2014年湘教版数学七上能力培优1.6有理数的乘方

1．6 有理数的乘方（附答案）

专题 有理数乘方的探究题

1． 观察下列等式，然后填空．

1+3=22=4；

1+3+5=32=9；

1+3+5+7=42=16；

1+3+5+7+9=52=25；

1+3+5+7+9+11=62=______.

(1)第5个式子等号右边的结果应填的数是　 　；

(2)根据规律计算：1+3+5+7+9+…+1997+1999=　 　；

(3)请写出第n(n是正整数)个等式是：1+3+5+…+(2n+1)=　 　．

2． 问题：你能比较两个数20122013与20132012的大小吗？

为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nn+1和(n+1)n的大小(n是自然数)．然后，我们分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，才猜想出结论．

(1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填“＜”“＞”“=”)

①12____21，②23______32，③34_____43，④45______54，⑤56______65，⑥66______75；

(2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系；

(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20122013与20132012．

3． 阅读下面一段：

计算1+5+52+53…+599+5100．

观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．

解：设S=1+5+52+53…+599+5100，①

则5S=5+52+…+5100+5101，②

②﹣①得4S=5101﹣1，则S=．

上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之

比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来

解决．

下面请你观察算式是否具备上述规律？若是，请你尝试用“错位相减”法计算上式的结果．

【知识要点】

1．求n个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，在an中，a叫做底数，n叫做指数．

2．正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数， 负数的偶次幂是正数，0的任何正整数次幂都是0．

3．把一个绝对值大于10的数记做的形式，其中a是整数数位只有一位的数(即1≤|a|＜10)，这种记数法叫做科学记数法．

【温馨提示】

1．有理数运算时，应根据乘方的意义计算，切不可把底数与指数相乘作为乘方的结果．

2．用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，要注意10的指数应比原数的整数位数少一位.

参考答案

1． 解：(1)第5个式子等号右边的结果应填的数是36；

(2)根据规律计算：原式=10002=1000000；

(3)原式=(n+1)2．

2． 解：(1)①12＜21，②23＜32，③34＞43，④45＞54，⑤56＞65，⑥66＞75；

(2)当n=1或2时，nn+1＜(n+1)n，当n≥3，且n为自然数时，nn+1＞(n+1)n；

(3)20122013＞20132012．

3． 解：具备上述规律．设S=，①

则，②

①﹣②得，

所以，

即原式=．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/763700e9d4d8d15abe234e9a.html