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2021-2022年九年级数学上期中试卷(带答案)(1)

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一、选择题
1．王老师的讲义夹里放了大小相同的试卷12张，其中语文5张，数学4张，外语3张，他随机从讲义夹中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率是（）A．
14
B．
13
C．
512
D．
12
2．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a，则数
12x4a212
a使关于x的不等式组至少有四个整数解，且关于x的分式方程
2x1x23
ax2
＝1有非负整数解的概率是（）3xx3
A．
29
B．
13
C．
49
D．
59
3．从一个装有3个红球、2个白球的盒子里（球除颜色外其他都相同），先摸出一个球，不再放进盒子里，然后又摸出一个球，两次摸到的都是红球的概率是（）A．
12
B．
35
C．
16
D．
310
4．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（）A．32个
B．36个
C．40个
B．有两个相等实数根D．没有实数根
D．42个
5．一元二次方程x2﹣2x+5＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根
6．一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x个参赛棋手，则可列方程为（）A．
1
x（x﹣1）＝452
B．
1
x（x+1）＝452
C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝45
7．★在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a，b是关于x的方程x2－7x＋c＋7＝0的两根，那么AB边上的中线长是（）A．
32
14
B．
52
14
C．5D．2
8．若关于x的一元二次方程x2＋x－3m＋1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m＞
B．m＜
C．m≥
14
D．m≤
14

9．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（）

A．12B．13C．14D．15
10．如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处．若AB6，
AD10，则EC的长为（）

A．2B．
83
C．3D．
103
11．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OGAC，交AB于点G，连接CG，若BOG15，则BCG的度数是（）

A．15B．15.5C．20D．37.5
12．□ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，那么这个条件可以是（）A．AB=CD
B．AC=BD
C．AC⊥BD
D．AB⊥BD
二、填空题
13．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率________．
14．在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．己知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是黑球的个数为__________．
15．已知方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为α、β，则（α-1）（β-1）=________．16．如图，有一块长21m,宽10m的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为90m2．设人行通道的宽度为xm，根据题意可列方程：_______________________．
1
，则袋中10


17．已知一元二次方程x2-10x+21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_________．
18．如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC，点C的坐标为2,1点B坐标为________．

19．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，则点P的坐标为____．


20．菱形ABCD周长为52cm，它的一条对角线长为10cm，则另一条对角线长为__________cm．
三、解答题
21．森林防火，人人有责．前不久，华蓥市公安局结合华蓥山竹林风景线建设，在华蓥山国家森林公园、石林景区，以“严防森林火灾、保护绿水青山”为主题，开展了森林防灭火

知识宣传．广安市某校为了解九年学生对森林防灭火知识的了解程度，在九年级学生中做了一次抽样调查，并将结果分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调査结果绘制了如下两幅尚不完整的统计图．

请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的学生一共有______人，并补全条形统计图．
（2）若该校九年级共有1000名学生，请你估计该校九年级学生中“基本了解”森林防灭火知识的学生有多少人？
（3）九（2）班被调查的学生中A等级的有5人，其中3名男生2名女生．现打算从这5名学生中任意抽取2名进行电话采访，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一男一女的概率．
22．生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格（如图②），通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．
（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）
（2）图④为22的网格图，它可表示不同信息的总个数为________；
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用nn的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共506人，则n的最小值为________．

23．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m的住房墙，另外三边用
27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．

（1）所围矩形猪舍的长，宽分别为多少米时，猪舍面积为96m2？

（2）能否围面积为100m2的矩形猪舍，若能，求出长和宽；若不能，请说明理由．24．用适当的方法求解下列方程：（1）x22x10；（2）(x425(x4．
25．如图1．在平面直角坐标系中，一次函数y
3x23的图象与x轴，y轴分别交
于点A和点C，过点A作ABx轴，垂足为点A；过点C作CBy轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．

（1）线段AC的长为______，ACO______度．
（2）将图2中的ABC折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交
AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图②，求线段AD的长；
（3）点M是直线AC上一个动点（不与点A、点C重合）．过点M的另一条直线MN与
y轴相交于点N．是否存在点M，使△AOC与△MCN全等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，长方形ABCD沿着直线DE和EF折叠，使得AB的对应点A′，B′和点E在同一条直线上．
（1）写出∠AEF的补角和∠ADE的余角；（2）求∠DEF．


【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题1．B解析：B

【分析】
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．【详解】
解：∵小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，数学4页，∴他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为故选：B．【点睛】
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=
41．123
m．n
2．C
解析：C【分析】
先解出不等式组，找出满足条件的a的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a的个数除以总数即可求出概率．【详解】
xa
，解不等式组得：x7
由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3，∴a的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5，分式方程去分母得：﹣a﹣x+2＝x﹣3，解得：x＝
5a，2
∵分式方程有非负整数解，∴a＝5、3、1、﹣3，
则这9个数中所有满足条件的a的值有4个，∴P＝
49
故选：C．【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．
3．D
解析：D【分析】
画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率．【详解】

解：画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，两次摸到的球的颜色都是红球的有6种情况，∴两次摸到的球的颜色相同的概率为：故选：D．【点睛】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．10
4．A
解析：A【分析】
可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”【详解】
设盒子里有白球x个，根据
黑球个数摸到黑球次数
=得：
小球总数摸球总次数
880x8400解得：x=32．
经检验得x=32是方程的解．答：盒中大约有白球32个．故选；A．【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．
5．D
解析：D【分析】
根据根的判别式判断．【详解】
解：∵△＝4﹣20＝﹣16＜0，∴方程没有实数根．故选：D．【点睛】
本题考查一元二次方程的根的情况，熟练掌握根判别式的计算方法及应用是解题关键．

6．A
解析：A【分析】
关系式为：棋手总数×每个棋手需赛的场数÷2=45，把相关数值代入即可．【详解】
解：本次比赛共有x个参赛棋手，所以可列方程为：故选：A．【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
1
x（x-1）=45．2
7．B
解析：B【分析】
由于a、b是关于x的方程x2−7x＋c＋7＝0的两根，由根与系数的关系可知：a＋b＝7，ab＝c＋7；由勾股定理可知：a2b2c2，则ab2abc2，即49−2（c＋7）＝c2，由此求出c，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长．【详解】
解：∵a、b是关于x的方程x2−7x＋c＋7＝0的两根，∴根与系数的关系可知：a＋b＝7，ab＝c＋7；由直角三角形的三边关系可知：a2b2c2，则ab2abc2，即49−2（c＋7）＝c2，解得：c＝5或−7（舍去），
再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为故选：B．【点睛】
本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时运用一元二次方程的根与系数的关系建立方程是关键．
2
2
5．2
8．C
解析：C【分析】
关于x的一元二次方程x2x3m10有两个实数根，即判别式△=b24ac≥0，即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围；

【详解】
∵关于x的一元二次方程x2x3m10有两个实数根，∴1413m1≥0，
2
1，4
故选：C．【点睛】
解得：m≥
本题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，正确掌握根与判别式的关系是解题的关键．
9．B
解析：B【解析】
过点P作PM⊥BC于点M，

由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，
则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△ADE∴PQ=AE=5212213.
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
10．B
解析：B【分析】
由翻折可知：AD=AF=10．DE=EF，设EC=x，则DE=EF=6-x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10，AB=CD=6，∴∠B=∠BCD=90°，
由翻折可知：AD=AF=10，DE=EF，设EC=x，则DE=EF=6-x．在Rt△ABF中，BF∴CF=BC-BF=10-8=2，在Rt△EFC中，EF2=CE2+CF2，∴（6-x）2=x2+22，∴x=
AF2AB2102628，
8，3
8．3故选：B．【点睛】
∴EC=
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
11．A
解析：A【分析】
根据矩形的性质求出OCB的度数，从而得到GAC的度数，再根据垂直平分线的性质得到GCAGAC，最后求出BCG的度数．【详解】
解：∵OGAC，∴COG90，∵BOG15，
∴COBCOGBOG901575，∵四边形ABCD是矩形，∴ACBD，OCOA∴OCOB，∴OCBOBC
11
AC，OBODBD，AB//DC，BCD90，22
180COB18075
52.5，
22
∴ACDBCDOCB37.5，∵AB//CD，
∴GACACD37.5，∵OGAC，OAOC，∴GO是AC的垂直平分线，∴AGCG，
∴GCAGAC37.5，

∴BCGOCBGCA52.537.515．故选：A．【点睛】
本题考查矩形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理，并结合题目条件进行证明．
12．C
解析：C【分析】
根据菱形的定义和判定定理逐项作出判断即可．【详解】
解：A.AB=CD，无法判断四边形ABCD是菱形，不合题意；
B.AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意；C.AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断□ABCD是菱形，符合题意；D.AB⊥BD，可以得到∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形叫矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意．故选：C【点睛】
本题考查了菱形的判定，熟知菱形的定义和判定定理是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数找出恰有一个篮子为空的情况数然后根据概率公式即可得出答案【详解】解：三个不同的篮子分别用ABC表示根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数其中恰有一个
2
解析：
3
【分析】
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】
解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，62
则恰有一个篮子为空的概率为=．
93

故答案为：【点睛】
2．3
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．22【分析】袋中黑球的个数为利用概率公式得到然后利用比例性质求出即可【详解】解：设袋中黑球的个数为根据题意得解得即袋中黑球的个数为个故答案为：22【点睛】本题主要考查概率的计算问题关键在于根据题意对
解析：22【分析】
袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到可．【详解】
解：设袋中黑球的个数为x，
51
，然后利用比例性质求出x即
523x10
51
，解得x22，
523x10
即袋中黑球的个数为22个．故答案为：22．【点睛】
根据题意得
本题主要考查概率的计算问题，关键在于根据题意对概率公式的应用．
15．3【分析】结合题意根据一元二次方程根与系数关系的性质可得；根据整式运算性质得将代入式子中通过计算即可得到答案【详解】∵方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为αβ∴∴故答案为：3【点睛】本题考查了一
解析：3【分析】
结合题意，根据一元二次方程根与系数关系的性质，可得+、；根据整式运算性质，得111，将+、代入式子中，通过计算即可得到答案．【详解】
∵方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为α、β∴∴
+3，1
1111313
故答案为：3．【点睛】
本题考查了一元二次方程、整式运算的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系

数关系的性质，从而完成求解．
16．【分析】根据矩形的性质求解即可；【详解】根据题意可知：宽为长为∴；故答案是【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用准确分析列方程是解题的关键
解析：213x102x90
【分析】
根据矩形的性质求解即可；【详解】
根据题意可知：宽为102x∴213x102x90；故答案是213x102x90．【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．
m，长为213xm，
17．17【分析】先求出方程的解然后分两种情况进行分析结合构成三角形的条件即可得到答案【详解】解：∵一元二次方程x2-10x+21=0有两个根∴∴∴或当3为腰长时3+3<7不能构成三角形；当7为腰长时则周
解析：17【分析】
先求出方程的解，然后分两种情况进行分析，结合构成三角形的条件，即可得到答案．【详解】
解：∵一元二次方程x2-10x+21=0有两个根，∴x210x210，∴(x3(x70，∴x3或x7，
当3为腰长时，3+3<7，不能构成三角形；当7为腰长时，则周长为：7+7+3=17；故答案为：17．【点睛】
本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解题的关键是掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题．
18．【分析】过点作轴于过点作轴过点作交CE的延长线于先证明得到根据点的坐标定义即可求解【详解】解：如图过点作轴于过点作轴过点作交CE的延长线于四边形是正方形易求又∴点的坐标为点到轴的距离为点的坐标为故答解析：3,1
【分析】

过点A作ADy轴于D，过点C作CEx轴，过点B作BFCE交CE的延长线于
F．先证明AOD≌COE≌BCF，得到ADCEBF1，ODOECF2，根据点的坐标定义即可求解．【详解】
解：如图，过点A作ADy轴于D，过点C作CEx轴，过点B作BFCE交CE的
延长线于F．
C2,1，
OE2，CE1．
四边形OABC是正方形，
OAOCBC．
易求AODCOEBCF．又ODAOECF90∴AOD≌COE≌BCF，
ADCEBF1，ODOECF2，
点A的坐标为1,2，EF211，
点B到y轴的距离为123，
点B的坐标为3,1．

故答案为：3,1【点睛】
本题考查了平面直角坐标系点的坐标，全等三角形的判定与性质，根据题意，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
19．或【分析】设AE=m根据勾股定理求出m的值得到点E（1）设点P坐标为（0y）根据勾股定理列出方程即可得到答案【详解】∵对角线AC的垂直平分线交AB于点E∴AE=CE∵OA=1OC=2∴AB=OC=2
解析：(0,，(0,或(0,【分析】
设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，
343412
5
），设点P坐标为（0，y），根据4

勾股定理列出方程，即可得到答案．【详解】
∵对角线AC的垂直平分线交AB于点E，∴AE=CE，∵OA=1，OC=2，∴AB=OC=2，BC=OA=1，∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m，
∴在Rt∆BCE中，BE2+BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2，解得：m=∴E（1，
5，4
5
），4
设点P坐标为（0，y），
∵△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，当AP=AE，则(1-02+(0-y2=(1-12+(0-当EP=AE，则(1-02+(
352
，解得：y=，44
5251
-y=(1-12+(0-2，解得：y=，
244
∴点P的坐标为(0,，(0,，(0,，故答案是：(0,，(0,，(0,．【点睛】
本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键．
3
43412
343412
20．24【分析】根据菱形的性质先求菱形的边长利用勾股定理求另一条对角线的长度【详解】如图菱形ABCD中BD=10∴AC⊥BD∵菱形的周长为52BD=10∴AB=52÷4=13BO=5∴AO=∴AC=则这
解析：24【分析】
根据菱形的性质，先求菱形的边长，利用勾股定理求另一条对角线的长度．【详解】
如图，菱形ABCD中，BD=10，


∴AC⊥BD，
∵菱形的周长为52，BD=10，∴AB=52÷4=13，BO=5，∴AO=132∴AC=24．
则这个菱形的另一条对角线长为24cm．故答案为：24．【点睛】
本题考查了菱形对角线互相垂直平分、菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．
52
12
三、解答题
21．（1）200，补图见解析；（2）估计该校九年级学生中“基本了解”森林防灭火知识的学生有400人；（3）【分析】
（1）由“不了解”的人数及其所占的百分比即可求出总人数．根据总人数可求出C等级的人数，即可补全统计图．
（2）利用C等级的人数所占的百分比乘以该校九年级的人数即可估算．
（3）利用列表法列举出所有事件发生的情况，再找出抽到一男一女的情况，最后根据概率公式计算即可．【详解】
（1）2010%=200人．
C等级的人数为200(40602080（人），补全条形统计图如下：
3．5


（2）1000
80
400（人），200
故估计该校九年级学生中“基本了解”森林防灭火知识的学生有400人．（3）列表如下：

男1男2男3女1女2
男1男2男1，男2
男3男1，男3男2，男3
女1男1，女1男2，女1男3，女1
女2男1，女2男2，女2男3，女2女1，女2

男2，男1男3，男1女1，男1女2，男1

男3，男2女1，男2女2，男2

女1，男3女2，男3

女2，女1

由图可知，一共有20种等可能的结果，其中抽到一男一女的有12种，故恰好抽到一男一女的概率为【点睛】
本题考查条形和扇形统计图相关联，列表法或树状图法求概率．掌握条形和扇形统计图的特点和能够正确列出表格是解答本题的关键．22．（1）见解析；（2）16；（3）3【分析】
（1）画出树状图即可得出答案；（2）画出树状图即可得到答案；（3）由题意得出规律，即可得出答案；【详解】
（1）画树状图如下：
123．205

共有4种等可能结果，∴图③可表示不同信息的总个数为4；（2）画树状图如下：


共有16种等可能的结果；故答案是16；
（3）由图①得：当n1时，212，由图④得：当n2时，222216，∴n3时，232323512，∵16＜492＜512，∴n的最小值为3．故答案是3．【点睛】
本题主要考查了树状图的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键．23．（1）长为12m、宽为8m；（2）不能，理由见解析【分析】
（1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可．
（2）根据题意列出方程x（27-2x+1）=100，根据方程的解的情况可得结果．【详解】
解：（1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（27-2x+1）m，由题意得x（27-2x+1）=96，解得：x1=6，x2=8，
当x=6时，27-2x+1=16＞15（舍去），当x=8时，27-2x+1=12．答：所围矩形猪舍的长为12m、宽为8m．

（2）由题意得：x（27-2x+1）=100，化简得：-2x2+28x-100=0，△=282-4×（-2）×（-100）=-16＜0，故方程无解，
∴不能围成面积为100m2的矩形猪舍．【点睛】
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．24．（1）x112，x212；（2）x14，x21【分析】
（1）用公式法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可．【详解】
解：（1）这里a1，b2，c1∵b24ac241180，
2
∴x
28
12，21
2
即x112，x212（2）∵x45x4，∴x45x40，
2
则x4x10，∴x40或x10，解得x14，x21．【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是根据方程的特点选择恰当的解法解方程．25．（1）4；30．（2）AD=
43
；（3）M点的坐标为（-2，43）或（3，3
−3+23）或（-3，3+23）．【分析】
（1）先确定出OA=2，OC=23，进而得出AC=4，可得出答案；（2）利用折叠的性质得出BD=23-AD，最后用勾股定理即可得出结论；（3）分不同的情况画出图形，根据全等三角形的性质可求出点M的坐标．【详解】
解：（1）∵一次函数y
3x23的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，

∴令x0，则y23；y0，则x2，∴A（2，0），C（0，23），∴OA=2，OC=23，
∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB=OC=8，BC=OA=4，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，ACOA2OC222(2324，
∴∠ACO=30°．故答案为：4；30．
（2）由（1）知，BC=2，AB=23，由折叠知，CD=AD，
在Rt△BCD中，BD=AB-AD=23-AD，根据勾股定理得，CD2=BC2+BD2，即：AD2=4+（23-AD）2，∴AD=
43
3
；（3）①如图1，MN⊥y轴，若△AOC≌△MNC，则CN=CO，

∴M点的纵坐标为43，代入y=-3x+23得，x=-2，∴M(−2，43．
②如图2，MN⊥AC，MP⊥y轴，


∵SMCNSAOC∴CN=AC=4，∴PM
232
23，2
232
3，4
∴M点的横坐标为3或-3，代入y=-3x+23得，y=-3+23或y=3+23．∴M点的坐标为（3，−3+23）或（-3，3+23）．
综合以上可得M点的坐标为（-2，43）或（3，−3+23）或（-3，3+23）．【点睛】
此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
26．（1）∠AEF的补角有∠BEF和∠B′EF，∠ADE的余角有∠AED、∠A′ED和∠CDE；（2）∠DEF=90°【分析】
（1）根据折叠的性质以及补角的定义和余角的定义即可写出；
（2）由折叠的性质得到∠AED=∠A′ED，∠BEF=∠B′EF，根据平角的定义即可得到结论；【详解】
（1）根据折叠的性质知：∠AED=∠A′ED，∠BEF=∠B′EF，∵四边形ABCD是长方形，∴∠ADC=∠A=90，∴∠AEF+∠BEF=180，
∴∠AEF的补角有∠BEF和∠B′EF，∠ADE+∠CDE=90，∠ADE+∠AED=90，∠ADE的余角有∠AED、∠A′ED和∠CDE；（2）由折叠可知∠AED=∠A′ED，∠BEF=∠B′EF，∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠B′EF=180°，

∴∠DEA′+∠B′EF=180°=90°，∴∠DEF=90°；【点睛】
本题考查了折叠的性质，补角和余角的定义，正确的识别图形解题的关键．
12

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/71cd307469ec0975f46527d3240c844768eaa020.html

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