2017-2018学年高中数学考点15两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换1

考点15 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换

一、选择题

1.（2015·重庆高考理科·Ｔ9）若word/media/image3_1.png则word/media/image4_1.png（ ）

A. word/media/image5_1.png B. word/media/image6_1.png C. word/media/image7_1.png D. word/media/image8_1.png

【解题指南】解答本题的关键在于找到角之间的联系，因为word/media/image9_1.png，因此可以进行化简求解.

【解析】选C.

word/media/image10_1.png

word/media/image11_1.png

因为word/media/image3_1.png所以上式word/media/image12_1.png

2.（2015·重庆高考文科·Ｔ6）若word/media/image13_1.png则word/media/image14_1.png（ ）

A. word/media/image15_1.png B. word/media/image16_1.png C. word/media/image17_1.png D. word/media/image18_1.png

【解题指南】解答本题可以根据word/media/image19_1.png结合两角差的正切公式求解.

【解析】选A. word/media/image20_1.png

3.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T2)sin20°cos10°-cos160°sin10°=　(　　)

A.word/media/image21_1.png B.word/media/image22_1.png C.word/media/image23_1.png D.word/media/image24_1.png

【解题指南】由cos160°=-cos20°,利用两角和的正弦公式求解.

【解析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°

=sin30°=.

二、填空题

4.(2015·四川高考理科·T12)sin15°+sin75°的值是　　　　.

【解析】sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=word/media/image26_1.pngsin(15°+45°)=word/media/image27_1.png.

答案:word/media/image28_1.png

5. (2015·江苏高考·T8)已知tanα=-2,tan(α+β)= word/media/image29_1.png,则tanβ的值为　　　　.

【解题指南】将β化为β=(α+β)-α,利用两角差的正切公式求解.

【解析】tanβ=tan[(α+β)-α]= word/media/image30_1.png.因为tanα=-2,tan(α+β)= word/media/image29_1.png,所以上式=word/media/image31_1.png.

答案:3

三、解答题

6. (2015·广东高考理科·T16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.

(1)若m⊥n,求tanx的值.

(2)若m与n的夹角为,求x的值.

【解题指南】(1)利用向量垂直转化为向量的数量积为0.(2)利用向量的夹角公式求解.

【解析】（1）因为word/media/image35_1.png且word/media/image36_1.png，

word/media/image37_1.png

7.（2015·安徽高考文科·T16）已知函数word/media/image38_1.png

（1）求word/media/image39_1.png最小正周期；

（2）求word/media/image39_1.png在区间word/media/image40_1.png上的最大值和最小值.

【解题指南】应用三角函数的有关公式和性质化简求值。

【解析】（1）因为

word/media/image38_1.png=word/media/image41_1.png=word/media/image42_1.png，

所以word/media/image39_1.png最小正周期为word/media/image43_1.png。

（2）当word/media/image44_1.png，word/media/image45_1.pngword/media/image46_1.pngword/media/image47_1.png，所以word/media/image48_1.png，所以word/media/image39_1.png在区间word/media/image40_1.png上的最大值为word/media/image49_1.png，最小值为0.

8. (2015·广东高考文科·T16)已知tanα=2.

(1)求tan的值.

(2)求word/media/image51_1.png的值.

【解题指南】(本题考查两角和与差的三角函数（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得word/media/image52_1.png的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得word/media/image53_1.png，再分子、分母都除以word/media/image54_1.png可得word/media/image55_1.png，代入数值，即可得word/media/image56_1.png的值．

【解析】（1）word/media/image57_1.png

（2）word/media/image58_1.png

word/media/image59_1.png

word/media/image60_1.png

word/media/image61_1.png

word/media/image62_1.png

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9.(2015·天津高考文科·T16)(本小题满分13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,

(1)求a和sinC的值.

(2)求cos(2A+)的值.

【解析】(1)在△ABC中,由word/media/image67_1.png，得word/media/image68_1.png由word/media/image69_1.png得word/media/image70_1.png，又由word/media/image71_1.png，解得word/media/image72_1.png由余弦定理word/media/image73_1.png可得word/media/image74_1.png。

又因为word/media/image75_1.png,故word/media/image76_1.png

(2)由(1)知知word/media/image77_1.png，所以word/media/image78_1.png，因此word/media/image79_1.png

10.（2015·重庆高考理科·Ｔ18）已知函数word/media/image80_1.png

(1)求word/media/image81_1.png的最小正周期和最大值；

（2）讨论word/media/image81_1.png在word/media/image82_1.png上的单调性.

【解题指南】（1）首先根据倍角公式及和差公式化简函数word/media/image81_1.png的解析式即可求出函数word/media/image81_1.png的最小正周期及最大值，（2）利用正弦函数的图像和性质求解即可.

【解析】（1）由题意知

word/media/image83_1.png

因此word/media/image81_1.png的最小正周期为word/media/image84_1.png，最大值为word/media/image85_1.png

（2）当word/media/image86_1.png时，word/media/image87_1.png从而

当word/media/image88_1.png即word/media/image89_1.png时，word/media/image81_1.png单调递增，

当word/media/image90_1.png即word/media/image91_1.png时，word/media/image81_1.png单调递减，

综上可知，word/media/image81_1.png在word/media/image92_1.png上单调递增，在word/media/image93_1.png上单调递减.

11. （2015·重庆高考文科·Ｔ18）已知函数word/media/image94_1.png

(1)求word/media/image81_1.png的最小正周期和最小值；

（2）将函数word/media/image81_1.png的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数word/media/image95_1.png的图像，当word/media/image96_1.png时，求word/media/image95_1.png的值域.

【解题指南】（1）首先根据倍角公式及和差公式化简函数word/media/image81_1.png的解析式即可求出函数word/media/image81_1.png的最小正周期及最小值，（2）首先求出函数word/media/image95_1.png的解析式,然后利用正弦函数的图像和性质求解即可.

【解析】（1）由题意知

word/media/image97_1.png

因此word/media/image81_1.png的最小正周期为word/media/image84_1.png，最大值为word/media/image98_1.png

（2）由条件可知，word/media/image99_1.png

当word/media/image100_1.png时，有word/media/image101_1.png从而word/media/image102_1.png的值域为word/media/image103_1.png

那么word/media/image104_1.png的值域为word/media/image105_1.png

故word/media/image106_1.png在区间word/media/image107_1.png上的值域为word/media/image105_1.png.

12.(2015·福建高考理科·T19)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.

(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程.

(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.

①求实数m的取值范围.

②证明:cos(α-β)=-1.

【解题指南】(1)y=cosx→y=2cosx→y

=2cos=2sinx.

(2)利用辅助角公式化简,求角的关系,再借助于二倍角公式求解.

【解析】方法一:(1)将g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图象,再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sinx,从而函数f(x)=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).

(2)①word/media/image112_1.png

word/media/image113_1.png

依题意,sin(x+φ)=在区间内有两个不同的解α,β,当且仅当<1,故m的取值范围是(-,).

②因为α,β是方程sin(x+φ)=m在内的两个不同的解,

所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.

当1≤m<时,α+β=2,

即α+φ=π-(β+φ),

当-时,α+β=2,

即α+φ=3π-(β+φ),

所以cos(α-β)=-cos2(β+φ)=2sin2(β+φ)-1

=2-1=-1.

方法二:(1)同方法一.

(2)①同方法一.

②因为α,β是方程sin(x+φ)=m在区间内的两个不同的解,

所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.

当1≤m<时,α+β=2,即α+φ=π-(β+φ),

当-时,α+β=2,即α+φ=3π-(β+φ),

所以cos(α+φ)=-cos(β+φ).

于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]

=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)

=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)

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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7d2e990a326c1eb91a37f111f18583d049640ff4.html