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余弦定理的证明方法大全共十法

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余弦定理的证明方法大全(共十法
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC中,已知ABc,BCa,CAb,则有
a2b2c22bccosA,b2c2a22cacosB,c2a2b22abcosC.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:
在ABC中,已知ABc,ACb,及角A,求证:a2b2c22bccosA.
uuuruuuruuur
证法一:如图1,在ABC中,由CBABAC可得:
C
即,a2b2c22bccosA.
证法二:本方法要注意对A进行讨论.(1
当
A是直角时,由
A
图1
B
b2c22bccosAb2c22bccos90b2c2a2知结
论成立.
(2当A是锐角时,如图2-1,过点C作CDAB,交AB于点D,则
在RtACD中,ADbcosA,CDbsinA.
从而,BDABADcbcosA.
在RtBCD中,由勾股定理可得:即,a2b2c22bccosA.
说明:图2-1中只对B是锐角时符合,而B还可以是直角或钝角.若B是直角,图中的点D就与点B重合；若B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.
(3当A是钝角时,如图2-2,过点C作CDAB,交BA延长线于点D,则
在RtACD中,ADbcos(AbcosA,CDbsin(A

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