通州区2017-2018学年第一学期九年级期中学业水平质量检测
数字试卷
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的）
1．下列四个选项中分别给出了单位相同的四条线段的长，其中四条线段成比例的是（ ）．
A．，
，
，
B．
，
，
，
C．，
，
，
D．
，
，
，
【答案】D
【解析】选项中
，
，两者相等，成比例．
故选．
2．已知反比例函数的图象过点
，则该反比例函数的图象位于（ ）．
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【解析】，
所以位于二、四象限．
故选．
3．下列关于二次函数的图象的顶点坐标正确的是（ ）．
A． B．
C．
D．
【答案】B
【解析】二次函数顶点式中，顶点坐标为
，
此题中，
，
所以顶点为．
故选．
4．下列给出的四组图形：①任意两个菱形；②任意两个等边三角形；③任意两个等腰三角形；④任意两个矩形，其中两个图形一定相似的是（ ）．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】相似图形需要对应边成比例，对应角相等，只有等边三角形符合．
故选．
5．如图，在中，
，
于点
，
，
，则
的长是（ ）．
word/media/image40_1.png
A． B．
C．
D．
【答案】D
【解析】易证，
∴，
∴，
∵，
，
∴．
故选．
7．如图，已知，
，在下面的比例式中，正确的有（ ）．
word/media/image47_1.png
①； ②
； ③
；
④； ⑤
； ⑥
．
A．①③ B．①②③ C．④⑤⑥ D．①③⑤
【答案】D
【解析】∵，
，
∴，
，
，
．
∴①③⑤正确，其余错误．
故选．
9．在平面直角坐标系中，二次函数和一次函数
的图象如图所示，那么不等式
的解集是（ ）．
word/media/image61_1.png
A． B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，即二次函数高于一次函数，
由图知，部分满足．
故选．
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）
11．请写出一个开口向下，并且与轴交于点
的抛物线的表达式，
_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】中，只需要
，
即可．
14．若，
为二次函数
的图象上的两点，则
，
的大小关系为_________．
【答案】
【解析】将，
代入，得
，
，
∴．
16．如图，
是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形
，使正方形的一条边
落在
上，顶点
，
分别落在
，
上．
小明的具体作法如图：
①在边上任取一点
，如图作正方形
．
②连接并延长交
于点
．
③作交
于点
，
交
于点
，
交
于点
，则四边形
即为所求．
老师：“小明的做法是正确的．”请你简要分析说明小明作图的正确性．_________．
word/media/image98_1.png
word/media/image99_1.png
【答案】见解析．
【解析】因为四边形为正方形，
所以，
又因为，
，
，
所以，
所以四边形为矩形，
由平行线分线段成比例可知，
，
所以，
邻边相等的矩形为正方形，
所以为正方形．
三、解答题（共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或解答步骤）
17．（分）如图，
，
两点在二次函数
的图象上．
（）求二次函数的表达式．
（）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．（按照画函数图象的步骤完成）
word/media/image107_1.png
【答案】（）
．（
）见解析．
【解析】（）将
，
代入，得
，得
，
∴解析式为，
（）①列表：
②描点（如图）：
③作图（如图）：
word/media/image115_1.png
18．（分）如图，在
中，
，且
，
，求
的面积．
word/media/image119_1.png
【答案】．
【解析】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
19．（分）如图，在平面直角坐标系
中，反比例函数
的图象与一次函数
的图象交于点
和点
．
（）求这两个函数的表达式．
（）观察图象，当
时，直接写出直接变量取值范围．
word/media/image130_1.png
【答案】（）
，
．（
）
或
．
【解析】（）将
代入
，
将，∴
，
将代入
，将
，
将，
代入
，
得，解得
，
∴．
（）由图象知，
，即反比例函数高于一次函数，
所以或
．
20．（分）已知在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与轴有两个交点．
（）当
的取值范围．
（）当
取正整数时，请你写出二次函数
的表达式，并求出此二次函数图象与轴的两个交点坐标．
【答案】（）
．（
）
；
和
．
【解析】（）∵与轴有两个交点，
∴，
即，
解得．
（）∵
为正整数，
∴，
∴，
令，得
，
解得，
，
∴交点为和
．
21．（分）如图，在
中，
，
为
上一点，
，且
，
．
求证：．
word/media/image158_1.png
【答案】证明见解析．
【解析】∵，
，
∴，
又∵，
，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴．
22．（分）某甜品店销售一种蛋糕，已知这种蛋糕的成本价为每个
元，市场调查发现，该种蛋糕每天的销售量
（个）与销售单价（元）有如下关系：
．设这种蛋糕每天的销售利润为元．
（）求与之间的函数关系式．
（）该种蛋糕销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（）
．
（）定价为
元；最大利润为
元．
【解析】（）
．
（）
∵，
∴当时，取最大值
．
答：当售价定为元时，利润最大为
元．
23．（分）如图，
是由
绕点
顺时针旋转得到的，连接
交斜边
于点
，连接
，
的延长线交
于点
．
（）证明：
．
（）设
，
，如果
≌
，那么与
需要东路怎样的数量关系？并证明你的结论．
word/media/image186_1.png
【答案】（）证明见解析．（
）
，证明见解析．
【解析】（）证明：∵
是由
绕
旋转而符，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（）
，证明如下：
∴≌
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中用内角和定理，
得，
∴．
word/media/image202_1.png
24．（分）图
所示的是遮阳伞撑开时的实际情况，伞柄垂直于水平地面．图
是遮阳伞在撑开的某一时刻一个切面的伞“骨架”的示意图．当伞收紧时，点
与点
重合；当伞慢慢撑开时，动点
由
向
移动；当点
到达点
时，伞撑开的面积最大．已知伞在撑开的过程中，总有
分米，
分米，
分米．
﹙﹚请你写出
的最长值是__________分米．
﹙﹚若
，则
的值是__________分米．
（）假设阳光是由伞的正上方向下直射，落在地面上伞的阴影﹙假定为圆面﹚面积为
，求
与的关系式．（结果保留）．
word/media/image212_1.png
word/media/image213_1.png
【答案】（）
．（
）
．（
）
．
【解析】（）由题知，
最大值为
长度，
分米，
∵分米，
∴分米，
∴最大值为
分米．
（）∵
，
，
∴为等边三角形，
∴分米，
∴分米．
（）如图，作
，垂足为
，
作，垂足为
，
则，
由题知，，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7807ef3b85254b35eefdc8d376eeaeaad1f316a2.html
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