精品解析：全国市级联考北京市十一所学校2018届高三理零模试卷（解析版）

北京市十一学校2018届高三年级适应性练习

高三数学（理）

第一部分 （选择题共40分）

一.选择题(共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)

1. 若集合,,则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题得}所以，所以“”是“”的

充分不必要条件，选A.

2. 已知数列为等差数列,且,那么等于

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意可得： ，

即： ，

据此： .

本题选择B选项.

3. 若展开式中的所有二项式系数和为,则该展开式中的常数项为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】展开式中所有二项式系数和为512，即2n=512，则n=9，

Tr+1=（﹣1）rC9rx18﹣3r

令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．

故答案为：B.

4. 已知平面向量满足,且,则向量与的夹角为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]

由•（+）=3代入数据可得22+2×1×cosθ=3，

解之可得cosθ=，

故可得θ=.

故答案为：C.

5. 已知函数,那么在下列区间中含有函数零点的是 （）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】,所以

函数f(x)在区间必有零点，选B.

【点睛】

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6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所住的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图,给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入的值为,则输出的值为

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由框图可知v=,所以当x=2时，v=,选D.

【点睛】秦九韶算法求一般的多项式的值时，先将多项式变形为

然后由内向外逐层计算一次多项式的值。

把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求：

的值的过程，共做了n次乘法运算，n次加法运算.

计算时要用到的值，若令，我们可以得到下面的递推公式：

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。

7. 右图是民航部门统计的年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述不正确的是

A. 深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高

B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降

C. 平均价格由高到低居于前三位的城市为北京.深圳.广州

D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津.西安.厦门

【答案】D

【解析】由图可知D错误.故选D.

8. 已知函数,下列命题:①函数的图象关于原点对称;②函数是周期函数;③当时,函数取最大值;④函数的图象与函数的图象没有公共点,其中正确命题的序号是

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

【答案】C

【解析】试题分析：①函数的图象关于原点对称，此命题正确，因为函数满足，，故函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称；②函数是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于轴，故不是周期函数；③当时,函数取最大值，由函数的图象可以看出，当时,函数不是最大值，另外可用导数法，求出函数的导函数，，当时，故当时,函数不是最大值，此命题不正确；④函数的图象与函数的图象没有公共点，由图像可以看出，函数的图象与函数的图象没有公共点，此命题正确．

考点：函数的周期性；函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性．

第二部分 （非选择题共110分）

二.填空题(共6小题，每小题5分，共30分)

9. 已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线方程为________.

【答案】

10. 在极坐标系中,圆的圆心到直线上的动点的距离的最小值为________.

【答案】

【解析】圆ρ=2即 x2+y2=4，表示以（0，0）为圆心，半径等于2的圆．

直线ρcosθ+ρsinθ=2 即 x+y﹣2=0，

∴圆心到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离为 ，

故答案为．

11. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

【答案】

【解析】试题分析：由已知中的三视图，我们可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案．

解：由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥

且棱锥的底面是一个以（2+1）=3为底，以1为高的三角形

棱锥的高为3

故棱锥的体积V=×（2+1）×1×3=

故答案为：

考点：由三视图求面积.体积．

12. 已知,那么的值为________.

【答案】

【解析】∵ 即8tanα=﹣6，

∴tanα=﹣ ，

∴cosα=﹣

∴sinα=

则sinα+cosα=．

故答案为：.

点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系.两角和差的三角公式.二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.

13. 若实数满足不等式组,则的最小值为________;的最大值为________.

【答案】 (1). (2).

【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数是到（0，0）距离的平方，所以点C（1，0.5）代入时为最小值，。目标函数变形为令，而几何意义是可行域的点与（0，0）连线的斜率，，所以，最大值为。所以填(1). (2).

【点睛】

线性规划中常见目标函数的转化公式：

（1）截距型：，与直线的截距相关联，若，当的最值情况和z的一致；若，当的最值情况和的相反；

（2）斜率型：与的斜率，常见的变形：，，.

（3）点点距离型：表示到两点距离的平方；

14. 设函数,①若在区间上不单调,实数的取值范围是________;

②若,且对任意恒成立,则实数的取值范围是________.

【答案】 (1). (2).

【解析】由题意得，①在区间上不单调，=0在区间上有奇次根，所以。

②对任意恒成立，即，因为无穷时需要小于零，所以m<0,解集为，即解得m<-1.

【点睛】

(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则≥0在区间(a，b)上恒成立；要检验=0。

(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则≤0在区间(a，b)上恒成立；要检验=0。

(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是＞0的必要不充分条件.

（4）可导函数f(x)在区间(a，b)上不单调，则=0在区间(a，b)上有奇次根。

三.解答题(共6小题，共80分。解答应写出文字说明.演算步骤或证明过程)

15. 在中,角的对边分别为,且满足.

（Ⅰ）求角的大小;

（Ⅱ）若,求面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．
（II）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．

试题解析：

（I）

所以

由正弦定理,得.

整理得.

.

在中,.

.

（Ⅱ）由余弦定理

,

当且仅当时取"".

三角形的面积.

三角形面积的最大值为.

点睛：本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用，属于中档题．

16. 某校为了解甲.乙两班学生的学业水平,从两班中各随机抽取人参加学业水平等级考试,得到学生的学业成绩茎叶图如图:

（Ⅰ）通过茎叶图比较甲.乙两班学生的学业成绩平均值与及方差与的大小;（只需写出结论）

（Ⅱ）根据学生的学业成绩,将学业水平分为三个等级:

根据所给数据,频率可以视为相应的概率.

（i）从甲.乙两班中各随机抽取人,记事件:“抽到的甲班学生的学业水平高于乙班学生的学业水平等级”,求发生的概率;

（ii）从甲班中随机抽取人,记为学业水平优秀的人数,求的分布列和数学期望.

【答案】（Ⅰ）;;（Ⅱ）（i）;（ii）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由茎叶图能得到，；（Ⅱ）（i）记A1.A2.A3分别表示事件：甲班学生学业水平等级为一般.良好.优秀；记B1.B2.B3分别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般.良好.优秀，由P（C）=P（A2B1）+P（A3B1）+P（A3B2），能求出C发生的概率；（ii）从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为，则X=0，1，2，X～B（2，），由此能求出X的分布列和数学期望．

解析：

（Ⅰ）;

（Ⅱ）（i）记分别表示事件:甲班学生学业水平成绩为一般,良好,优秀;

记分别表示事件:乙班学生学业水平成绩为一般,良好,优秀;

则

（ii）从甲班随机抽取人,其学业水平优秀的概率为,

所以,随机变量的所有可能取值为,且.

,,

随机变量的分布列是:

数学期望.

17. 四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,,,是中点,点在侧棱上.

（Ⅰ）求证:;

（Ⅱ）若是中点,求二面角的余弦值;

（Ⅲ）是否存在,使平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AD⊥平面POB，即可证明AD⊥PB；（Ⅱ）证明PO⊥底面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面DEQ的法向量，平面DQC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；（Ⅲ）求出平面DEQ法向量，利用PA∥平面DEQ，即，从而可得结论．

解析：

（Ⅰ）取中点,连接.

因为,所以.

因为菱形中,,所以.

所以.

因为,且平面,所以平面.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,

因为侧面底面,且平面底面,所以底面.

以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系.

则,因为为中点,所以.

所以,所以平面的法向量为.

因为,设平面的法向量为,

则,即.

令,则,即.

所以.

由图可知,二面角为锐角,所以余弦值为.

（Ⅲ）设

由（Ⅱ）可知.

设,则,

又因为,所以,即.

所以在平面中,,

所以平面的法向量为,

又因为平面,所以,

即,解得.

所以当时,平面.

点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做。

18. 如图,已知椭圆的长轴长为,过点的直线与轴垂直,椭圆的离心率,为椭圆的左焦点,且.

（Ⅰ）求此椭圆的方程;

（Ⅱ）设是此椭圆上异于的任意一点,轴,为垂足,延长到点使得.连接并延长,交直线于点为的中点,判定直线与以为直径的圆的位置关系.

【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（1）因为，，故可以解得，进而得到椭圆方程；（2）设,则,用点设出直线:，:,进而得到，直线,化简得，故得到结论.

解析：

（Ⅰ）由题意:,并且.

又因为,所以.

又因为,所以.

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）设,则

由得,所以:.

由得:,

所以.

所以.

又因为点在椭圆上,满足.

所以.

所以直线,化简得.

所以点到直线的距离,与圆半径相等.

所以直线与以为直径的圆相切.

点睛：在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，可以用点坐标来表示直线也可以设为斜截式，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，结合点在椭圆上进行化简.

19. 已知函数为常数)的图象与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为.

（Ⅰ）求的值及函数的极值;

（Ⅱ）证明:当时,;

（Ⅲ）证明:对任意给定的正数,总存在,使得当时,恒有.

【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）见解析.（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（1）求导，由，由导数工具求得极值；（2）令,；（3）解法一：①若，由（2）得，存在 使得命题恒成立.②若 ,令 ,命题转化为 成立，即只要 成立.令 ,利用导数工具得：取 ，.即存在 ,使得原命题成立. 解法二：对任意给定的正数c，取由（2）知，当x>0时， 当时， ，故对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.

试题解析：

（1）由，得.又,得.所以

.令,得.当时, 单

调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极

小值为无极大值.

（2）令,则.由（I）得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即,

（3）解法一：①若,则.又由（II）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.

②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时, 在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.

综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.

解法二：对任意给定的正数c，取

由（2）知，当x>0时，，所以

当时，

因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.

20. 我们称一个非负整数集合（非空）为好集合,若对任意,或者,或者.以下记为的元素个数.

（Ⅰ）给出所有的元素均小于的好集合;（给出结论即可）

（Ⅱ）求出所有满足的好集合;（同时说明理由）

（Ⅲ）若好集合满足,求证:中存在元素,使得中所有元素均为的整数倍.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;.（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意得到集合为；（2）设,其中,则由题意:,故,即，根据题干中的条件限制元素特性，进而找到满足条件的好集合；（3）通过归纳可得到结果.

解析：

（Ⅰ）.

（Ⅱ）设,其中,则由题意:,故,即.

考虑,可知,所以或.

若,则考虑,由于,所以,因此.

所以.但此时考虑,但,不满足题意.

若,此时满足题意.

所以,其中为相异正整数.

（Ⅲ）记,则.

首先,.设,其中.

分别考虑和其他任一元素,由题意可得也在中.

而,

所以,所以.

对于,考虑,其和大于,故其差.

特别的,,所以.

由,且,所以,

通过归纳可得:.

所以,此时.得证.

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