九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案

九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案

一、本章教学的指导意见：

（一）本章内容概述

本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数——正切。因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。正弦和余弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。

接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。

对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。

利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。除“船有触礁的危险吗？”“测量物体的高度”两节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。

直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。

研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。

通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。

（二）教学重点

1．使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，从中发展学生观察、分析、发现的能力；

2．理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明；

3．会计算包括30°、45°、60°角的三角函数值的问题；

4．能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角；

5．能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力；

6．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。

（三）教学难点

1．经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程；

2．解决与直角三角形有关的实际问题；

3．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。

（四）教学关键

1．使学生清楚直角三角形中边角之间的关系，熟练掌握解直角三角形；

2．使学生能灵活解决与直角三角形有关的实际问题；

（五）教学策略

1．注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念，使学生感受数学与现实世界的联系；

2．引导学生自己观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系，并鼓励学生有条理地进行思考和表达；

3．注重数形结合思想方法的渗透，引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出思想方法；

4．在解决实际问题时，首先要引导学生弄清实际问题的意义，然后逐步把实际问题表示为数学问题，对一些术语（如仰角、俯角等）要向学生进行说明；

5．教学时要关注学生是否积极投入到探索直角三角形边角关系的活动中，以及在活动过程中表现出来的思维水平；

6．关注学生是否能够发现直角三角形中的边角关系，并能有条理地表达自己的想法；

7．关注学生是否能够运用所学的知识解决实际问题，如能够把实际问题中的数量关系表示为数学表达式，并且求出问题的解；

8．关注学生对概念的理解，恰当考查知识与技能；

（六）设计思路

二、具体内容分析及教学建议

第一节 从梯子的倾斜程度谈起

（一）教学核心

1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解 tanA、sinA、cosA的数学含义和与现实生活的联系；

2．能够用tanA、sinA、cosA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用tanA、sinA、cosA进行简单的计算；

3．理解锐角三角函数的意义；

4．经历观察、猜测等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点；

5．体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力；

6．体会解决问题的策略多样性，发展实践能力和创新精神；

（二）课时安排

2课时

（三）教材分析

本节从现实情境（梯子的倾斜程度）出发，让学生经历探索直角三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明，能用tanA、sinA、cosA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算。

◆第一课时

（一）教学内容

本节首先由梯子的倾斜程度问题引出锐角三角函数正切。此情境问题是一个开放性问题，主要看学生是否能够说出理由。如，因为梯子的高度AC、ED相等，可以用BC、FD的距离判断梯子的倾斜程度等。

然后通过想一想，研究有一个公共角的两个直角三角形的关系（相似），得出两直角边比的关系，使学生理解当锐角固定时，它的对边与邻边的比值也固定这一事实。由于直角三角形中的锐A确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，故定义此确定之比为角A的正切，并用符号tanA表示。

在得出正切的定义之后，通过议一议，引导学生进一步议论出正切的值与梯子倾斜程度之间的关系。

随后由例1，通过计算正切值，判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接运用。

正切还经常应用于另一很实用的概念——对山坡坡度的刻画，最后向学生介绍坡度、坡角等概念。

（二）教学建议

1．本节的重点就是理解tanA的数学含义，难点是从现实情境中理解tanA的数学含义，所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，使学生感受到数学与现实世界的联系；

2．课本引例是一个开放性问题，学生的回答可能多种多样，例如，有的学生可能会想到度量角度等，教师可以引导学生用对边和邻边之比；

3．鼓励学生有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解；

4．要注意坡度与坡角的区别和联系，坡度是坡角的正切；

（三）教学素材

1．在“小车下滑的时间”的实验过程中，如图所示，

小车从斜坡的顶端滑下，已知一次实验的结果需4秒，

木板的坡度为，请你根据图中数据计算小车的平

均速度？

◆第二课时

（一）教学内容

课本在正切的基础上，继续拓展到直角三角形其它边之间的比，从而引出正弦和余弦，以及它们的符号表示。

然后通过想一想，引导学生进一步讨论出正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系。

例2和做一做，是正弦、余弦的简单运用，同时渗透互余的两个角的正弦、余弦有如下关系：sinA=cos（90o-A）

（二）教学建议

1．正弦、余弦的概念是类比正切得到的，因此可仿照正切进行正弦、余弦的教学，建议引导学生进行充分的讨论、说理；

2．用函数的观点理解正弦、余弦和正切，这是一个难点，教学时可发动学生进行研讨。事实上，当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应；

3．做一做时，可渗透sinA=cos（90o-A），但不要随意拔高要求；

4．引导学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲；

5．引导学生形成合作交流的意识以及独立思考的习惯；

（三）教学素材

1．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=，AC与BD

相交于O，则等于多少？

第二节 30°、45°、60°角的三角函数值

（一）教学核心

1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义；

2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；

3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小；

4．经历探索的过程，发展学生观察、分析、发现的能力；

5．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力；

（二）课时安排

1课时

（三）教学内容

课本由常用的、学生熟悉的三角板引入30°、45°、60°角的三角函数值的问题，首先讨论30°角的三角函数值；然后通过做一做继续讨论45°、60°角的三角函数值。

随后的例1，旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值；例2是将数学知识回到现实中去，应用数学知识解决实际问题。

（四）教材分析

本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算。

（五）教学建议

1．对于30°、45°、60°的三角函数值，引导学生在理解的基础上进行记忆；

2．例2可以引导学生自己画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力；

3．教学时应大胆地鼓励学生用所学的知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力；

（六）教学素材

1．直角三角形的两条直角边之和为6，面积为4，求这个三角形较短边所对的角的余弦值？

第三节 三角函数的有关计算

（一）教学核心

1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程及由三角函数求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义；

2．能够用计算器进行有关三角函数值的计算；

3．能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力；

（二）课时安排

2课时

（三）教材分析

上节课我们探索了特殊角（30°、45°、60°角）的三角函数值，但在实际应用中一般锐角三角函数的计算问题较为广泛，所以，本节课是将特殊的三角函数值一般化的过程，而计算一般锐角三角函数，那就需要用计算器来解决，本节课较详细地介绍了如何用计算器求锐角三角函数值及由三角函数求相应锐角的过程，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。

◆第一课时

（一）教学内容

课本由需要计算缆车上升高度的问题，引出一般锐角的三角函数值的问题，计算一般锐角的三角函数值需要计算器的帮助，所以接下来，课本详细地介绍了如何用计算器求三角函数值的方法，最后通过想一想深化所求内容，如上升的高度、水平的距离等。

（二）教学建议

1．不同的计算器的按键方式可能不同，教学时可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数的方法。

2．用计算器计算三角函数值时，可以以小组为单位，展开竞赛，看哪一组更快更准确。

（三）教学素材

1．如图，某公园入口处原有三级台阶，台阶的起点为A，每级台阶高为20cm,深为30cm.，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，斜坡的起始点为C，坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度．（精确到1cm）

◆第二课时

（一）教学内容

上节课我们用计算器由已知锐角求出它的三角函数值，本节课首先由天桥所需建的斜道出发，引出直角三角形中已知边长计算角度的问题；根据直角三角形的边求角，也要借助于计算器。所以，接下来就是探索如何使用计算器计算角度的问题；例1（V型槽问题）与例2（放射性治疗问题）这两个实际应用问题，确实需要知道角度，而这一角度又不易测量，所以，通过这两个例题的讲解，进一步体会三角函数的意义，巩固直角三角形如何求角问题。

（二）教学建议

1．教学时仍涉及到计算器问题，可以引导学生根据自己的计算器，探索具体的步骤；

2．可以向同学们提供更多更广泛的实际情境，提高学生的实际计算能力；

（三）教学素材

1．如图：某轮船在海上以20海里/时的速度向正西方向航行，上午8:00在B点测得小岛A在北偏东，船继续向正西方向航行，上午9:00到

达C点，此时测得小岛A在北偏东，如果轮船继续向

西航行并于上午11:00到达D点，则此时小岛A在北偏

东多少度的方向？（精确到度）

第四节 船有触礁的危险吗？

（一）教学核心

1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用；

2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明；

3．在经历弄清实际题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题和克服困难的勇气；

4．选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与教学活动，提高学习数学，学好数学的欲望；

5．发展学生的数学应用意识和解决问题的能力。

（二）课时安排

1课时

（三）教学内容

本节课在前三节的基础上进一步学习用锐角三角函数解决实际问题，经历把实际问题转化成数学问题的过程，提高应用数学知识解决实际问题的能力，因此，本节选取了现实生活中的几个题材：船有触礁的危险吗；小明测塔的高度；改变商场楼梯的安全性能。使学生真正体会到三角函数在解决实际问题中必不可少的重要地位，提高了学生学习数学的兴趣；

（四）教材分析

本节又选取了三个现实生活中的实例：船有触礁的危险吗？你能知道塔的高度吗？改造后的楼梯会加长多少？让学生进一步经历用三角函数解决问题的过程，提高应用所学知识解决问题的能力。

（五）教学建议

1． 这三个都是实际问题，教学时要提供充分的机会让学生进行讨论。

2． 关注学生是否理解问题，如方位角等；

3． 关注学生如何把实际问题转化为数学问题，是否能够画出示意图；

4． 关注学生是否能够选择适当的三角函数使问题得到解决。

（六）教学素材

1． 如图，山脚下有一棵树AB，小明从点B沿山坡向

上走50米到达点D，用高为1.5米的测角仪CD测得

树顶的仰角为，已知，山坡的坡角为，求树

AB的高（精确到0.1米）

第五节 测量物体的高度

（一）教学核心

1．经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量及撰写活动报告的过程；

2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果；

3．能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题；

4．培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神

（二）课时安排

1课时或2课时

（三）教学内容

这是本章的最后一课，课本安排了一节活动课，从课本的练习制作简易测倾器开始，然后利用测倾器测量倾斜角，作为小组活动的第一个活动；第二个活动是测量底部可以到达的物体的高度；第三个活动是测量底部不可以到达的物体的高度；三个活动逐步递进，最后通过议一议，归纳总结测量物体高度的方法。

（四）教材分析

本节课为活动课，活动的内容有三个，活动一：测量倾斜角；活动二：测量底部可以到达的物体的高度；活动三：测量底部不可以到达的物体的高度。因此本节课采用活动的形式，可以先在课堂上讨论、设计方案，然后进行室外的实际测量，活动结束时，应要求学生写出活动报告。重点是让学生经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程。能够对所得的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果。

（五）教学建议

1．将学生分组，各组分头准备测量所需的仪器；

2．先由学生自主设计活动方案，教师再给予必要的指导；

3．活动内容尽量安排那些学生比较熟悉、且易于开展小组活动，并能保证完成测量活动任务的问题；

4．在活动课期间，教师应明确提出安全纪律方面的要求，并在现场观察、指导各组的活动，同时教师应作必要的记录。

5．关注学生是否积极地投入到活动中去，如准备测量仪器、设计活动方案等，并能够在活动中积极想办法、克服困难、有合作精神等；

6．关注学生是否能够对所得到的数据进行分析、修改，最终得到比较符合实际的结果；

7．关注学生是否能够综合运用包括直角三角形边角关系的知识解决实际问题；

8．关注学生的活动报告是否能够真实地反映学生的活动过程，并且能够提出有价值的问题。

9．根据学生和学校实际，本节课可安排2课时或3课时或安排数学兴趣小组活动的内容。

（六）教学素材

1．请你与你的数学学习小组一起测量所在学校最高的物体（如：旗杆，建筑物等）并填写下面的活动报告单.

回顾与思考

（一）教学核心

1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图；

2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系；

3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用；

4．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题；

（二）课时安排

1课时

（三）教学内容

回顾与思考中共设计有四个问题，帮助大家回顾、思考直角三角形中反映边角关系的三角函数的概念，直角三角形中边角关系在现实生活中的广泛应用，体现数形之间的联系。以及把实际问题数学化的过程，更进一步了解知识间的联系和综合应用。使三角函数的意义从现实生活中来，而又服务于现实生活中，从现实生活中抽象出数学问题，然后数形结合，用三角函数解决问题。

（四）教学建议

1． 教师可以通过一系列的练习题的解答，逐步呈现本章知识点，然后要求学生自己对本章的内容进行小结，随后进行交流，形成知识框架图。

2．可以让学生说一说他们利用三角函数的知识解决了什么实际问题，或利用三角函数解决问题的体会。

3．可以让学生说一说他们在使用计算器解决问题的过程中有什么发现等。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/71be78a7a4e9856a561252d380eb6294dc882250.html