数值分析简明教程第二版课后习题答案高等教育出版社

算法

1、 （，题1）用二分法求方程在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.

【解】　由二分法的误差估计式，得到.两端取自然对数得，因此取，即至少需二分9次.求解过程见下表。

2、（，题2） 证明方程在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过。

【解】　由于，则在区间[0,1]上连续，且，，即，由连续函数的介值定理知，在区间[0,1]上至少有一个零点.

又0' altImg='5a104e2818102a42b5b311f9eaa617eb.png' w='148' h='22' class='_1'>，即在区间[0,1]上是单调的，故在区间[0,1]内有唯一实根.

由二分法的误差估计式，得到.两端取自然对数得，因此取，即至少需二分7次.求解过程见下表。

误差

1．（，题8）已知e=…，试问其近似值，，x2=，各有几位有效数字并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：

因为，所以有两位有效数字；

因为，所以亦有两位有效数字；

因为，所以有四位有效数字；

；

；

。

评　（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；

（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.

2．（，题9）设，，均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。

【解】 ，；

，；

，；

评　经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.

3．（，题10）已知，，的绝对误差限均为，问它们各有几位有效数字

【解】 由绝对误差限均为知有效数字应从小数点后两位算起，故，有三位；有一位；而，也是有一位。

泰勒插值和拉格朗日插值

1、（，习题1）求作在节点的5次泰勒插值多项式，并计算和估计插值误差，最后将有效数值与精确解进行比较。

【解】由，求得；；；；；，所以

插值误差：，若，则

，而，精度到小数点后5位，

故取，与精确值相比较，在插值误差的精度内完全吻合！

2、（，题12）给定节点，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：

（1）；

（2）

【解】依题意，，拉格朗日余项公式为

（1） → ；

（2）因为，所以

3、（，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值并估计误差。

【解】依题意，，拉格朗日余项公式为

（1） 线性插值

因为在节点和之间，先估计误差

；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。

（2） 抛物线插值

插值误差：

抛物线插值公式为：

经四舍五入后得：，与精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！

分段插值与样条函数

1、（，习题33）设分段多项式

是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.

【解】依题意，要求S(x)在x=1节点

函数值连续： ，

即：

一阶导数连续： ，

即：

解方程组（1）和（2），得，即

由于，所以S(x) 在x=1节点的二阶导数亦连续。

2、 已知函数 的一组数据，和，（1）求其分段线性插值函数；

（2）计算的近似值，并根据余项表达式估计误差。

【解】（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为，利用拉格朗日线性插值公式，求得

；

（2），而 ，实际误差为：。

由,可知，则余项表达式

曲线拟合

1、（，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：

【解】 构造残差平方和函数如下：

，

分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：

： ，

： ，

解方程组（1）和（2），得

2、（，习题37）用最小二乘法求形如 的多项式，使之与下列数据相拟合。

【解】令，则为线性拟合，根据公式,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得

；

依据上式中的求和项，列出下表

将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得

；

；

即：。

机械求积和插值求积

1、（，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：

；

；

。

【解】 （1）令时等式精确成立，可列出如下方程组：

解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（1）具有3次代数精度。

（2）令时等式精确成立，可列出如下方程组：

解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（2）具有3次代数精度。

（3）令时等式精确成立，可解得：

即： ，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（3）具有2次代数精度。

2、（，习题6）给定求积节点 试构造计算积分的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。

【解】依题意，先求插值求积系数：

；

；

插值求积公式：

当，左边=；右边=；左=右；

当，左边=；右边=；左=右；

当，左边=；右边=；左≠右；

故该插值求积公式具有一次代数精度。

梯形公式和Simpson公式

1、（，习题9）设已给出的数据表，

分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分的近似值。

【解】 （1）用复化梯形法：

（2）用复化辛普生法：

2、（，习题10）设用复化梯形法计算积分，为使截断误差不超过，问应当划分区间【0,1】为多少等分如果改用复化辛普生法呢

【解】（1）用复化梯形法， ，设需划分n等分，则其截断误差表达式为：

；

依题意，要求，即

，可取。

（2）用复化辛普生法， ，截断误差表达式为：

；

依题意，要求，即

，可取，划分8等分。

数值微分

1、（，习题24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式

【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为

由三点公式(51)、(52)和(53)可知，，则

2、（，习题25）设已给出的数据表，

试用三点公式计算的值，并估计误差。

【解】已知，用三点公式计算微商：

，

用余项表达式计算误差

3、（，习题26）设，分别取步长，用中点公式（52）计算的值，令中间数据保留小数点后第6位。

【解】中心差商公式：，截断误差：。可见步长h越小，截断误差亦越小。

(1) ,则

；

(2) ,则

(3) ,则

而精确值，可见当时得到的误差最小。在时反而误差增大的原因是与很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。

Euler格式

1、（，题1）列出求解下列初值问题的欧拉格式

，，取；

，，取；

【解】 （1）；

（2）。

2、（，题2）取，用欧拉方法求解初值问题，。

【解】欧拉格式：；化简后，，计算结果见下表。

3、（，题3）取，用欧拉方法求解初值问题，。并与精确解比较计算结果。

【解】欧拉格式：；化简后，，计算结果见下表。

1、（，题7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。

【解】 因为，，且，则改进的欧拉公式：

。

计算结果见下表。

与原结果比较见下表

龙格-库塔方法

1、（，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题，，试取步长计算的近似值，要求小数点后保留4位数字。

【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：

；

列表求得如下：

迭代法及收敛定理

1、（，题1）试取，用迭代公式，求方程的根，要求准确到。

【解】 迭代计算结果列于下表

因为，所以。

2、（，题2）证明方程有且仅有一实根。试确定这样的区间，使迭代过程对均收敛。

【证明】设：，则当时，，且一阶导数连续， ，所以迭代过程对均收敛。（压缩映像定理），方程有且仅有一实根。<证毕>

3、（，题4）证明迭代过程对任意初值均收敛于。

【证明】设：，对于任意，因为，所以。一阶导数， 根据压缩映像定理，迭代公式对任意初值均收敛。假设，对迭代式两边取极限，则有，则，解得，因不在范围内，须舍去。故。<证毕>

牛顿迭代法

1、（，题17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：

（1），

（2），

【解】 （1）设，则，牛顿迭代公式：

，迭代计算过程见下列表。

因为，所以。

（2）设，则，牛顿迭代公式：

，迭代计算过程见下列表。

因为，所以。

2、（，题18）应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。

【证明】（1）设：，则，对任意，牛顿迭代公式

（2）由以上迭代公式，有：。设

；；。

，可见该迭代公式具有二阶收敛性。<证毕>

线性方程组迭代公式

1、（，题1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：，要求结果有3位有效数字。

【解】 雅可比迭代公式：，迭代计算结果列于下表。

；

由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则误差限为。

高斯-赛德尔迭代公式：，迭代计算结果列于下表。

；

2、（，题7）取，用松弛法求解下列方程组，要求精度为。

【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：

引入松弛因子，得

将方程组（1）代入（2），并化简

计算结果见下表。

迭代解：

精确解：

线性方程组迭代公式

1、（，题2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。

【解】（1）雅可比迭代公式：

(1)

，，迭代收敛。

（2）高斯-赛德尔迭代公式：

(2)

将方程组（1）带入（2），经化简后，得：

(3)

，，迭代收敛。

2、（，题5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组：

（1）

（2）

【解】（1）雅可比迭代：

，,不收敛。

高斯-赛德尔迭代：

或 ，,不收敛。

（2）雅可比迭代：

，,不收敛。

高斯-赛德尔迭代：

或

,不收敛。

3、（，题6）加工上述题5的方程组，比如调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程的收敛性。

【解】加工后结果如下：

（1）

（2）

方程组（1）的雅可比迭代：

，，迭代收敛。

方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：

，，迭代收敛。

方程组（2）的雅可比迭代：

，，迭代收敛。

方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：

，，迭代收敛。

高斯消元法

1、（，题2）用选列主元高斯消元法求解下列方程组：

（1）

（2）

【解】 （1）

所以： ，,.

（2）

所以： ，,.

2、（，题9）计算下列三阶坡度阵的条件数：

（1）。

【解】令：，先求A-1。

，所以

最后求得条件数为：

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6e74f34650ea551810a6f524ccbff121dd36c5e2.html