2012年高考全国卷1理科数学试题及答案（word精校版）

2012 年普通高等学校招生全国统一考试

全国课标Ⅰ理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)

A．3 B．6 C．8 D．10

2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)

A．12种 B．10种 C．9种 D．8种

3．下面是关于复数的四个命题：

p1：|z|＝2， p2：z2＝2i，

p3：z的共轭复数为1＋i， p4：z的虚部为－1，

其中的真命题为(　　)

A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4

4．设F1，F2是椭圆E： (a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线上一点，

△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)

A． B． C． D．

5．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)

A．7 B．5 C．－5 D．－7

6.如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…,aN，输出A，B，则(　　)

A．A＋B为a1，a2，…，aN的和

B．为a1，a2，…，aN的算术平均数

C．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数

D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(　　)

A．6 B．9 C．12 D．18

8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为(　　)

A． B． C．4 D．8

9．已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)单调递减，则ω的取值范围是(　　)

A． B． C．(0，］ D．(0,2］

10．已知函数，则y＝f(x)的图像大致为(　　)

11．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，

△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)

A． B． C． D．

12．设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为(　　)

A．1－ln2 B． (1－ln2) C．1＋ln2 D． (1＋ln2)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知向量，夹角为45°，且＝1，＝，则＝__________．

14．设x，y满足约束条件，则z＝x－2y的取值范围为__________．

15．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．

16．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0．

(1)求A；

(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．

18．（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n∈N)的函数解析式；

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

19．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．

(1)证明：DC1⊥BC；

(2)求二面角A1－BD－C1的大小．

20．（本小题满分12分）

设抛物线C：x2＝2py (p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．

(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；

(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)满足f(x)＝ex－1－f(0)x＋x2．

(1)求f(x)的解析式及单调区间； (2)若f(x)≥x2＋ax＋b，求(a＋1) b的最大值．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题计分.

22．(本题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，

证明：(1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD．

23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)．

(1)求点A，B，C，D的直角坐标；

(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．

24．(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|．

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2］，求a的取值范围．

2012年全国课标Ⅰ理科数学参考答案

13. 14.[－3,3］ 15. 16. 1 830

17．解：(1)由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0．

因为B＝π－A－C， 所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0．

由于sinC≠0，所以． 又0＜A＜π，故．

(2)△ABC的面积，故bc＝4．而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8．

解得b＝c＝2．

18．解：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80． 当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80．

所以y关于n的函数解析式为

(2)①X可能的取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7．

X的分布列为

X的数学期望为EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76．

X的方差为DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44．

②答案一： 花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

Y的数学期望为EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4．

Y的方差为

DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04．

由以上的计算结果可以看出，DX＜DY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．

另外，虽然EX＜EY，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．

答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

Y的数学期望为EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4．

由以上的计算结果可以看出，EX＜EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．

19．解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1．

又，可得DC12＋DC2＝CC12，所以DC1⊥DC．

而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD．BC平面BCD，故DC1⊥BC．

(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1，

所以CA，CB，CC1两两相互垂直．

以C为坐标原点,方向为x轴的正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz．

由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)．则，，．

设n=(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则，即 可取n＝(1,1,0)．

同理，设m是平面C1BD的法向量，可取m＝(1，2，1).

. 故二面角A1－BD－C1的大小为30°

20．解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径.

由抛物线定义可知A到l的距离. 因为△ABD的面积为，

所以，即， 解得p＝－2(舍去)，p＝2.

所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.

(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.

由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|， 所以∠ABD＝30°，m的斜率为或.

当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py，得x2－px－2pb＝0.

由于n与C只有一个公共点，故＝p2＋8pb＝0， 解得.

因为m的截距，，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.

当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.

21．解：(1)由已知得f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x. 所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1.

又f(0)＝f′(1)e－1，所以f′(1)＝e. 从而f(x)＝ex－x＋x2. 由于f′(x)＝ex－1＋x，

故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.

从而，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

(2)由已知条件得ex－(a＋1)x≥b.①

(ⅰ)若a＋1＜0,则对任意常数b,当x＜0,且时,可得ex－(a＋1)x＜b，因此①式不成立．

(ⅱ)若a＋1＝0，则(a＋1)b＝0.

(ⅲ)若a＋1＞0，设g(x)＝ex－(a＋1)x，则g′(x)＝ex－(a＋1)．

当x∈(－∞，ln(a＋1))时，g′(x)＜0；当x∈(ln(a＋1)，＋∞)时，g′(x)＞0.

从而g(x)在(－∞，ln(a＋1))上单调递减，在(ln(a＋1)，＋∞)上单调递增．

故g(x)有最小值g(ln(a＋1))＝a＋1－(a＋1)ln(a＋1)．所以f(x)≥x2＋ax＋b等价于

b≤a＋1－(a＋1)ln(a＋1)．② 因此(a＋1)b≤(a＋1)2－(a＋1)2ln(a＋1)．

设h(a)＝(a＋1)2－(a＋1)2ln(a＋1)，则h′(a)＝(a＋1)(1－2ln(a＋1))．

所以h(a)在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，

故h(a)在处取得最大值．从而，即(a＋1)b≤.

当，时，②式成立，故f(x)≥x2＋ax＋b. 综合得，(a＋1)b的最大值为.

22．证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC．

又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD．

而CF∥AD，连结AF，所以ADCF是平行四边形，故CD＝AF.

因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC．

(2)因为FG∥BC，故GB＝CF. 由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD．

而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD．

23．解：(1)由已知可得A(，)，B(，)，

C(2cos(＋π)，2sin(＋π))，D(，)，

即A(1，)，B(，1)，C(－1，)，D(，－1)．

(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.

因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．

24．解：(1)当a＝－3时，当x≤2时，由f(x)≥3，得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3，得2x－5≥3，解得x≥4；

所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}．

(2)f(x)≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|4－x－(2－x)≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a.

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/76046c966429647d27284b73f242336c1eb9307a.html