后他叫人称出一块块石头的质量后，告诉曹操这些石头的总质量就是大象的体重。
曹冲能完满地解决大象的体重问题，正是源于他对替换思想的深刻理解与把握。从中也让我们领悟到：两个相等的量可以互相代替。
《乌鸦喝水》：
乌鸦喝水的故事同学们人人皆知。一只乌鸦口渴了，到处找水喝。乌鸦看见一个瓶子，瓶子里有水。 可是瓶子很高，瓶口又小，里边的水不多，它喝不着。 怎么办呢？乌鸦看见旁边有许多小石子。它想出办法来了。 乌鸦把小石子一个一个地衔来，放到瓶子里，瓶子里的水渐渐升高了，乌鸦就喝着水了。
聪明的乌鸦想起用小石之来代换，正是体现了“等量代换”的数学思想。
在小学数学中，有些数学题数量关系隐蔽，不易发现解法，此时，往往可以根据题中所给的条件，利用“等量代换”的数学思想，即用已知量代替未知量，从中找出数量之间的本质联系，使问题得到解决。
资料链接
世界最迷人的数学难题
随着我国数学科研事业在近几年一直持续迅猛发展，数学爱好者规模日益壮大。说明数学正在越来越受到人们的关注，这是一个非常可喜的现象。正是基于这种考虑，数学工作者不失时机地推出了“世界最迷人的数学难题”评选活动。之所以称之为“迷人”，是因为无数数学家看见她们比看见漂亮美眉还痴迷，就像练武之人见到了武功秘籍。
现在由“世界最迷人的数学难题”评选委员会宣布评选结果。此次评选的三等奖获得者三名，她们分别是：
“几何尺规作图问题”获奖理由：这里所说的“几何尺规作图问题”是指只能用直尺、圆规作图，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题 ：
1.化圆为方——求作一正方形使其面积等于一已知圆;
2.三等分任意角;
3.倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍;
4.作正17边形。
以上4个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第4个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正17边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上17边形，而是17角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正17边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
“蜂窝猜想”获奖理由：4世纪古希腊数学家佩波斯提出，蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表。他猜想，人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称为蜂窝猜想，但这一猜想一直没有人能证明。1943年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首尾相连的正多边形中，正六边形的周长是最小的。但如果多边形的边是曲线时，会发生什么情况呢?陶斯认为，正六边形与其他任何形状的图形相比，它的周长最小，但他不能证明这一点。而黑尔在考虑了周边是曲线时，无论是曲线向外突，还是向内凹，都证明了由许多正六边形组成的图形周长最小。他已将19页的证明过程放在因特网上，许多专家都已看到了这一证明，认为黑尔的证明是正确的。
“孪生素数猜想”获奖理由：1849年，波林那克提出孪生素生猜想，即猜测存在无穷多对孪生素数。孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。孪生素数猜想至今仍未解决，但一般人都认为是正确的。
此次评选的二等奖获得者二名，她们分别是：
“费马最后定理”获奖理由：在360多年前的某一天，费马突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 x的n次方 + y的n次方 = z的n次方 的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理(中国古代又称勾股弦定理)。 费马声称当n>2时，就找不到满足xn+ yn= zn的整数解，例如：方程式x3+ y3= z3就无法找到整数解。 始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，300多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最后定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而后快。不过这个300多年的数学悬案终于解决了，这个数学难题是由英国的数学家怀尔斯所解决。其实怀尔斯是利用20世纪过去30年来抽象数学发展的结果加以证明。
“四色猜想”获奖理由：1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯。格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。 1976年，美国数学家阿贝尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。
此次评选的一等奖获得者一名，她是：
“哥德巴赫猜想”获奖理由：公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想:
(a) 任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个大于等于9的奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理(Chens Theorem) “任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。我们说“哥德巴赫猜想”无愧于“世界最迷人的数学难题”第一的称号。她用貌似平凡的外表，吸引无数数学家为她神魂颠倒、寝食难安。
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7f6d3a8fe97101f69e3143323968011ca300f7e0.html
文档为doc格式