内切球与外接球习题讲义

立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究

1 球与柱体

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

1.1 球与正方体

如图1所示，正方体fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png,设正方体的棱长为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，93190b46f9e403127d9d72adfae09e65.png为棱的中点，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为球的球心。

常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形1bdf4d050fd7f66f98ae219ac64db85d.png和其内切圆，则e359e9680e4a18657f23b136d145304c.png；

二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形1bdf4d050fd7f66f98ae219ac64db85d.png和其外接圆，则4ffc9521c1b8d6385025d3f23073f85e.png；

三是球为正方体的外接球，截面图为长方形b6bdff668c0b7dcf5341ebc6153da28f.png和其外接圆，则d53f70da1bd3786e348a087e0679e560.png.

通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 。

例 1 棱长为1的正方体word/media/image11_1.png的8个顶点都在球word/media/image12_1.png的表面上，word/media/image13_1.png分别是棱word/media/image14_1.png，word/media/image15_1.png的中点，则直线word/media/image16_1.png被球word/media/image17_1.png截得的线段长为（ ）

A．word/media/image18_1.png B．word/media/image19_1.png C．word/media/image20_1.png D．word/media/image21_1.png

1.2 球与长方体

长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为word/media/image23_1.png其体对角线为word/media/image24_1.png.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径word/media/image25_1.png

例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )

A.9f3e185eff1a4172fb541c61484952e4.png B.4π C.c6efc292b8d3653b7d6a7dda978c2d0f.png D.2861ea74b105fa35ec470f72e65f7ded.png

1.3 球与正棱柱

球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法——构造直角三角形法。设正三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png的高为2510c39011c5be704182423e3a695e91.png，底面边长为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，如图2所示，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png和39f35a7a61cdf35fef8c6d436b6aca40.png分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高b99b3e18827fa773588ed799c3ca084c.png的中点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，06d3ae25f76b63906cf0a4b71af2b885.png，借助直角三角形5156155c837896ea6f477674f0d26e23.png的勾股定理，可求b11810ff4087795f60528205aeeb4596.png。

例3 正四棱柱word/media/image38_1.png的各顶点都在半径为word/media/image39_1.png的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .

2 球与锥体

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

2.1 球与正四面体

正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。

如图4，设正四面体64b5076761d8b8358fb5c7e32d5a1e5b.png的棱长为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，内切球半径为4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png，外接球的半径为word/media/image39_1.png，取b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的中点为f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png为5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png在底面的射影，连接176076b996a3efe52ee10384360d6831.png为正四面体的高。在截面三角形24b237263b4442c4631fdf34e44ad835.png,作一个与边38f99abbc1d339c277c0669e7bc373c0.png和cf75e54791dd1f49f918345fdfe2430b.png相切，圆心在高f003c44deab679aa2edfaff864c77402.png上的圆，即为内切球的截面。

因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png。此时， 6f51b4bebd2ca1af6073b099b36141cb.png则有word/media/image55_1.png解得：word/media/image56_1.png这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心word/media/image57_1.png为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.

例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )

A.word/media/image58_1.png B. 2+word/media/image59_1.png C. 4+word/media/image59_1.png D. word/media/image60_1.png

球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.]

2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥

球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：

一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图5，三棱锥02d862f8d13503e08daf1d81747d6140.png的外接球的球心和正方体fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png的外接球的球心重合，设cb9ac88b2282c25cdec7618135314de5.png，则efb08872c21036f3e44f0632d05d52a3.png。

word/media/image66.gif二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，b1745e1cd7864341ff355a684d92db49.png（2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png为长方体的体对角线长）。

例5 在正三棱锥word/media/image69_1.png中，word/media/image70_1.png分别是棱word/media/image71_1.png的中点，且word/media/image72_1.png,若侧棱word/media/image73_1.png,则正三棱锥64b5076761d8b8358fb5c7e32d5a1e5b.png外接球的表面积是 。

2.3 球与正棱锥

球与正棱锥的组合，常见的有两类，

word/media/image76.gif一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.

二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径word/media/image77_1.png．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.

例6 在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=word/media/image79_1.png,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ）

A．word/media/image80_1.png　 B.word/media/image81_1.png　 C. 4word/media/image80_1.png　D.word/media/image82_1.png

2.4 球与特殊的棱锥

球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进行求解。

例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置。

如图8，三棱锥64b5076761d8b8358fb5c7e32d5a1e5b.png,满足acf44291f3229503a607327beae81c50.png面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，3f12cbc63efade11c6d1aa7b1f889513.png，取6a65edb0cc17d66c677814115b1477f5.png的中点为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，由直角三角形的性质可得：fc4212c8ad80c893ebf21b82f4223e37.png,所以f186217753c37b9b9f958d906208506e.png点为三棱锥64b5076761d8b8358fb5c7e32d5a1e5b.png的外接球的球心,则word/media/image89_1.png.

例7 矩形word/media/image90_1.png中，word/media/image91_1.png沿word/media/image92_1.png将矩形word/media/image93_1.png折成一个直二面角word/media/image94_1.png,则四面体word/media/image90_1.png的外接球的体积是( )

A.word/media/image95_1.png B.word/media/image96_1.png C.word/media/image97_1.png D.word/media/image98_1.png

3 球与球

对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.

例8 在半径为的球内放入大小相等的4个小球，则小球的半径的最大值为（）

4 球与几何体的各条棱相切

球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.

如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：word/media/image102_1.png.

例8 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（） A.57383b3a8a5ad87e950192cae59d52f3.png B. 58c51217d3bf7dc880d96b21bc516504.png C. d41c678308a5d01a11739232bf81ed97.png D. c0dbba106fe8f5ac2dd92a9270e5ffee.png

综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.

外接球内切球问题

1. （陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A．word/media/image108_1.png B．word/media/image109_1.png C． word/media/image110_1.png D．word/media/image111_1.png

答案　B

2. 直三棱柱word/media/image112_1.png的各顶点都在同一球面上，若word/media/image113_1.png,word/media/image114_1.png，则此球的表面积等于 。

解:在word/media/image115_1.png中word/media/image116_1.png,word/media/image114_1.png,可得word/media/image117_1.png,由正弦定理,可得word/media/image115_1.png外接圆半径r=2,设此圆圆心为word/media/image118_1.png，球心为word/media/image119_1.png，在word/media/image120_1.png中，易得球半径word/media/image121_1.png，故此球的表面积为word/media/image122_1.png.

3．正三棱柱word/media/image123_1.png内接于半径为word/media/image124_1.png的球，若word/media/image125_1.png两点的球面距离为word/media/image126_1.png，则正三棱柱的体积为 　　．

答案 8

4.表面积为word/media/image127_1.png 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A．word/media/image128_1.png B．word/media/image129_1.png C．word/media/image130_1.png D．word/media/image131_1.png 答案 A

【解析】此正八面体是每个面的边长均为word/media/image132_1.png的正三角形，所以由word/media/image133_1.png知，word/media/image134_1.png，则此球的直径为word/media/image135_1.png，故选A。

5.已知正方体外接球的体积是word/media/image136_1.png，那么正方体的棱长等于（ ）

A.2word/media/image137_1.png B.word/media/image138_1.png C.word/media/image139_1.png D.word/media/image140_1.png 答案 D

6.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )

A. 1∶word/media/image141_1.png B. 1∶3 C. 1∶3word/media/image141_1.png D. 1∶9 答案 C

7.（海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为word/media/image142_1.png，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　． 答案 word/media/image143_1.png

8. （天津理）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　． 答案 word/media/image144_1.png

9.（全国Ⅱ理）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2. 答案 word/media/image145_1.png

word/media/image146.gif10.（辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥word/media/image147_1.png，则此正六棱锥的侧面积是________． 答案 word/media/image148_1.png

11.（辽宁省抚顺一中）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .

答案 word/media/image149_1.png

12.（枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体

外接球的表面积为 （ ）

A．word/media/image150_1.png B．word/media/image151_1.png

C．word/media/image152_1.png D．以上都不对

答案C

13.(吉林省吉林市)设正方体的棱长为0270009ecf9fc9b97319a936185615ec.png，则它的外接球的表面积为（ ）

A．word/media/image153_1.png B．2π C．4π D．word/media/image154_1.png 答案C

14（新课标理）已知三棱锥word/media/image155_1.png的所有顶点都在球word/media/image156_1.png的求面上,word/media/image157_1.png是边长为word/media/image158_1.png的正三角形,word/media/image159_1.png为球word/media/image156_1.png的直径,且word/media/image160_1.png;则此棱锥的体积为（　　）

A．word/media/image161_1.png B．word/media/image162_1.png C．word/media/image163_1.png D．word/media/image164_1.png

15．（辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2word/media/image165_1.png正方形.若PA=2word/media/image166_1.png,则△OAB的面积为______________.

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