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袁晖坪线性代数教材习题答案提示

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第一章行列式和Cramer法则
第一章知识清单1.行列式定义：
a11a21
a12a21
a1na2nann
12
1
i,j

i1i2inj1j2jn
ai1j1ai2j2ainjn

an1an2
说明1）ii
in
tkti
ik
k1
nn
k
,
tik：在ik左边比ik打的数的个数.
说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成
2.计算方法
D
基本方法：1）化为三角式；2）降阶法：aikAjk
k10
n
ijij

常用方法：利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。
3.行列式性质（5条）
行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。
4.克莱姆法则



a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222n22
an1x1an2x2annxnbn
DD
即：Anxb.解：x1,2,
DD
,
Dn
，DAn.D
T
推论：Anxo有非零解An0.
基本作业建议A组：1，4，6（1），7（1），8,10(1；B组：一（1），（6）；二（3），（4）
一（A）4（1）：列标：54243，表明第四列有两元素：否;(2:
1
2453145213
.

1一（A）5：
2341
a12a23a34a41,1
a2
b22b1
c22c1
2143
a12a21a34a43.
r32r2
r43r2
d22d1
a226
b226
c226
d226
0
一（A）6(5：D
rir1
2a1
i2,3,4
4a44b44c44d46a96b96c96d9

2a12b12c12d1
一（A）7(1，(2：同6（3），见课件例1.15—1.18。四种方法：
ci
rir1i1
方法一：DD1上三角式；
提公因式rir1
n
i2,3,,n
方法二：D箭形行列式
i2,3,,n
10
0
方法三：D
0
加边
a1a1ba1a1a1
a2a2
a3a3
anananananb

rir1,i2,3n
11111
a1b000
a20b00
a300b0
an000b
a2ba3a2a3ba2
a3

0
a1a2a3
a1a2ca3拆解
a2a3c方法四：Da1
a1
a2
a3
an
anananc
ca2a30a2ca3
a2a3c00
a2
a3
an
anananc
略.
一（A）7（3，5，6，7）同类型，见课件和课本例题1.9：。



（3）：
ci
c1i1
方法一：DD1下三角式
cjcj1
n
，方法二：Dnb1Dn1+下三角式递推式，
c1
方法三：Dn下三角式
j2,3,,n
cj
（5）：方法一：Dnb1Dn1+下三角式递推式，方法二：Dn
c1
下三角式
j2,3,,nb
c
bj1j1
aj
（6）：方法一：DnA+对角式，A对角式.方法二：Dn（7）：课本例题1.12一（A）7（4）：拆解。一（A）7（8）：见课本例题1.15.
一（A）10：系数行列式=0.要求：耐心，细致！
c1
rn1
c1acn
次下三角式
j2,3,,n
ci
rir1r2r3i1
一（B）1（3）：DD1D2上三角式
i2,3,4
4
ci，rr,rr
i12131
一（B）1（4）：DD1三角式
1
cx1
r4r1
4
一（B）1（5），类一（A）5：
r12r4
r2r4r3r4
c1
定义
DD1D2
其中:1
132
1
132
x2x12x+
132
=2x3

x2x12x1
a11a23a32.
一（B）1（6）（7）（10）同课本例题1.15：一（B）1（11）类同一A(10
1ij
m0,一（B）2（1）特例法：取aijij,即aij
0ij
一（B）2（2）类一（B）1（5），由定义：

3241
1
3142
11221
1221
一（B）2（3）：排除法。请记忆结论（D）一（B）2（4），同一（A）10



一（B）3（1），参见课件例1.18。类一（A）7（1），（2）：方法一：D箭形行列式；
各列提公因式rir1,i2,3,,n
方法二：加边；方法三：拆解.
一（B）3（2）：Dn
AnBn1Cn1对角式。
jn,n1,,2,1
i2,3,,n
cjcj1
c1rir1
cn1
第二章矩阵
第二章知识清单
1.矩阵的线性运算（加法和数乘）和矩阵的乘法
注意：矩阵乘法无交换律和消去律.
2.矩阵的逆和线性方程组的矩阵解法
1）有关公式：
1*111(kA11A1
AAAEAA；(ABBA;
kA
*
1
AAA
1
mnmn
,A
mZ
m

n
n
Amnm,nZ，由此得：
k
APP,f(A
km
a
Ak,f(APf(P1.
k
,n,kZ
diag(1,2,,nkdiag(1k,2k,
f(APf(P1diag(f1,f2,,fn.
2）有关方法：
求逆矩阵：直接用定义（例：待定系数法）；伴随阵法；初等变换法。解矩阵方程：



1
AXBXAB.逆矩阵法:n
r
E,A1B,XA1B.BEXA1.初等变换法：1）AnXBAn,B
r
2）AXBA,B行最简形选择自由未知量，给出方程的解（最佳形式）,.
3.转置阵的性质
基本作业建议A组：4，6，9，10（4），14，15，17，18，19，24，28，
29（4），（5）；B组：一（2），（6），（7）；二（1）——（9）
a0ab二（A）7：B,ABBAB,a,c可任取.
cdca

二（A）10：方法一，归纳；方法二，二项式定理.130010
例：10（4）
002
n
100030010000002000

n
n
AB
B2O

二（A）16：akbkabak1ak2bak3b2
abk2bk1
EAkEAEAk1Ak2AE
二（A）17：问：A？EAA2EE4E.二（A）18：AAAEA
*

*
1

1
AA
二（A）19：
A111111*1*A3AAA3AA5A3A*A5AA5A
3
112AA328
E3AE5E5E.5A5525
二（A）20：AB2ABAEB2A2AE2EAEB2E2E(略）.
c2c3
c1c2
c1
3c1c2
2c1c2
c1
二（A）23(1:
原式3A.(2:原式2A
11
3
2
.



3
c1c2c3
2
2c51
(3:原式A1,A23A3,2A3A1A
3c2c3
2
c3c1
.
二（A）26:AXA2XXA2EA,XA2E
1
1
r
E,A2EA.A,A2E,A

1

B6AE二（A）28:ABA6ABAAEBA6A
r
E,A2EA2E,A
1

1

A,A1E可逆

1

1
,
A.
3

二（A）30:由一（A）7（1）:Ak3k1，检验知：k3M140，合题意.
23k23k11
r3r2r2r1
A02k23k302k23k3二（A）31:类30：r3kr1.
202k233k20033k3k3
123

33k23k33k2k23k2k1k1A~000rA1;
000

r
126

k2A~069rA2;
000
r
23k1

k1且k2A~02k23k3rA3.
20033k3k3
r
二（B）1（1）：二（B）1（2）：
B1B
T
1
；
n

2
TTT3T3TT3n1T.
T
二（B）1（3）：分块对角阵。二（B）1（4）：BAE2E.
3
二（B）1（5）：A可逆,0
03a12
2001010.
101011
二（B）1（6）：B可逆，于是：rBArA.二（B）1（7）：AAAEA
*

*
1

1
AA



二（B）1（7）：AA*AEA*二（B）1（8）：方法一，归纳；

2
1

1
AA
方法二：，AEE1,3AE2EE1,3E1,3
2

2
2EE1,32A
即A22A，A2
nn1
A，An2An1An2A22AAn2OO。

二（B）1（9）：类二（B）（2）：
A
2
T

2
2T2AAn2n1A，
a2n10
aEAn0a
2n1
2n1
0
a3a2n.
0a2n1
T
二（B）1（10）：设a,b,c
a2abac111

Tbab2bc111，Ta2b2c23
cacbc2111

二（B）2（1）：排除法
二（B）2（2）：方法和答案同上二（B）2（3）：利用对称阵的定义和性质二（B）2（4）：排除法二（B）2（5）：ABC.
1
二（B）2（6）:AB
1
A1B1?
*
二（B）2（7）:rA3Aij0又rA3AAAE0
rArA
4,综上得：rA1,
*
*
二（B）2（8）:A*A*

*
A*EA
n1
*n1**EAAAAA.
二（B）2（9）:初等变换不改变矩阵的秩A0B0.
二（B）2（10）:EAEAE矩阵多项式EA不可逆.
3
3
二（B）2（11）:C

OA1*1
CCC*CC1.
CBO
C1
行,列交换各n次
2n
AOO
B
AB,C
1
O
1A
O1
B

1*O
AA1*BB
.O




O
C*AB
1*
AA
二（B）2（12）:二（B）3(1:二（B）3(2:
1*
BBO
BA*
O
AB*
.O
PE1,21,P1E1,21CE1,21AE1,21PAP1.
2

T6T

1
A
2
E2BAE检验知：AE可逆AEBE,BAE

.
二（B）3(:(略
二（B）3(4，第一小题:A

T
1
,,
T2
,
Tn

T
1,2,,n
A2AATijiOii0i0AO.j
二（B）3(4，第二小题:A2n1A2n1A2n1A2n1A2n11二（B）3(4，第三小题:A1
T
T
2n1



A2n1A2n10.

T
ATA1.
1
X1
二（B）3(5：A
BOX1O
待定系数法.111CCBXC
1
1
1
二（B）3(6：EABE,CEAABEA,CAEA
BCEA
1
EAE.
1
二（B）3(7：2AB
*

111A2A*B1A2A*B12AB1.AAAAB
n1
2A
n
另解：2AB
*1
2nA*B12A
1
.B
二（B）3(8：A1EXA2AX2A1E.二（B）3(9：AAEA2EEA?EA
1
1

AE?
1
二（B）3(10：第一小题:AEEBE.
二（B）3(10：，第二小题AEBBABBE.二（B）3(11：AA1B1BABA1B1
1

1
A1ABB1BABA.
1
1



111
二（B）3(12：EABETETE1TT
aaa

2

11
1TT0a1.。
aa
二（B）3(13：C2EAB
31
c1c2c3
22T

1

1
AA2EAB
1
1

1
2AB.
1
二（B）3(14：原式
777
1,12,2231,2,232A.222
7
c2c1
2c3c2
二（B）3(15：更正：P
E
T*
A
O.A
A
证：PQT
AEAA*
T*AbA

.
AbTA1

A
T
O
A*
A
OAbTA


P可逆，于是:Q可逆PQ可逆AbTA10bTA1.
二（B）3(16：B0rArAB=2A=0a2.
第三章向量和线性方程组
基本作业建议A组：5，7（奇数），8，12，14，17，21，22；B组：
一（2），（6），（8），9；二（1）——（11），其中（8）题以去掉“不”。
110110111101111
r3r2r2r1,r33r1
三（A）2(2：B123310122101221
32a4b01a31b00a13b1
0111110111r1r2
a1B~0122101221
0003b10003b1
r



b1b2b2x1kk13x11x3x433
1x12x2x12b2b112b341k2x212k,xk,k可任取.3x3x3331x3kb10x40b1b13
x433
x11x3x4
110x212x32x411
r

a1时，B~01221b13x4
x00a13b13a1a1

x4x4
b13k2aba4
x11a1a1ka1a13a2b82ab13k
2kx212,xa1ka1,k可任取.a1a1
b13b13kx3a1a1a1a1
10x4k
三（A）5(1方法一（初等变换不改变列向量组的线性相关性）：
1
1B1,2,3,=123021302

124r2r1,r3r10226
r42r10315013
13705311
1
0r4r2r3r2r3,r33r2
003021
r3,r2r3111104r1r2
0048

0000001

101012

000
rBrA,3123,表达式是唯一的。
方法二（线性表出的等价命题）：
设A1,2,3,xk1,k2,k3,则k11k22k33Ax，
T



11
BA,=
123021

1240
~
0130

1370001
k11
101
xk21，即有：，得唯一解：012k13000
123,表达式唯一存在。
三（A）5(2：
11221122
r2r1,r32r1
B1,2,3,=12330115r3r2
23510000
1017
r1r2
0115,712,rBrA,23,表达式不唯一.
0000
1017
证明如下：设k11k22k33,则k1k2k3.
0115k17k
k5k解得：2,7k1k2k3,k可任取.
kk3
三（A）6（1）：三（A）6（2）：三（A）6（3）：三（A）7:
rARA,3,rARA,,rARA,3,
RAn(向量的个数）?
B12,23,34,421~A1,2,3,4.
C
三（A）8(1:
rBrA4,B:12,23,34,421线性无关.
三（A）8(2:
c1c2c3c4
B12,23,34,41o,23,34,41,
rB4B:12,23,34,41线性相关.
三（A）9：类同三（A）8(1。三（A）10理解：A:1,2,
,s1,s线性相关；B:2,,s,s1线性无关。



三（A）10（1）：由已知，A:1,2,三（A）10（2）：r
,s1,s线性相关；C:2,,s线性无关，由此得证。
As1srB，故不能.
,n线性无关rAn.
,Bnn，
,Bn线性无关rCrB1,B2,
三（A）11：A:1,2,
C:B1,B2,

rBAnrBnB0.
rAn
方法二：C
:B1,B2,,Bn线性无关Cx0只有零解，即BAx0只有零解，

由已知Ax0只有零解，yAx,则By0只有零解，即rBn,即B0.
三（A）12：依据：初等行变换不改变列向量组的线性相关性.
A:1,2,
,nA1,2,,n~行最简形，观察立得结论.
r
1
r0
例如：A1,2,3,4,5~0
0
010120
32
,观察得结论:0011
0000
rA3,最大无关组：1，2，4.3122,531223.
三（A）13：化为行阶梯型。
三（A）14：设向量组A与B所含向量个数相同，则：A~BRARBRA,B.操作如下：A,B~行阶梯型，再观察之。三（A）15：At:1,2,
r
,t是A：1,2,,s中的一个线性无关组，则A中任何一个向量均可由
,t，线性无关，这和
At线性表出（否则，设A中的不能由At线性表出，于是：At1:1,2,
，故At:1,2,rAt矛盾）
,t是A中的一个极大无关组.
另证：rAt=rAAt与A等价，即：At是A的一个极大无关组.三（A）16-19:基本题型.略。
三（A）20:rA3,Ax0的解空间的维数=431,

312222331323A0,即Ax0的基础解系
所求xk


22312.


三（A）21，22：典型习题，务必重视！三（B）1（1）：对应分量成比例。三（B）1（2）：rA4,即A0.三（B）1（3）：rArA,.
三（B）1（4）：rArA,1rA,2.三（B）1（5）：rArA,BrB.三（B）1（6）：rABrA2
三（B）1（7）：rArB3,B0rA2A0
三（B）1（8）：AxO有非零解A0,Axb由无穷多个解rArA,3.三（B）1（9）：类同三（A）20.三（B）1（10）：rA3.三（B）1（11）：设A:1,2,
B0
,nA，1,2~A,o,2rA，1,2rA,o,2s1.
C
三（B）1（12）：rA3Mij0rA*0.
三（B）1（13）：类同三（B）7.A0，rB2B0


*
三（B）1（14）：rA2rA*1Ax0解空间的维数为312.由此推出：

A*x0A11,A21,A31x0，解之即可。
三（B）1（15）：21o,rA2rA=2,基础解系只含有一个自由向量，
故通解为：xk211.
ATABBTBTATABATABBTAB
T
T
四（A）26：ATABBTABAABBAB,
AABAB,1A
2
T


2
AB0,AB0.证毕.


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/78769e407d192279168884868762caaedc33ba56.html

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