三年级奥数解析：用倒推法解应用题 综述：有些应用题解法的思考，是从应用题所叙述事情的最后结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析推理。追根究底，逐步靠拢所求，直到解决问题。这种思考问题的方法，通常我们把它叫做倒推法。 故事为铺垫例题：张二痞平时好吃懒做，还一心想发财，一天，他依在一棵大槐树上正幻想着如何发财，突然来了一位白发苍的老人，看透了他的心事，笑了笑对他说：“小伙子，我知道你在想什么，想发财，我可以帮助。”张二痞高兴得跳起来：“真的！你帮我发了才，一定感谢你。”老人说：“我知道你身上有钱，但不多，这样吧，把你身上的钱往身后树洞里一放，我吹一口气，你的钱就会增加一倍，然后你给我 32 元作为报酬。”小伙子照样办了，钱果然增长了一倍，他恳求老人再来一次，钱一放，吹口气，又增加一倍，付给老人 32 元………经过四次之后，张二痞从树洞里取出 32 元，付给了老人，他变得两手空空的了。十分沮丧。老人把钱还给张二痞说：“小伙子，要发财，还得靠自己勤劳。”说完老人不见。这是怎么一回事？张二痞原来有多少钱？我们用“○”表示小伙子原来的钱数，按照上面说的，就会得到下面的图示： ×2－32 ×2－32 ×2－32（1） （2） （3） （4）从上图就会发现，如果顺着算是很是很难算出原来的钱数，如果我们从最后的结果，倒推回去，就很容易算出原来的钱数，如果给老人 32 元，最后一次从树洞里取出的钱就是 32 元，第 4 次放进去的钱就是 32÷2＝16 元了，照这样倒推回去，就得到下面的图示： ×2－32 ×2－32 ×2－32 ×2－32 28 32 24（1） （2） （3） （4）这样倒着推算的结果是张二痞原来只有 30 元。有些问题，从已知条件出发，向所求的问题顺着推算得到答案是很困难的，如果从应用题所叙述的叙述的最后结果出发，倒着向前一步一步分析推算，直到解决问题，解起来就容易得多，这种利用已知条件，按照题目叙述的过程向相反的方向倒着推理思考、解答问题的方法，通常叫做“倒推法”。例 1 小聪问小明：“你今年几岁？”小明回答说：“用我的年龄数减去 8，乘以7，加上 6，除以 5，正好等于 4。请你算一算，我今年几岁？” 分析与解 分析时可以从最后的结果“4”逐步倒着推。这个数没除以 5 时应该是多少？没加上 6 时应该是多少？没乘以 7 时是多少？没减去 8 时是多少？这样依次逆推，就可以推出小明的年龄数。 （1）“除以 5，正好等于 4”。如果不除以 5 时，此数是： 4×520 （2）“加上 6”此数是 20，如果没加上 6 时，该数是： 20-614 （3）“乘以 7”此数是 14，如果不乘以 7 时，这个数是?14÷7＝2 （4）“我的年龄数减去 8”，此数是 2，如果不减去 8 时，我的年龄 数是： 2＋810 综合列式计算： （4×5-6）÷78 （20-6）÷78 ＝14÷7＋8 10（岁） 验算：为了保证解题正确，可按原题的叙述顺序进行列式计算，看最 后结果是否“正好等于 4”。若等于 4，则解题正确。 〔（10-8）×7＋6〕÷5 （2×76）÷5 ＝20÷5 4 答：小明今年 10 岁。 例 2 一捆电线，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次用去余下的一半 少 10 米，第三次用去 15 米，最后还剩 7 米。这捆电线原来有多少米？ 分析与解 为了帮助同学们分析数关系，可依照题意画出图 1。 从线段图上可以看出： （1）715-1012（米），就是第一次用去后余下的一半。 （2）12×224（米），就是余下的电线长度。 （3）24＋327（米），就是全长的一半。 （4）27×254（米），就是原来电线的长度。 综合列式计算： 〔（7＋15-10）×2＋3〕×2 （12×23）×2 27×2 54（米） 验算：第一次用去的：54÷2＋330（米） 第二次用去的：（54-30）÷2-102（米） 剩下的：54-30-2-157（米） 答：这捆电线原来有 54 米。 例 3 、一条毛毛虫从幼虫长到成虫，每天长一倍，24 天能长到 20 厘米， 当长到 5 厘米时需要用多少天？ 解题关键：毛毛虫每天长一倍的意思是：第二天的身长是第一天的 2 倍， 第三天的身长是第二天的 2 倍，第四天的沓な堑谌 斓?2 倍，……，从 24 天能长到 20 厘米开始，往前倒推，当长到 20÷2＝10 厘米时，就是第 23 天，以此倒推。 解法一：用倒推法解 20÷2÷2＝5（厘米）24－1－1＝22 天。 解法二：用列表倒推法解：出生天数 幼虫身长（厘米）24 2023 1022 5 答长到 5 厘米时要用 22 天。 例 4：小马虎在做一道加法题目时，把个位上的 5 看成了 9，把十位上的 8 看成了 3，结果得到的“和”是 123。问：正确的结果应是多少？ 分析：利用还原法。因为把个位上的 5 看成 9，所以多加了 4；又因 为把十位上的 8 看成 3，所以少加了 50。在用还原法做题时，多加了的 4 应减去，多减了的 50 应加上。 解：123-4＋50＝169。 答：正确的结果应是 169。 例 5：甲、乙、丙三组共有图书 90 本，乙组向甲组借 3 本后，又送给丙 组 5 本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各 有多少本图书？ 分析与解：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数 90 本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书 90÷3＝30（本）。根据题目条件，原来各组的图书为 甲组有 30＋3＝33（本）， 乙组有 30—3＋5＝32（本）， 丙组有 30—5＝25（本）。 例 6：袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共 操作了 5 次，袋中还有 3 个球。问：袋中原有多少个球？ 分析与解：利用逆推法从第 5 次操作后向前逆推。第 5 次操作后有 3 个， 第 4 次操作后有（3—1）×2＝4（个），第 3 次……为了简洁清楚，可以 列表逆推如下： 球数/个 初始状态 18-1 ×234123 第 1 次操作 10-1 ×218 第 2 次操作 6-1 ×210 第 3 次操作 4-1 ×26 第 4 次操作 3-1 ×24 第 5 次操作 3 所以原来袋中有 34 个球。 例 7：货场原有煤若干吨。第一次运出原有煤的一半，第二次运进 450 吨， 第三次又运出现有煤的一半又 50 吨，结果剩余煤的 2 倍是 1200 吨。货场 原有煤多少吨？ 分析与解 这道题由于原有煤的总吨数是未知的，所以要想顺解是很不容 易的，我们先看图 2，然后再分析。 结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可跃然纸 上，使同学们一目了然。 根据“剩余煤的 2 倍是 1200 吨”，就可以求出剩余煤的吨数；根据 “第三次运出现有煤的一半又 50 吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有 煤的一半是多少吨， 进而可求出现有煤的吨数；用现有煤的吨数减去第二 次运进的 450 吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多 少吨。 （1）剩余煤的吨数是： 1200÷2＝600 （2）现有煤的一半是： 600＋50650（吨） （3）现有煤的吨数是： 650×21300 （4）原有煤的一半是： 1300-450850（吨） （5）原有煤的吨数是： 850×21700 综合列式计算： 〔（1200÷2＋50）×2-450〕×2 〔（600＋50）×2-450〕×2 （650×2-450）×2 （1300-450）×2 ＝850×2 1700（吨） 验算：第一次运出的煤：1700÷2850（吨） 第二次运进后现有的煤： 1700-850＋4501300（吨） 第三次运出的煤：1300÷2＋50700（吨） 剩余的煤：1300-700600（吨） 剩余煤的 2 倍是：600×21200（吨） 验算结果符合题意，说明解题正确。 答：货场原来有煤 1700 吨。 例 8 有一筐苹果，甲取出一半又 1 个；乙取出余下的一半又 1 个；丙取 出再余下的一半又 1 个，这时筐里只剩下 1 个苹果。这筐苹果共值 6 元 6 角，问每个苹果平均值多少钱？ 分析与解 请看线段图 3。 从上面的线段图可以看出：最后剩下的 1 个再加上丙取出的 1 个就是 再余下的一半，即 2 个是再余下的一半，因此，再余下的就是（2×2）4 个； 4 个再加上乙取出的 1 个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就 是（5×2）10 个； 10 个再加上甲取出的 1 个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数 是（11×2）22 个。 22 个苹果共值 6 元 6 角，于是可求出每个苹果平均值多少钱。 （1）先求有多少个苹果： ｛〔（1＋1）×2＋1〕×2＋1｝×2 ｛〔2×2＋1〕×21｝×2 （5×21）×2 11×222（个） （2）再求每个苹果平均值多少钱: 6 元 6 角66 角或 6.6 元 66÷223（角）或 6.6÷220.3（元） 验算：甲取出的：22÷2112（个） 乙取出的：（22-12）÷216（个） 丙取出的：（22-12-6）÷2＋13（个） 最后剩下的：22-（12＋6＋3）1（个） 整筐苹果共值：3×2266（角），即 6 元 6 角。 验算结果符合题意，证明解题正确。 答：每个苹果平均值 3 角钱。 倒推法也是一种常用的思考方法，在解答这类应用题时，要根据题目的特 点，从问题的最后结果着手倒推去解决问题。有些题目如果用倒推法去解， 那么就可以化难为易，化繁为简。请你做下面的练习，以便更好地掌握这 种方法。 解题在于实践： 1．一个数加上 2，减去 3，乘以 4，除以 5，结果等于 12。问这个数 是多少？ 2．一个数加上 8，乘以 8，减去 8，除以 8，结果还是 8。问这个数 是多少？ 3．修路队修一条公路，第一天修了全长的一半少 40 米；第二天修了 余下的一半多 10 米，还剩 60 米。这条公路全长多少米？ 4．妈妈从副食店买回几个鸡蛋。第一天吃了全部的一半又半个，第 二天吃了余下的一半又半个，第三天又吃了余下的一半又半个，恰好吃完。 妈妈从副食店买回多少个鸡蛋？ 5．某仓库运出四批原料，第一批运出的占全部库存的一半，第二批 运出的占余下的一半，以后每一批都运出前一批剩下的一半。第四批运出 后，剩下的原料全部分给甲、乙、丙三个工厂。甲厂分得 24 吨，乙厂分 得的是甲厂的一半，丙厂分得 4 吨。问最初仓库里有原料多少吨？ 6．有砖 26 块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥 赶到了。哥哥看弟弟挑得太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢 走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥 5 块，这时哥哥比弟弟多挑 2 块。问 最初弟弟准备挑多少块？ 答案： 1．这个数是 16。 12×5÷43-2153-216 2．这个数是 1。 （8×88）÷8-8（648）÷8-89-81 3．这条公路全长 200 米。 （6010）×2-40×2（140-40）×2200（米） 4．7 个。 有的同学一看每次都吃“一半又半个”，认为这不符合实际，于是就 不去进行仔细认真地分析，被“半个”这一假象所迷惑。其实，只要采用 倒推法，就很容易知道第三天吃了 0.5×21（个），于是问题就可以迎 刃而解了。 （0.5×20.5）×20.5×2 （1.5×20.5）×2 3.5×27（个） 5．最初仓库里有原料 640 吨。 先求第四批运出后剩下多少吨原料： 2424÷242412440（吨） 再用倒推法求最初仓库里有原料多少吨： 40×2×2×2×2640（吨） 6．最初弟弟准备挑 16 块。 先利用“和差”问题的解法求弟弟最后挑多少块： （26-2）÷224÷212（块） 再利用倒推法求最初弟弟准备挑多少块： ｛26-26-（125）×2｝×2 ｛26-26-17×2｝×2 （26-9×2）×2 8×216（块）
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