《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 第十章答案 10§1-7,答案剖析

第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理

1. 设X是赋范线性空间，是X中个线性无关向量， 是一组数，证明：在X上存在满足下列两条件：（1）, (2)的线性连续泛函的充要条件为：对任何数，

都成立。

证明 必要性。若线性连续泛函满足（1）和（2），则

充分性。若对任意数，有

。

令为张成的线性子空间。对任意，定义上线性泛函：

。

因，故是有界的，且。由泛函延拓定理，存在X上的线性连续泛函，使限制在上就是。显然满足条件（1）和（2）。证毕。

2．设X是赋范线性空间，Z是X的线性子空间，，又，证明存在，满足条件：

1）当时，；

2）；

3）。

证明 记。在M上定义泛函：，则以下三条件成立：

1）当时，；

2）；

3）在M上有界，且。

其中3）可以这样证明：若，则

，

所以。

又对任意，。由的任意性，我们得到

。

又，这样我们就证明了。

3． 证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的。

证明 设是X中一列线性无关向量。记

。

因是线性无关的。，因此由习题2，存在，使,在为零,.

以下我们来证明是中线性无关的向量.事实上,若有,使.,则.

这样由于,，必有,因,所以。类似可证,，从而，。这样我们证明了中有无限多个线性无关的向量,因此是无限维的.证毕.

4. 证明Bananch空间X自反的充要条件是自反.

证明 若X是banach空间,则存在一个从X到的自然的等距同构映射,.若,则称X是自反的。其中是这样定义的, 若, ,.

为方便起见,记X到的自然的等距同构映射为，到的自然的等距同构映射为。

我们要证明的充要条件为.

若.对任意,定义：若，。对任意，。因,因此。这就证明了。

反之,若,而。则存在,使F在上恒为零，而。但。必有，使。对任意,

这样。但,矛盾。因此必有。 证毕。

5．设是一列数，证明存在[a ,b]上有界变差数列，使，成立的充要条件为对一切多项式

成立着

其中M为常数。

证明 充分性 。在C[a ,b]的线性子空间上定义线性泛函f：

由条件，可知f在上是有界的。因为在C[a ,b]上稠密，所以可将f连续的延拓到C[a ,b]上（不妨仍记为f），这样f是C[a ,b]上连续线性泛函，且，。由Riesz表示定理，存在有界变差函数g，使。特别的

必要性。若存在有界变差函数，使

。

定义C[a ,b]上的有界线性泛函。则对每一多项式

，

有

取。证毕。

6．设T为中单向移位算子，即若，则，求。

解 若，，则，且

，

所以。

7．举例说明一致有界性定理中空间X完备的条件不能去掉。

解 设X为的线性子空间，的充分且必要条件是除去有限多个外其余皆为零。（）。若，定义X到X的线性映射

则

。

对任一，当时，有，因此

。

以上例子说明一致有界性定理中X的完备性条件不能去掉。

8．证明 ：在完备度量空间X中成立闭球套定力，即若

且， 则存在唯一的；反之，若在度量空间X中成立闭球套定理，则X是完备度量空间。

证明 设X是完备的度量空间，为一列闭球套：

若，对任给，存在N，当时，，因此当时，。所以是柯西列。设。

因为当时，，又是闭集，。因此。

下面证明。若，则

这样必有。

反之，若X满足闭球套定理，是柯西列。则存在，当时，，记。存在，当时，，记-------。存在，当时，记

这样得到一列闭球，对任意k和任意，有

。

所以，即于是，由假设存在，且。

因为为柯西列，，则必有。因此X必为完备度量空间。证毕。

9．设是一列复数，若对任何，级数都收敛，证明：，其中的定义见第八章题9。

证明 对每一个n，定义。若，。因为

所以，且。设满足，则，则

这就证明了。

由题设条件，对任意，收敛，从而有界。由一致有界性定理，有界，设，即。令。所以

。证毕。

10．设是[a ,b]上的L可测函数，，若对一切，函数都在[a, b]上L可积，则，其中。

证明 令 。则显然为上有界的可测函数。若，定义上泛函。则是上的有界线性泛函，且。

又因为，由勒贝格控制收敛定理，

。

由一致有界性定理，存在，使，即，因为

，由Levi定理

。

所以。证毕。

11． 证明引理：设X是Banach空间，p(x) 是X上泛函，满足条件：

1）；

2）时，；

3）；

4）当时，。

证明必有M>0，使对一切，成立。

证明 先证对任意M>0，是X中闭集。事实上，若，且，则，所以，因此是闭集。

记，。则。由Baire纲定理，存在某，使在某一小球中稠密。因为是闭集，则。对X中任意一点，和在O中，所以。因此。

这样取，则。证毕。

12． 设，其中X是Banach空间，Y是赋泛线性空间，若对每个，都收敛，令，证明T是X到Y中有界线性算子，并且。

证明 因为对每个，收敛，从而有界。由一致有界性定理，存在M>0，。

若定义，则显然T是线性的，且，

所以T是有界的，且，证毕。

13．设X是可分Bananch空间，M是中有界集，证明M中每个点列含有一个弱*收敛子列。

证明 设，存在K>0，，，设是X的可数稠密子集。考察有界数列。由Weierstrass定理，存在收敛子列。

同理也有收敛子列。一般的，若已有子列收敛，考察。由于数列的有界性可找到收敛子列。

我们用对角线法则，取泛函列，在稠密子集点点收敛。事实上，由定义，对任意i，是收敛的，而是的子列，因此也是收敛的，因此在上点点收敛。由本章§5定理1，弱*收敛。证毕。

14． 证明：空间C[a, b]中点列弱收敛于得充要条件是存在常数M，使得，，并且对任何，成立。

证明 充分性。若存在M>0，使，且对任何成立。则设f是C[a, b]上任一有界线性泛函。由本章§2的Riesz表示定理，存在有界变差函数g，使。因为，由勒贝格控制收敛定理

，即。因此弱收敛于。

必要性。设弱收敛于。因为弱收敛点列必为有界列，因此存在M>0，使，。对任一，定义C[a, b]上泛函。因，所以是C[a, b]上有界线性泛函。弱收敛于，即，可推得。即。

证毕。

15．设X是赋范线性空间，M为X的闭子空间，若M中点列，当时弱收敛于，那么必有。

证明 若，则，由第2题，存在，满足条件：

1） f在M上恒为0；

2） ；

3） 。

由于，所以，因此，此与矛盾。证毕。

16．证明：中点列，。弱收敛于的充要条件为，且对每个k，。

证明 充分性。设，。对任一，设。对任意，确定，使 。

然后确定 N，使n>N时，有

，

这样，

因此弱收敛于x。

必要性。若弱收敛于x，则由一致收敛定理，。对任一k，令，其中1在第k个位置，则，且，因，所以，。 证毕。

17．设X是线性空间，和是X上两个范数，若X按及都完备，并且由点列按收敛于0，必有按也收敛于0，证明存在正数a和b，使

。

证明 定义Banach空间到Banach空间的线性映射T：对任意，。由题设T在原点是连续的。对任一。若按收敛于，则，。则由题设条件，。即，。这说明T在任一非零点也连续，因此T是有界的。又T是到上的一对一的映射，由逆算子定理，也是有界的。故。

令，则。 证毕。

18． 设T是Banach空间X到赋范线性空间F中的线性算子，令，

证明：总有在X中稠密。

证明 因为，X又是第二纲集，所以必有在某一球内稠密。

对于任一，和都在中，所以存在，使

，

不妨设，，其中。于是，即。而

。

选取，则。这样，我们证明了，对任意，可找到一列，使，即在X中稠密。 证毕。

19． 用闭图像定理证明逆算子定理。

证明 设T 为Banach空间X到Banach空间Y上的一对一的有界线性算子。

的图像，若，则

。

设，则，。因为T是连续的，所以，即。这样。于是我们证明了在Y×X中是闭集，故是闭算子。再由闭图像定理，是有界的，证毕。

20． 设A及B是定义在Hilbert空间X上的两个线性算子，满足，

其中x,y为X中任意向量，证明A是有界算子。

证明 设，，则对任意，有

因此对任何都成立，此说明。这样A是定义在全空间X上的闭算子，由闭图像定理，A有界。证毕。

21．设T是定义在Hilbert空间X上的有界线性算子，若存在常数使，则称T为正定的。证明：正定算子必有有界逆算子，并且

。

证明 对任意，为实数，由第九章§5定理1得。又由于，因此若，则，从而。这样T又是一对一的。由第九章习题11，，所以T的值域是稠密的。对任意，存在，使。这样是X中的柯西列。因此当时，。又，因此是X中柯西列。设。于是。因此，T是Hilbert空间X上的一一到上的有界线性算子，由逆算子定理，T有有界逆算子。

因为对任意，，因此对任意，

，

即。因此

，

从而。由x的任意性得。证毕。

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