光的衍射计算题及答案

《光的衍射》计算题

1. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长1和2，垂直入射于单缝上．假如1的第一级衍射极小与2的第二级衍射极小相重合，试问

(1) 这两种波长之间有何关系？

(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？

解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得

由题意可知 ,

代入上式可得 3分

(2) (k1 = 1, 2, ……)

(k2 = 1, 2, ……)

若k2 = 2k1，则1 = 2，即1的任一k1级极小都有2的2k1级极小与之重合． 2分

2. 波长为600 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直入射到宽度为a=0.10 mm的单缝上，观察夫琅禾费衍射图样，透镜焦距f=1.0 m，屏在透镜的焦平面处．求：

(1) 中央衍射明条纹的宽度 x0；

(2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x2 ．

解：(1) 对于第一级暗纹，有a sin 1≈

因 1很小，故 tg 1≈sin 1 = / a

故中央明纹宽度 x0 = 2f tg 1=2f / a = 1.2 cm 3分

(2) 对于第二级暗纹，有 a sin 2≈2

x2 = f tg 2≈f sin 2 =2f / a = 1.2 cm 2分

3. 在用钠光(=589.3 nm)做光源进行的单缝夫琅禾费衍射实验中，单缝宽度a=0.5 mm，透镜焦距f=700 mm．求透镜焦平面上中央明条纹的宽度．(1nm=109m)

解： a sin = 2分

= 0.825 mm 2分

x =2x1=1.65 mm 1分

4. 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a = 0.15 mm．缝后放一个焦距f = 400 mm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0 mm，求入射光的波长．

解：设第三级暗纹在3方向上，则有

a sin3 = 3

此暗纹到中心的距离为 x3 = f tg3 2分

因为3很小，可认为tg3≈sin3，所以

x3≈3f / a ．

两侧第三级暗纹的距离是 2 x3 = 6f / a = 8.0mm

∴ = (2x3) a / 6f 2分

= 500 nm 1分

5. 用波长 =632.8 nm(1nm=10−9m)的平行光垂直照射单缝，缝宽a=0.15 mm，缝后用凸透镜把衍射光会聚在焦平面上，测得第二级与第三级暗条纹之间的距离为1.7 mm，求此透镜的焦距．

解：第二级与第三级暗纹之间的距离

x = x3 –x2≈f / a． 2分

∴ f ≈a x / =400 mm 3分

6. (1) 在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，1=400 nm，=760 nm (1 nm=10-9 m)．已知单缝宽度a=1.0×10-2 cm，透镜焦距f=50 cm．求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离．

(2) 若用光栅常数d=1.0×10-3 cm的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离．

解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知

(取k＝1 ) 1分

1分

,

由于 ,

所以 1分

1分

则两个第一级明纹之间距为

=0.27 cm 2分

(2) 由光栅衍射主极大的公式

2分

且有

所以 =1.8 cm 2分

7. 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，1=440 nm，2=660 nm (1 nm = 10-9 m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角=60°的方向上．求此光栅的光栅常数d．

解：由光栅衍射主极大公式得

4分

当两谱线重合时有 1=2 1分

即 ．．．．．．． 1分

两谱线第二次重合即是

， k1=6， k2=4 2分

由光栅公式可知d sin60°=61

=3.05×10-3 mm 2分

8. 一束具有两种波长1和2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长1的第三级主极大衍射角和2的第四级主极大衍射角均为30°．已知1=560 nm (1 nm= 10-9 m)，试求:

(1) 光栅常数a＋b

(2) 波长2

解：(1) 由光栅衍射主极大公式得

3分

(2)

nm 2分

9. 用含有两种波长=600 nm和500 nm (1 nm=10-9 m)的复色光垂直入射到每毫米有200 条刻痕的光栅上，光栅后面置一焦距为f=50 cm的凸透镜，在透镜焦平面处置一屏幕，求以上两种波长光的第一级谱线的间距x．

解：对于第一级谱线，有：

x1 = f tg 1， sin 1= / d 1分

∵ sin ≈tg ∴ x1 = f tg 1≈f / d 2分

和＇两种波长光的第一级谱线之间的距离

x = x1 –x1＇= f (tg 1 – tg 1＇)

= f ( － ＇) / d=1 cm 2分

10. 以波长400 nm─760 nm (1 nm＝10-9 m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围．

解：令第三级光谱中=400 nm的光与第二级光谱中波长为的光对应的衍射角都为， 则 d sin=3，d sin=2

= (d sin / )2=600nm 4分

∴第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm----760 nm 1分

11. 氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长=0.668 m的谱线的衍射角为

=20°．如果在同样角处出现波长2=0.447 m的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是多少？

解：由光栅公式得

sin= k1 1 / (a+b) = k2 2 / (a+b)

k1 1 = k2 2

将k2 k1约化为整数比k2 k1=3 / 2=6 / 4=12 / 8 ......

k2 k1 = 1/ 2=0.668 / 0.447 3分

取最小的k1和k2， k1=2，k2=3， 3分

则对应的光栅常数(a + b) = k1 1 / sin =3.92 m 2分

12. 用钠光(=589.3 nm)垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60°．

(1) 若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30°，求后一光源发光的波长．

(2) 若以白光(400 nm－760 nm) 照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角．

(1 nm= 10-9 m)

解：(1) (a + b) sin = 3

a + b =3 / sin ， =60° 2分

a + b =2'/sin =30° 1分

3 / sin =2'/sin 1分

'=510.3 nm 1分

(2) (a + b) =3 / sin =2041.4 nm 2分

=sin-1(2×400 / 2041.4) (=400nm) 1分

=sin-1(2×760 / 2041.4) (=760nm) 1分

白光第二级光谱的张角 = = 25° 1分

13.某种单色光垂直入射到每厘米有8000条刻线的光栅上，如果第一级谱线的衍射角为

30°那么入射光的波长是多少？能不能观察到第二级谱线？

解：由光栅公式 (a＋b)sin =k

k =1， =30°，sin=1 / 2

∴ =(a＋b)sin/ k =625 nm 3分

实际观察不到第二级谱线 2分

若k =2, 则 sin=2 / (a + b) = 1, 2=90°

14. 用波长为589.3 nm (1 nm = 10-9 m)的钠黄光垂直入射在每毫米有500 条缝的光栅上，求第一级主极大的衍射角.

解： d=1 / 500 mm，=589.3 nm，

∴ sin= d=0.295 =sin-10.295=17.1° 3分

第一级衍射主极大： d sin= 2分

15. 一块每毫米500条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱．钠黄光包含两条谱线，其波长分别为589.6 nm和589.0 nm．(1nm=10­9m)求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度．

解：光栅公式， d sin=k．

现 d=1 / 500 mm=2×10-3 mm，1=589.6 nm，2=589.0 nm，k=2．

∴ sin1=k1 / d=0.5896， 1=36.129° 2分

sin2=k2 / d=0.5890， 2=36.086° 2分

=1－2=0.043° 1分

16.波长范围在450～650 nm之间的复色平行光垂直照射在每厘米有5000条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为35.1 cm．求透镜的焦距f． (1 nm=10-9 m)

解：光栅常数 d = 1m / (5×105) = 2 ×105m． 2分

设 1 = 450nm， 2 = 650nm,

则据光栅方程，1和2的第2级谱线有

dsin 1 =21； dsin 2=22

据上式得： 1 =sin121/d＝26.74°

2 = sin122 /d＝40.54° 3分

第2级光谱的宽度 x2 x1 = f (tg 2tg 1)

∴ 透镜的焦距 f = (x1 x2) / (tg 2 tg 1) ＝100 cm． 3分

17.设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米有5000条刻线，用它来观察钠黄光（=589 nm）的光谱线．

(1)当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次km是

多少？

(2)当光线以30°的入射角（入射线与光栅平面的法线的夹角）斜入

射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次是多少？ (1nm=109m)

解：光栅常数d=2×10-6 m 1分

(1) 垂直入射时，设能看到的光谱线的最高级次为km，则据光栅方程有

dsin= km

∵ sin≤１ ∴ km / d ≤1 ， ∴ km≤d / =3.39

∵ km为整数,有 km=3 4分

(2) 斜入射时，设能看到的光谱线的最高级次为，则据斜入射时的光栅方程有

∵ sin＇≤1 ∴

∴ =5.09

∵为整数，有 =5 5分

18. 一双缝，缝距d=0.40 mm，两缝宽度都是a=0.080 mm，用波长为=480 nm (1 nm = 10-9 m) 的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f =2.0 m的透镜求：

(1) 在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距l；

(2) 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N和相应的级数．

解：双缝干涉条纹：

(1) 第k级亮纹条件： d sin=k

第k级亮条纹位置：xk = f tg≈f sin≈kf / d

相邻两亮纹的间距：x = xk+1－xk=(k＋1)f / d－kf / d=f / d

=2.4×10-3 m=2.4 mm 5分

(2) 单缝衍射第一暗纹： a sin1 =

单缝衍射中央亮纹半宽度： x0 = f tg1≈f sin1

≈f / a＝12 mm

x0/x =5

∴ 双缝干涉第±5极主级大缺级． 3分

∴ 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9 1分

分别为 k = 0，±1，±2，±3，±4级亮纹 1分

或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第±5级主大，同样得该结论的3分．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/76a7efa2cec789eb172ded630b1c59eef9c79a61.html