吉林省松原市2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析

吉林省松原市2021届新高考数学教学质量调研试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线b406571b7334cfe40767dc13498c1896.png时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线65b021e3dfad24c7e78990546eaa1f6a.png时，表示收入完全不平等.记区域7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为不平等区域，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png表示其面积，5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png为5a5c6641ef27c6d784a302ad66a207b3.png的面积，将c6cd56bdb6cedaeeefee9c6d01ccfe18.png称为基尼系数.

对于下列说法：

①4e3b52878a4e84058d0bc4c70c235aa2.png越小，则国民分配越公平；

②设劳伦茨曲线对应的函数为7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png，则对68c8539dc985ce9c9da118eac26faceb.png，均有35d2f03fc95215f7bed9fa5e748738d0.png；

③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为54ed5fb1c8aaffee84f44e11834ba8cc.png，则40df2e32275606882b97c3e7e921cc39.png；

④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为6dc4498c340b9a6bd1e0b5f868a84cf5.png，则7ca461d880a7f09190ab729b1f7e8ab7.png.

其中正确的是：

A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

对于①，根据基尼系数公式c6cd56bdb6cedaeeefee9c6d01ccfe18.png，可得基尼系数越小，不平等区域的面积0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得68c8539dc985ce9c9da118eac26faceb.png，均有0fc3e4836e5bd2769f082a0f3669cad6.png，可得407395327bf2cb11ae20df83327430d4.png，所以②错误.对于③，因为366e2975f5e6ecb04b98c19faa4e40d7.png，所以1b37a41f5325837afeb5bfc1d18f66b9.png，所以③错误.对于④，因为579474b06d3508d536921787e129f59a.png，所以32643ff46df7280e424771edba52c0cc.png，所以④正确.故选A．

2．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为

A．22417f146ced89939510e270d4201b28.png B．7ed4c23d5eb9f2371a8e2a7b3d0d4a2b.png C．131b2ae7c5e3ea82c6891162f9e8da84.png D．add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png

【答案】A

【解析】

【分析】

阳数：7b06547be6ae56f24726a2adeee73412.png，阴数：9eb50ee49c4c09004e301b4a92648f71.png，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.

【详解】

因为阳数：7b06547be6ae56f24726a2adeee73412.png，阴数：9eb50ee49c4c09004e301b4a92648f71.png，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：3b8c2164cb8195e45348cf71a8df774e.png个，满足差的绝对值为5的有：a9d7d013817c90fb9725ec09c1e7bef0.png共e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png个，则5b731d1e70831f9623df7fa19e9165f9.png.

故选：A.

【点睛】

本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：0455ae45d6bdab0c805d40c585c248b3.png.

3．已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，且c46c47b21ff40afdd9060c48f57880eb.png，ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png，则02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式6b264e52453f89797441f58c9a874006.png（ ）

A．7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png B．40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.png C．3be4363fb94899785bc04830ac894a67.png D．d2b2d9fec288403faf6e85ebf2c58972.png

【答案】C

【解析】

【分析】

利用20eca54318524788536c7beafa74c4d3.png证得数列0f855f80308b48f4de1cf1a9232fb540.png为常数列，并由此求得02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式.

【详解】

由c46c47b21ff40afdd9060c48f57880eb.png，得f5c6fa14f7ebf99548c8a28cb9e57953.png，可得c176933348c6e791e8937f181bfe923a.png（a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png）.

相减得2b5431271db07c3c8b87ccb3c69e1d42.png，则d5dfbf0da6d22ce114fe912fd0382624.png（a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png），又

由c46c47b21ff40afdd9060c48f57880eb.png，ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，得175d684989d24d80b7f2e1d9651e21bb.png，所以cbdbd4b5d53ba3741706e71020cc2d56.png，所以0f855f80308b48f4de1cf1a9232fb540.png为常

数列，所以9f0544638a5aabcb850bc64ddc018a3b.png，故e5ce37a04469a4adc6a46e83c1e1f388.png.

故选：C

【点睛】

本小题考查数列的通项与前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.

4．设命题44d4ea5c1c570c5af3d0c74fd816e2f7.png函数e6cfde706997416ff0807435bf17e344.png在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上递增，命题b801f2e17ebc68e4b1a296fcaaa6f2e2.png在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，fdd2786eed30f561ac6c68e00f3b54d4.png，下列为真命题的是（ ）

A．0b37149392752d0d134c9a14766dfff4.png B．eface7c55e7f7a37499384a9dacc685a.png C．1d78b6a77e62d8ac4ea2b3a2d93551ce.png D．cda309481635fd4f557d038ceb460ce8.png

【答案】C

【解析】

【分析】

命题83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png：函数e6cfde706997416ff0807435bf17e344.png在b6467aa5bacf90f23a6abd3cbb9905a3.png上单调递减，即可判断出真假．命题7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png：在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，利用余弦函数单调性判断出真假．

【详解】

解：命题83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png：函数e6cfde706997416ff0807435bf17e344.png，所以4ab887320d2b375840a96f78d351f09c.png，当97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png时，99300cb144197ff8dc44e17568431c8f.png，即函数在b6467aa5bacf90f23a6abd3cbb9905a3.png上单调递减，因此是假命题．

命题7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png：在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，eb567a84247860ecf625e96ce65715bb.png在2b4f3d829d99d7684a00614cff2bb247.png上单调递减，所以fdd2786eed30f561ac6c68e00f3b54d4.png，是真命题．

则下列命题为真命题的是36d26a50529ee4c640dd4ecb47d46bc7.png．

故选：C．

【点睛】

本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5．已知m，n是两条不同的直线，ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png是两个不同的平面，给出四个命题：

①若7aa5d0c49bb12c222e49f5fd241dff67.png，7b9f892da6be7faa7a00744a671e9b21.png，4fdb26078ed4e089581eacf5dfc1e387.png，则31d9b614d5dd01d906e153e85b0df940.png；②若18ebc240107340a1d403c6f90f1c2d10.png，ab5c01ea654ef241f8af0eaa14501884.png，则ab0432947c88031e4f9c0fc3bb615f4f.png；

③若0ecc8192d6ba9db01ba94d94463ebaca.png，7995b2ffd0ab3dee415bb14cccc69faa.png，ab0432947c88031e4f9c0fc3bb615f4f.png，则552e6dd66a9f5235ca660a154ca6775f.png；④若18ebc240107340a1d403c6f90f1c2d10.png，e2716be560393462719b2fd9a263309b.png，a5ad4b9bef32d6a667e2003f6a2ca3bd.png，则31d9b614d5dd01d906e153e85b0df940.png

其中正确的是（ ）

A．①② B．③④ C．①④ D．②④

【答案】D

【解析】

【分析】

根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④.

【详解】

对于①，若7aa5d0c49bb12c222e49f5fd241dff67.png，7b9f892da6be7faa7a00744a671e9b21.png，4fdb26078ed4e089581eacf5dfc1e387.png，ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png两平面相交，但不一定垂直，故①错误；

对于②，若18ebc240107340a1d403c6f90f1c2d10.png，ab5c01ea654ef241f8af0eaa14501884.png，则ab0432947c88031e4f9c0fc3bb615f4f.png，故②正确；

对于③，若0ecc8192d6ba9db01ba94d94463ebaca.png，7995b2ffd0ab3dee415bb14cccc69faa.png，ab0432947c88031e4f9c0fc3bb615f4f.png，当de865058b73ae80b507f731a539483de.png，则7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png与dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png不平行，故③错误；

对于④，若18ebc240107340a1d403c6f90f1c2d10.png，e2716be560393462719b2fd9a263309b.png，a5ad4b9bef32d6a667e2003f6a2ca3bd.png，则31d9b614d5dd01d906e153e85b0df940.png，故④正确；

故选：D

【点睛】

本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.

6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A．7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png B．4

C．920733def44fac52fef9c040b41856ba.png D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

还原几何体的直观图，可将此三棱锥c0ce0e1218717502ede7f44e6fd96d46.png放入长方体中, 利用体积分割求解即可.

【详解】

如图，三棱锥的直观图为c0ce0e1218717502ede7f44e6fd96d46.png，体积

aa0fa62d1b98ed613cdf1b8766192066.png

8f6732638add4508cc7fb8e5939a4c1e.png.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.

7．已知函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的偶函数，且当b065c246672c30c6090519247cc14e84.png时，函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是单调递减函数，则e2c1ab2beb396d6f2aace7a19a7046d9.png，b09b045b126dd05ff1888e0f68ba1e59.png，2173e0d2c08006d61578238c0a5ef9fd.png的大小关系是（ ）

A．61fc3a3e1c4394b3332cbd26b81a9112.png B．1914663ab4721d361cc5a01720d42729.png

C．686c7292e522b40a2a81c4a89b09f7f2.png D．603c3f369bff65e76518c98df99d6469.png

【答案】D

【解析】

【分析】

利用对数函数的单调性可得ab30110f60e80023e084ccacecf47941.png，再根据ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的单调性和奇偶性可得正确的选项.

【详解】

因为247d24760668301901dda8e4048db740.png，1a27d1fcedbbbc74fd2fa65aa9086243.png，

故798cefb0183fe9a40caaa94f9e51905b.png.

又47e0c6bf3c67c720ea878ecfbc2abbae.png，故ab30110f60e80023e084ccacecf47941.png.

因为当b065c246672c30c6090519247cc14e84.png时，函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是单调递减函数，

所以d862551fc9c1f37bad4bd3fc4adc6eb4.png.

因为ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png为偶函数，故00e4e44b5a21304b202fd8fe5a386991.png，

所以603c3f369bff65e76518c98df99d6469.png.

故选：D.

【点睛】

本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.

8．已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（）

A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i

【答案】D

【解析】

【分析】

两边同乘-i，化简即可得出答案．

【详解】

i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.

【点睛】

33c78ac8c369a076f3507ecc368ac2de.png的共轭复数为8d6ed572fd765ea64bf0a865d6acc04f.png

9．函数99e0ee07ced239bc423a4ebacce1365e.png在e0c2307adb002456d661d6a9dbeb2d7d.png上的图象大致为( )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；

【详解】

解：依题意，aa06affb9c2f7872ab9b30f9df1d0976.png，故函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png为偶函数，图象关于415290769594460e2e485922904f345d.png轴对称，排除C；

而c15b1708524479169acb342f73e983af.png，排除B；82d2c1e53cafe73fde2b05177a777b8e.png，排除D.

故选：7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.

10．设不等式组a3523f5ec5bc92f28406344057cd5de3.png表示的平面区域为66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png，若从圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png：0f8f39a23aa423a547f6432184b50b08.png的内部随机选取一点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，则44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png取自66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png的概率为（ ）

A．0e60144852ba0190a0f34e1137c2ecf0.png B．74be9009964746fd6030af234932cd9d.png C．0c18a3569386775b6c85d04e88bc47e7.png D．fa131886e7d78dd614461de50e8040d6.png

【答案】B

【解析】

【分析】

画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】

作出66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png中在圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png内部的区域，如图所示，

因为直线d3ad0f38ff1e7d2813ec2704e409640a.png，a097215571473bba1f13895c8a7a077c.png的倾斜角分别为7153b98388afacd1997b7ce07d65cdaa.png，81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png，

所以由图可得44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png取自66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png的概率为fd42066ab29e1f174674c1155da38f68.png.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.

11．设集合febd9e82cb50c9fbd6377c99b27dd473.png，bebe3f2a535fb7341e0f2c3445498c60.png，则1e49ca292213f572d50c447279071024.png（ ）

A．49edc7166ee4402e9ac92f84ac5d54c5.png B．2f22877729561346fb3f82681f530340.png

C．43492c9a6aa1a22160f4b9f5419f42c9.png D．a0c1248d6bdaa9bacf00ab991f2551c7.png

【答案】A

【解析】

【分析】

解出集合9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，利用交集的定义可求得集合08d9c3e284852dcd7b3af129ffd73578.png.

【详解】

因为db46cbe94bd1d02ce3409f5d30186ebc.png，又febd9e82cb50c9fbd6377c99b27dd473.png，所以60f98dc3c217f482a465144c648b1f52.png.

故选：A.

【点睛】

本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.

12．要得到函数aa4af9c6b55b4b35c0eca83e7add6d5f.png的图像，只需把函数be54c0996e9b42e0ed951bd736f44478.png的图像（ ）

A．向左平移6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png个单位 B．向左平移4aec10557b2285f585c704ef8cfb8848.png个单位

C．向右平移fd2182b876efceaa7332588de22f653f.png个单位 D．向右平移c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png个单位

【答案】A

【解析】

【分析】

运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得332b594d78b561cd65951beebee01d95.png以及6140a14bbf2752a62b93fe8d3103c722.png,按四个选项分别对6140a14bbf2752a62b93fe8d3103c722.png变形，整理后与332b594d78b561cd65951beebee01d95.png对比，从而可选出正确答案.

【详解】

解：

0874f9804c4fd33ce98575ec2dc112ca.png

683076792f2b4376e08f8060e67d1a9d.png.

对于A：可得1809bd296489cb186ae32fd8a0865edc.png.

故选:A.

【点睛】

本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知6c4cc1bed1f7e25df3c1415c5ab833db.png，则满足c2c9a4bf87ff7d4320ada54e80947517.png的082ef7430c87f0f688e0f7d48857803e.png的取值范围为_______．

【答案】f762c00f6a2252d8fbe82854b53ea07b.png

【解析】

【分析】

将f（x）写成分段函数形式，分析得f（x）为奇函数且在R上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.

【详解】

根据题意，f（x）＝x|x|＝82b04bdbbc5e21abf3a131d3a9b3ba8c.png，

则f（x）为奇函数且在R上为增函数，

则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，

解可得x≥f07805f65cc21471e25be2f00774641b.png，即x的取值范围为[6fe565df78678e8a6c48a4029e5e6e94.png，+∞）；

故答案为：[5c3ca1247509bc4b295b9a26ba18782c.png，+∞）．

【点睛】

本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析f（x）的奇偶性与单调性．

14．将函数335c2b8edc9f3f1368c622252d97eb2c.png的图象向右平移0740b80169cda0b85818711f2a77ff32.png个单位长度后得到8e01a317b2b17f028be6d0157d6a0f1e.png函数的图象，则函数260bc43c0dbaa1d1fe5ebd1c7fc001b4.png的最大值为______.

【答案】756a6628773cdcef8f79a855b0e560bc.png

【解析】

【分析】

由三角函数图象相位变换后表达4d4b4d8017596016653c2e28eb5c0867.png函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的表达式，进而由三角函数值域求得最大值.

【详解】

将函数260bc43c0dbaa1d1fe5ebd1c7fc001b4.png的图象向右平移cdf729c03df18f46e35e8fb096a71c43.png个单位长度后得到41068658d53301f069f1828b9cf811f8.png函数的图象，

则4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png

dc1d93a447a9bcf4e5a66498286f303b.png

所以，当7d3325354de47b73d58a6099ab948996.png函数最大，最大值为02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png

故答案为：4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png

【点睛】

本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题.

15．已知△902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的三个内角为7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png，且c2c9a4bf87ff7d4320ada54e80947517.png，082ef7430c87f0f688e0f7d48857803e.png，f762c00f6a2252d8fbe82854b53ea07b.png成等差数列， 则9fb295964fabfea6f7f3ae9bb927a9f2.png的最小值为__________，最大值为___________.

【答案】df8437232cec23122f71e5c711ba83c6.png a0e950dc4545cad1f4989d54a1e697b2.png

【解析】

【分析】

根据正弦定理可得0cd1badb83cb3e9a82b05869573182f7.png，利用余弦定理83ebaff7adebfde5ad0addbcecc646c9.png以及均值不等式，可得角9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的范围，然后构造函数6c4cc1bed1f7e25df3c1415c5ab833db.png，利用导数，研究函数性质，可得结果.

【详解】

由c2c9a4bf87ff7d4320ada54e80947517.png，082ef7430c87f0f688e0f7d48857803e.png，f762c00f6a2252d8fbe82854b53ea07b.png成等差数列

所以82b04bdbbc5e21abf3a131d3a9b3ba8c.png

所以f07805f65cc21471e25be2f00774641b.png

又6fe565df78678e8a6c48a4029e5e6e94.png

化简可得5c3ca1247509bc4b295b9a26ba18782c.png

当且仅当3a4b324ac68dd0bf2802abe457653208.png时，取等号

又eeae221270ba4227a5ce979d2a49d329.png，所以8b2ccea8dd0494f89f191e46b65ee58e.png

令6c4cc1bed1f7e25df3c1415c5ab833db.png，8b2ccea8dd0494f89f191e46b65ee58e.png

则639e59409a05eab992773f6667a9237d.png

a63555b07f40e08d7e1885d57a66e615.png

当2def27b5929b3209d76ca7adbf2dfce4.png，即8f240636dd537cc065f6ad0c861cc676.png时，3405682f6ed8cd516780398a035a290c.png

当da924ed23f06799a6c10eb3e342de6e5.png，即0bb572fa7720394efd6ef772196e8775.png时，3416459254f78aabd0cf887954f12c8f.png

则6c4cc1bed1f7e25df3c1415c5ab833db.png在db66359b3666275941de8799deb5beaf.png递增，在0b0ac4835b2fe12a304796db70bfb50d.png递减

所以058e041760f5ff3fefad160bfef362c1.png

由ba8a4dfb907b8bb088b092a839bd1d8b.png，

e2a953a409602832aa62ae067a343af4.png

所以7a81caefdae81a83c9ac3e9a923bdc6b.png

所以9fb295964fabfea6f7f3ae9bb927a9f2.png的最小值为df8437232cec23122f71e5c711ba83c6.png

最大值为a0e950dc4545cad1f4989d54a1e697b2.png

故答案为：df8437232cec23122f71e5c711ba83c6.png，a0e950dc4545cad1f4989d54a1e697b2.png

【点睛】

本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求出8b2ccea8dd0494f89f191e46b65ee58e.png，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.

16．在矩形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png中，276f640111ac8aaaec6f8809f19d0efc.png，69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png为f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的中点，将fb06dc86c6532e9dab3ccbcf40092fb3.png和43b195cf2f89ff9ad9cd5d2a8cc4ab50.png分别沿25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4.png，2ecda7a0252b442ac6ecf47462119f51.png翻折，使点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png与92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png重合于点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png.若054b2ef4c7c35b0aa176c7d59c02cab3.png，则三棱锥31a6fd0d3256d2b2f1ce0f29b2065e85.png的外接球的表面积为_____.

【答案】9de7981cb50220803d2a2ab9fa240d23.png.

【解析】

【分析】

计算67c551df2c3f53f4c73d70ffd2ec619a.png外接圆的半径4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png，并假设外接球的半径为R，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据3d6d80bc6c587ac89e64f27cd5b1ff0f.png面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png，a4af4e229d6b221f1bc8dae5ce44e54d.png即可得解.

【详解】

由题意可知，5e2b4d4613a02d9907378ca7efe840cb.png，

所以可得3d6d80bc6c587ac89e64f27cd5b1ff0f.png面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png，

设67c551df2c3f53f4c73d70ffd2ec619a.png外接圆的半径为4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png，

由正弦定理可得ab22805926290f32546a8b234fbba745.png，即1c6931152b49099cc67dc8e73f440549.png，2b1ddd1a641cec0301fd8f3ecece88b3.png，

设三棱锥31a6fd0d3256d2b2f1ce0f29b2065e85.png外接球的半径e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png，

因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，

则472918a9318719dc98e9af1163d2277d.png，

所以外接球的表面积为af6252777c7bc1ece81d7b5c3d4d3594.png.

故答案为：9de7981cb50220803d2a2ab9fa240d23.png.

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数0a9cfaf373191aa637f43c8f0c92481b.png是减函数.

（1）试确定a的值；

（2）已知数列9713f7072489151e50ec1a2d7493d87f.png，求证：d83e4ab494c9fd612adc87ebf5a03b95.png.

【答案】（Ⅰ）83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png（Ⅱ）见证明

【解析】

【分析】

（Ⅰ）求导得10a70783384822983c60ce32cb7adb94.png，由ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是减函数得，对任意的dd1405320843dfe69e83e313e06f4337.png，都有5274f7440b175dee75f33b9245351a16.png恒成立，构造函数410d4b5575e613399687ecf20737f049.png，通过求导判断它的单调性，令其最大值小于等于0，即可求出0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png；

（Ⅱ）由ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是减函数，且61dece1bc677fdfaf33798cddb92b520.png可得，当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，61d7aa7aa6815b85fc49950fb346453f.png，则2da4c0b7ce82e7e95029841f7357855e.png，即48be28f14ca5c9f3afdc35715cb60769.png，两边同除以537d6dc29f2a659c2db0b1e255ed4689.png得，6fc952b8e940bfbad9971ae32784267f.png，即7cbd196ee0fda943e125ecb06a703739.png，从而09da3001f62dd65485f32588e3ac2124.png 2c50b897b894e61ea5257ac74c49f7da.png，两边取对数843093a1981d0ca255f838b31b962024.png 83967254e9bfb0c379e2602fd6df3b94.png，然后再证明bc14cac695d39cc28bda88d682a12c71.png恒成立即可，构造函数ca9bc41cd949397df1c7595407369a61.png，b1a240f257cf4fbe395f28b56a6d3d49.png，通过求导证明3f35db436caf1398dc2cf232908e9297.png即可．

【详解】

解：（Ⅰ）ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的定义域为652e9b72ee713f6dbc5790e9624b0362.png，10a70783384822983c60ce32cb7adb94.png.

由ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是减函数得，对任意的dd1405320843dfe69e83e313e06f4337.png，都有5274f7440b175dee75f33b9245351a16.png恒成立.

设410d4b5575e613399687ecf20737f049.png.

∵b65c0f592e25422f13832018087dfe61.png，由323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png知2db75f69d7a2ccdd14bbb56344323af2.png，

∴当ffa9ca0beafdb864f1fc4ed7724ba94e.png时，151a4cd5d42a0041a19486349cb47506.png；当b856ab98eb35179511c21bb038f9a967.png时，d498b9fc8f8312c78ad0a0e0c0a6a956.png，

∴5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png在6f46133260a744e202c67c5738d8e017.png上单调递增，在4d8087420e87a14266de86b9ec25c1fc.png上单调递减，

∴5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png在5d7137f6d1e9b814b39fda39a0e495f9.png时取得最大值.

又∵1042ba56fd47f2ce61dd1027bb75b360.png，∴对任意的dd1405320843dfe69e83e313e06f4337.png，2ed6e7b7fc5c666cfe2b03e1838a793d.png恒成立，即5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png的最大值为c7bf87ada37f3ada268100c9273f8b7e.png.

∴76b415d0503617f6b655b158f7893ce9.png，解得83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png.

（Ⅱ）由ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是减函数，且61dece1bc677fdfaf33798cddb92b520.png可得，当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，61d7aa7aa6815b85fc49950fb346453f.png，

∴2da4c0b7ce82e7e95029841f7357855e.png，即48be28f14ca5c9f3afdc35715cb60769.png.

两边同除以537d6dc29f2a659c2db0b1e255ed4689.png得，6fc952b8e940bfbad9971ae32784267f.png，即7cbd196ee0fda943e125ecb06a703739.png.

从而09da3001f62dd65485f32588e3ac2124.png 2c50b897b894e61ea5257ac74c49f7da.png，

所以843093a1981d0ca255f838b31b962024.png 83967254e9bfb0c379e2602fd6df3b94.png①.

下面证bc14cac695d39cc28bda88d682a12c71.png；

记ca9bc41cd949397df1c7595407369a61.png，b1a240f257cf4fbe395f28b56a6d3d49.png.

∴7f536c69fb8d64c7faff5070b5661729.png d17cf8642aea5a1ff788464282b9e42c.png，

∵f3b94a955a857c3b2dd698137d7b98e8.png在5aa8caf5c8c4a17cacf73353e1a916ca.png上单调递增，

∴1a44ed1e0282e6bdd9daf11735cd7a62.png在5aa8caf5c8c4a17cacf73353e1a916ca.png上单调递减，

而d1d3185e909020def31187d922ebc5c3.png，

∴当6adfd02fb37adc677438384f8941ffed.png时，e3a496b644312ea4439798aaa511cd0f.png恒成立，

∴bf3cc25c2d752823ab942d0912424f81.png在5aa8caf5c8c4a17cacf73353e1a916ca.png上单调递减，

即81a76cc5dcec10bda7298f04289fb2c7.png时，cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，

∴当a36b86f3b1291d3f264cb63383df4e7c.png时，78da0e5c9c790b34aef618cb5ced2122.png.

∵62998849b60e107f9c015888d7338525.png，

∴当b1a250b937781b77c2a8b39a9cd12041.png时，adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.png，即800618943025315f869e4e1f09471012.png②.

综上①②可得，0e76582fa8e7505fbc298ab6f32523c2.png.

【点睛】

本题考查了导数与函数的单调性的关系，考查了函数的最值，考查了构造函数的能力，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题．，

18．已知函数33390cd7e7c19a6be5c414600d761138.png，da774bdd89c97050de5c594faa9803da.png.

（1）当ba77036f543f07a168320c280152a8ad.png时，

①求函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在点6691d77825ee83ae699ae1dd46de98c9.png处的切线方程；

②比较668f270975371dc9e3395cfb18fbdec9.png与5eecdc67035b7e71c15a42934170f965.png的大小;

（2）当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，若对1a9f4497be4d367e83acb3f334ddd73e.png时，9850edabc9bd6a725d13168fd3cf4de8.png，且e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png有唯一零点，证明：b80f40b22fd1fc776c9781da78ed8eb5.png．

【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）①把ba77036f543f07a168320c280152a8ad.png代入函数解析式，求出函数的导函数得到66c01c635bcdd4f65c230b949e519230.png，再求出4a0e7b349387895c8efa1d8b0bc3dff5.png，利用直线方程的点斜式求函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png处的切线方程；

②令3da952feed2e2ebbf96d932adc8eed30.png，利用导数研究函数的单调性，可得当8e49ab29dc8566ba65ad8bf271cae8c9.png时，6470c056300d496983c1a62a1d7eb35d.png；当40aa2227f8ab9f9737e2ce467090bb9c.png时，15c32df2f99fbb84837c7b1d5b94ebba.png；当9cf6dacb4ffa5908ac1862fc296cb176.png时，b5fabee0049429dfed932da1dbf9d90b.png．

（2）由题意，ad29f5568df798dee67bcad1cdd80c5d.png，bcd8c4d269905428367c084a3c5a4353.png在a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png上有唯一零点19b1c6aceb40d286e69bc35ac6648f0c.png．利用导数可得当be2e4ba084d7ed67ce46013ea0027c04.png时，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在857404a754b575082b264b2a74d7cce7.png上单调递减，当01903fad521f34152a6b629612140771.png，649859cdc79c210726a61f7eab9d17d2.png时，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在59000c5fc6622b432c742f60f94813d7.png，649859cdc79c210726a61f7eab9d17d2.png上单调递增，得到406bc9893219c660fa3789049fdc8a4d.png．由9850edabc9bd6a725d13168fd3cf4de8.png在a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png恒成立，且c36a0c4a611d3144a5e9078a3aa481ac.png有唯一解，可得5060732662fb64c92f26288056674d4d.png，得a1d16dd4ee01b9cb4172c3b6d82094ee.png，即a937d572996af295d42d548e32a0695c.png．令3d536e68a249ffe6b59fbbb4a7aabecc.png，则941f84bd1cdb5a8be3f29ebfb1a05196.png，再由f0f59c6de978f228c15996ac442375f3.png在a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png上恒成立，得d4b2f40350e5d57b79b898cb45f82ad4.png在a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png上单调递减，进一步得到d6ddab59df44ab4b6b5dcf34fcdab886.png在369a154d5347e70114104fec91cf72fe.png上单调递增，由此可得b80f40b22fd1fc776c9781da78ed8eb5.png．

【详解】

解：（1）①当ba77036f543f07a168320c280152a8ad.png时，e62fe9e88323ca6e5c60a7e064d60775.png，a2ce2574689eeffcb9b63c2e1a8a377d.png，3394cb347e2a01101784436c3bd10bc1.png，

又64cbc4a6527170daf63e5b00ea8e1819.png，95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png切线方程为9f9fcbd6c9f98742877636d804eacb7d.png，即90ebfea29ad7344b4ceadefe7b7daf15.png；

②令3da952feed2e2ebbf96d932adc8eed30.png，

则ef33551f0bf49853886eedb87bfdf86a.png，

3a104a90ea57db6a6e3a909e1c1e109e.png在b921db311612fd3665c51872c7a83455.png上单调递减．

又2be58e42d287325b730e549b2dc92a85.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png当8e49ab29dc8566ba65ad8bf271cae8c9.png时，68b4cc27a91d8c122ff4f1c3ffafa908.png，即6470c056300d496983c1a62a1d7eb35d.png；

当40aa2227f8ab9f9737e2ce467090bb9c.png时，9d02590e4968f31a9421b5cebac6a7fe.png，即15c32df2f99fbb84837c7b1d5b94ebba.png；

当9cf6dacb4ffa5908ac1862fc296cb176.png时，f28455c45d3ac3f2a180241e7fda18a3.png，即b5fabee0049429dfed932da1dbf9d90b.png．

证明：（2）由题意，ad29f5568df798dee67bcad1cdd80c5d.png，

而7631f98f85e52adaa1e5aa5168a3175c.png，

令cfe132b822f5bb4f4a516512a8b80e67.png，解得0a6e0946d905759be9c4328ff36327b1.png．

a38572b95964e9a2f986750ea5a28a27.png，95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png1c1968fc3a93537b4228c42a037dc3f1.png，

d097175d2239a23949e50c117647455a.png在a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png上有唯一零点19b1c6aceb40d286e69bc35ac6648f0c.png．

当be2e4ba084d7ed67ce46013ea0027c04.png时，9d07f154bad375a2fae61e251644da9f.png，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在857404a754b575082b264b2a74d7cce7.png上单调递减，

当01903fad521f34152a6b629612140771.png，649859cdc79c210726a61f7eab9d17d2.png时，649e7d62c3c5c6cf00079dc4924a9a53.png，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在59000c5fc6622b432c742f60f94813d7.png，649859cdc79c210726a61f7eab9d17d2.png上单调递增．

292af6d5e3ae509e451000e7cb5f62ef.png．

e585b12d4358e684dcdb3641b2f514ac.png在a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png恒成立，且c36a0c4a611d3144a5e9078a3aa481ac.png有唯一解，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png5060732662fb64c92f26288056674d4d.png，即4ac4f6a9390cf0478100cc1e793f73b1.png，

消去0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，得a1d16dd4ee01b9cb4172c3b6d82094ee.png，

即a937d572996af295d42d548e32a0695c.png．

令3d536e68a249ffe6b59fbbb4a7aabecc.png，则941f84bd1cdb5a8be3f29ebfb1a05196.png，

89553358c438207c1e9a653c07681871.png在a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png上恒成立，

0847eed61671a9c0dfbd58a391ec775b.png在a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png上单调递减，

又ca6d8d701db6d2a396a00bf0fc708f8a.png， 2e9acdb92046203cb1b42f3fdd0f15a6.png，

70b98cf7fffc83d588c0a6928802561b.png．

d3a5ee3b1af128711a15160e8b03c24d.png在369a154d5347e70114104fec91cf72fe.png上单调递增，

36b2efe4a4b5e76c497b25eb4d3a2a50.png．

【点睛】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．

19．等差数列0265982594f0c49ce8703cdbf2912647.png中，8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，0f768ac5d5dea8d93716a27da05871de.png，a7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.

（1）请选择一个可能的010405e1db24cefb8b7ee1faf119f1e3.png组合，并求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式；

（2）记（1）中您选择的02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，判断是否存在正整数8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png，使得8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，335c2b8edc9f3f1368c622252d97eb2c.png，0740b80169cda0b85818711f2a77ff32.png成等比数列，若有，请求出8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的值；若没有，请说明理由.

【答案】（1）见解析，41068658d53301f069f1828b9cf811f8.png或9087857e7f19f29d4614931ea339ac72.png；（2）存在，265fba61d902b641fecfebb2fc79dc5f.png.

【解析】

【分析】

（1）满足题意有两种组合：①260bc43c0dbaa1d1fe5ebd1c7fc001b4.png，756a6628773cdcef8f79a855b0e560bc.png，4d4b4d8017596016653c2e28eb5c0867.png，②4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，dc1d93a447a9bcf4e5a66498286f303b.png，7d3325354de47b73d58a6099ab948996.png，分别计算即可；

（2）由（1）分别讨论两种情况，假设存在正整数8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png，使得8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，335c2b8edc9f3f1368c622252d97eb2c.png，0740b80169cda0b85818711f2a77ff32.png成等比数列，即8e01a317b2b17f028be6d0157d6a0f1e.png，解方程是否存在正整数解即可.

【详解】

（1）由题意可知：有两种组合满足条件：

①260bc43c0dbaa1d1fe5ebd1c7fc001b4.png，756a6628773cdcef8f79a855b0e560bc.png，4d4b4d8017596016653c2e28eb5c0867.png，此时等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，260bc43c0dbaa1d1fe5ebd1c7fc001b4.png，cdf729c03df18f46e35e8fb096a71c43.png，

所以其通项公式为41068658d53301f069f1828b9cf811f8.png.

②4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，dc1d93a447a9bcf4e5a66498286f303b.png，7d3325354de47b73d58a6099ab948996.png，此时等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，87dd9e833d58394690e907aed4c2e01c.png，

所以其通项公式为9087857e7f19f29d4614931ea339ac72.png.

（2）若选择①，2a10d160e2465be7b0abfad995a07f16.png.

则6593d1288012db2fe557028cfec6c2c3.png.

若8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，335c2b8edc9f3f1368c622252d97eb2c.png，0740b80169cda0b85818711f2a77ff32.png成等比数列，则8e01a317b2b17f028be6d0157d6a0f1e.png，

即b4bef15f71e200fb412234ff42d7b480.png，整理，得09ed05ff645c51f72f6c883d46f2e7b8.png，即9bcecfce6fbc55793637738670145ef2.png，

此方程无正整数解，故不存在正整数8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png，使8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，335c2b8edc9f3f1368c622252d97eb2c.png，0740b80169cda0b85818711f2a77ff32.png成等比数列.

若选则②，f7ee9d8eecd5a251610a32977e1a7bbe.png，

则3ad4704957373a61098c07f29a4a72e4.png，

若8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，335c2b8edc9f3f1368c622252d97eb2c.png，0740b80169cda0b85818711f2a77ff32.png成等比数列，则8e01a317b2b17f028be6d0157d6a0f1e.png，

即76b35be0f562d85175b69710131b471f.png，整理得9992970b50064456315de4774acf6d24.png，因为8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为正整数，所以265fba61d902b641fecfebb2fc79dc5f.png.

故存在正整数265fba61d902b641fecfebb2fc79dc5f.png，使8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，335c2b8edc9f3f1368c622252d97eb2c.png，0740b80169cda0b85818711f2a77ff32.png成等比数列.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式及前n项和，涉及到等比数列的性质，是一道中档题.

20．在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，已知椭圆d642d4b56a0e894c66ee7f39dfbbe6f9.png的短轴长为c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png，直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与椭圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png相交于6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png两点，线段b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的中点为69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png.当69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png与f186217753c37b9b9f958d906208506e.png连线的斜率为7ddf743a44884d9bbc8c1789b835ac41.png时，直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的倾斜角为cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png

（1）求椭圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的标准方程；

（2）若ea11fe79234cb856e7182dd8856c3e00.png是以b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png为直径的圆上的任意一点，求证：d70bdf05cc7922491d85ce31cbd9329e.png

【答案】（1）6b27131f0c0b2338c0191265e22b7e27.png；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）由短轴长可知3c94d884933477acdc14fc70da4b987a.png，设f99a5e7a20e963b917af6f0a746b0589.png，32a60b125f2f670bebc6a7a1ef8a9f5c.png，由设而不求法作差即可求得42650f6c79507e61462546014b35eaa0.png，将相应值代入即求得6370a79da09c6cb6b86632fd2b21a1e3.png，椭圆方程可求；

（2）考虑特殊位置，即直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴垂直时候，9ca9a7a979cc76c4b6ecf15ff92bd341.png成立，当直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png斜率存在时，设出直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png方程98d791965136612e3991949a79e509a1.png，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png与8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的关系，将08e2a9a7708d0154c257155589e36d4e.png表示出来，结合基本不等式求最值，证明最后的结果

【详解】

解：（1）由已知，得3c94d884933477acdc14fc70da4b987a.png

由f494580c8d3f947ae1cd4285d8f9c9fa.png，两式相减，得

42650f6c79507e61462546014b35eaa0.png

根据已知条件有，

当dfc6c0e97048128c876910dd46b1ba66.png时，54551b17cf850189e146c487b437c10c.png

∴f8c4e086655b4e9a7fc07e4224f97ae0.png，即6370a79da09c6cb6b86632fd2b21a1e3.png

∴椭圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的标准方程为6b27131f0c0b2338c0191265e22b7e27.png

（2）当直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png斜率不存在时，e17a50aa95635f304d029eb2c317b69a.png，不等式成立.

当直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png斜率存在时，设aa4758299e4f13189438429677490f85.png

由1f197bb43865414508a403f5f1b229e5.png得25a9c2673970662c1c5e8f893ce7081a.png

∴0d105dd52d21673519de0711a80b1bae.png，c4d66900a5ff2c49551f7882198b8892.png

∴77467f37affa99c5af1e97be4568ae41.png

由5e533faf82f8de1774f63f9cc906d905.png

化简，得27f7f80a71cc9e569d8349d3eee0432f.png

∴7e0489738e8737e85e812079bfef2f4c.png

88994aa410b669136a7d59fedd93b797.png

令e4e5d90f7171f008dcc90327cc000469.png，则

f2953b87acf9cad27001a7d0631f6c41.png

1667d484a35c85a79592562e819e8504.png

当且仅当8da0c32e6b51fdcce0e07147c8f3a5da.png时取等号

∴1b2efd5bb305a4346253ea10d4214fc6.png

∵0fae80d28b9bc5377ab98f25aa078dd5.png

∴d70bdf05cc7922491d85ce31cbd9329e.png

当且仅当496cf153c1c401d62bd91fd6b6cad84a.png时取等号

综上，d70bdf05cc7922491d85ce31cbd9329e.png

【点睛】

本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题

21．在四棱锥81a76cc5dcec10bda7298f04289fb2c7.png中，底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为直角梯形，a36b86f3b1291d3f264cb63383df4e7c.png，78da0e5c9c790b34aef618cb5ced2122.png面62998849b60e107f9c015888d7338525.pngb1a250b937781b77c2a8b39a9cd12041.png.

（1）在线段adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.png上是否存在点800618943025315f869e4e1f09471012.png，使0e76582fa8e7505fbc298ab6f32523c2.png面dcf47583029f79d64904cf78daa360cb.png，说明理由；

（2）求二面角264f43c16a7e4b33374c0d4d135e77a2.png的余弦值.

【答案】（1）存在；详见解析（2）2caf8383a51dc5a80a30f35520848a35.png

【解析】

【分析】

（1）利用面面平行的性质定理可得，800618943025315f869e4e1f09471012.png为adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.png上靠近f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png点的三等分点，4e67af4d9f8ced24cc2feead828efbf6.png中点f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，证明平面20851a39882dba23b0db402041e07956.png平面dcf47583029f79d64904cf78daa360cb.png即得；

（2）过3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png作a5eda9dd0f8cbc3dd61dba67c5b9770b.png交f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png于dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png，可得6a45480d9b3ae0de082528c123a88a74.png两两垂直，以45a51fd8f7ed994eaa5b88bdc987c65e.png分别为78b70da0fb6369f45abaccaaef4cabe9.png轴建立空间直角坐标系，求出9508fe924bd4c6daf19f3625a0c27560.png长，写出各点坐标，用向量法求二面角．

【详解】

解：（1）当800618943025315f869e4e1f09471012.png为adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.png上靠近f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png点的三等分点时，满足0e76582fa8e7505fbc298ab6f32523c2.png面dcf47583029f79d64904cf78daa360cb.png.

证明如下，取4e67af4d9f8ced24cc2feead828efbf6.png中点f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，连结cbbd7853ed19d6bcae93cc77f9a8a563.png.

c2fbf0e62295e15820488d09d27b1089.png

即易得07482b5644bcde89cf4d0b930ddf28f9.png所以面20851a39882dba23b0db402041e07956.png面dcf47583029f79d64904cf78daa360cb.png，即0e76582fa8e7505fbc298ab6f32523c2.png面dcf47583029f79d64904cf78daa360cb.png．

（2）过3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png作a5eda9dd0f8cbc3dd61dba67c5b9770b.png交f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png于dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png

81bb73c40a6b7f6a2599e552b312479a.png面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，6b157d9e17ea004ea1f53f01361284dc.png

d77631034a286dd4f4b19eab3a527386.png两两垂直，以45a51fd8f7ed994eaa5b88bdc987c65e.png分别为78b70da0fb6369f45abaccaaef4cabe9.png轴建立空间直角坐标系，如图，

13a58c76d6db309bbaa4f036df918691.png

6ec24f41fa3cde3cee71d5d453acde3c.png

084b1867b02db96428dad1f29a8980e9.png

设面4ed30fb3271f7d6f48a2b9045a628e1c.png法向量5caf0d50fda96fba36c575fcb3eedf58.png，则c5b764817ed0b66f01005fbb7b9f8502.png，即ecc6205dcea7c767c97596fb17973fd1.png

取8e47a15f5a01699b29dd60ddde0fd5c8.png

同理可得面64bd82be2f900e31c0c58b47fb919c28.png的法向量1c83114ffcde84cfe44f18a60d3fad44.png

c6a491e28abbf589877f18760327fb91.png

综上可知锐二面角264f43c16a7e4b33374c0d4d135e77a2.png的余弦值为2caf8383a51dc5a80a30f35520848a35.png．

【点睛】

本题考查立体几何中的存探索性命题，考查用空间向量法求二面角．线面平行问题可通过面面平行解决，一定要掌握：立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的．求空间角一般是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．

22．近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了da4fb5c6e93e74d3df8527599fa62642.png人，其中女性7cbbc409ec990f19c78c75bd1e06f215.png人，男性c0c7c76d30bd3dcaefc96f40275bdc0a.png人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：

（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；

（2）根据统计数据建立一个249543bbeb4e6a832f228d60a680ff60.png列联表；

（3）能否在犯错误的概率不超过b14399cbaac6da4b5b733b483106383f.png的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.

附：6fa5cdd8e37181a1f57462e7d7a0fa35.png

【答案】（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过b14399cbaac6da4b5b733b483106383f.png的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系

【解析】

【分析】

（1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系；

（2）填写249543bbeb4e6a832f228d60a680ff60.png列联表即可；

（3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．

【详解】

解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系.

（2）249543bbeb4e6a832f228d60a680ff60.png列联表如下：

（3）由（2）中数据可得：355c2c86de5e30562cf5c23cf67f08ae.png.

所以，在犯错误的概率不超过b14399cbaac6da4b5b733b483106383f.png的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系.

【点睛】

本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了登高条形图的应用问题，属于基础题．

23．已知向量56834967f1b8fcc6cb74e023201a234c.png， 4e815e871a329bda0e29b395f0d44d9c.png.

（1）求ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的最小正周期；

（2）若75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的内角ce04be1226e56f48da55b6c130d45b94.png的对边分别为a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png，且94ab07cdb96d3033d21a84d467740e48.png8b1b32c0444f8888d2fa11fdf1ac2154.png，求75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的面积.

【答案】（1）31bf0b12546409e15021243132fc7574.png；（2）aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png或a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png

【解析】

【分析】

（1）利用平面向量数量积的坐标运算可得3e1fd5baaf37b3f6fc8f24150db4398a.png，利用正弦函数的周期性即可求解；（2）由（1）可求5621a1b626cb03ef94abd21655b8fc68.png，结合范围f9c8265e693662b02e06dbaade8d3057.png，可求7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的值，由余弦定理可求4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．

【详解】

（1）4e815e871a329bda0e29b395f0d44d9c.pngd9a0875247c08f00deebe0224dedb2a8.png

6b1a0bc6f8dc466970c093a3e82a48a6.png9286ce00adb271d99c0349f3444e0084.png

∴最小正周期274bc9fda6097adacfcbe19e36cfbe1b.png .

（2）由（1）知a338d344e497ca153043c22d683a0db3.png， ∴884f8d573d23a1188c2bc4ac45fa7e86.png

∴93f3fbecb25da87f1f7479dff23f9232.png， 又9efca270d83d0504decd07345c4f2c25.png

∴e63f812dfe946a675590b984f5f95e01.png或6e1100c07a45ec3476c6e48d9de6d657.png. 解得d030f7a20a842563ef93b2246741299b.png或dddc45a744ff42f73f89b3d1c9190656.png

当d030f7a20a842563ef93b2246741299b.png时，由余弦定理得5baa7775d27835aba37638abd1c50c6a.png

即b37764bd70d4a20a5069dcce4b1093ea.png， 解得4847acef124418c705153576282ebd02.png.

此时b973fa5a94c9e50324aeaf270fcc5cf0.png.

当dddc45a744ff42f73f89b3d1c9190656.png时，由余弦定理得5baa7775d27835aba37638abd1c50c6a.png.

即01136774f3eec7dc3e5071e30af74546.png，解得604591a06cf5526118adefdfc240c271.png.

此时bf1fcd82c6c146093c5b44434f6338f4.png.

【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/712d0166571810a6f524ccbff121dd36a32dc4fe.html