数字信号处理教程 程佩青 课后题答案

第一章 离散时间信号与系统

2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n0)卷积x(n- n0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2)

（2）列表法

（4）

3 .已知 ，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 的线性移不变系统的阶跃响应。

4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：

分析：

序列为或时，不一定是周期序列，

当整数，则周期为；

当无理数 ，则不是周期序列。

解：（1），周期为14

（2），周期为6

（2），不是周期的

7.（1）

所以是线性的

T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m)

两者不相等，所以是移变的

y(n)=g(n)x(n) y和x括号内相等，所以是因果的。（x括号内表达式满足小于等于y括号内表达式，系统是因果的）

│y(n)│=│g(n)x(n)│<=│g(n)││x(n)│x(n)有界，只有在g(n)有界时，y(n)有界，系统才稳定，否则系统不稳定

（3）T[x(n)]=x(n-n0)

线性，移不变，n-n0<=n即n0>=0时系统是因果的，稳定

（5）线性，移变，因果，非稳定

（7）线性，移不变，非因果，稳定

（8）线性，移变，非因果，稳定

8.

第二章 Z变换

1． 求以下序列的z变换，并画出零极点图和收敛域。

（7）

分析：

Z 变换定义，n的取值是的有值范围。

Z变换的收敛域是满足的z值范围。

解：(1) 由Z变换的定义可知：

解：(2) 由z变换的定义可知：

解:（3）

解： (4)

  ，

解：(5) 设

则有  

而

∴

因此，收敛域为 ：

解：(6)

（7）Z[u(n)]=z/z-1

Z[nu(n)]=

零点为z=0,±j,极点为z=1

分析：

长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按

z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分

母都要按z的升幂排列。

部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分

式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得

x（n）。

留数定理法：

（1）（i）长除法：

所以：

（1）(ii)留数定理法：

, 设 c为

内的逆时针方向闭合曲线：

当时，

在c内有

一个单极点

则

（1）(iii)部分分式法：

因为

所以

（2）(i). 长除法：

,

因而 是左边序列,所以要按的

升幂排列：

所以

（2）(ii)留数定理法:

内的逆时针方向闭合曲线

在c外有一个单极点

在c内有一个单极点

∴

综上所述，有：

(2)(iii). 部分分式法：

则

因为 则是左边序列

所以

(3)(i). 长除法：

因为极点为，由可知,为

因果序列, 因而要按 的降幂排列:

则

所以

(3)(ii). 留数定理法:

内的逆时针方向闭合曲线。

(3)(iii). 部分分式法：

则

所以

(4)

A=5/8, B=3/8

5．对因果序列,初值定理是,如果序列为 时,问相应的定理是什么? 讨论一个序列x(n)，其z变换为：

分析：

这道题讨论如何由双边序列Z变换来求序列初值，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，[它们各自由求表达式是不同的]，将它们各自的相加即得所求。

若序列的Z变换为：

由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆,则其收敛域应该为：

6.有一信号，它与另两个信号和的关系是: ，其中，，已知 ，，利用z变换性质求y(n)的z变换Y(z)。

解：

8. 若是因果稳定序列，求证：

分析：

利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解

再利用的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。

证明:

∴

10. 分析：

利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式

解：

由帕塞瓦尔公式可得：

∵

∴

即

由帕塞瓦尔公式可得：

13. 研究一个输入为和输出为的时域线性离散移不变系统，已知它满足 并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。

分析：

在Z变换域中求出，然后和题12（c）一样分解成部分分式分别

求Z反变换。

解：

对给定的差分方程两边作Z变换，得：

，

为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故为1/3<│z│<3

即可求得

14.研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零极点图，试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案。

解 :

对题中给定的差分方程的两边

作Z变 换，得：

因此

其零点为

极点为 ,

因为该系统不限定为因果，稳定系统,所以其收敛域情况有三种，分别如左图所示。

收敛域情况有：

零极点图一：

零极点图二：

零极点图三：

注：如果想要参看具体题解，请先选择方案，然后单击 解答 按键即可。

(1) 按12题结果(此处z1=2, z2=1/2),

可知当收敛区域为,则系统是非稳定的，但是因果的。其单位抽样响应为：

(2) 同样按12题，当收敛区域为 ，则系统是稳定的但是非因果的。

其单位抽样响应为：

(其中 )

(3) 类似 , 当收敛区域为时，则统是非稳定的，又是非因果的。

其单位抽样响应为：

(其中 )

第三章 离散傅立叶变换

1.如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

计算求得:

解：在一个周期内的计算值

4.分析：此题需注意周期延拓的数值，如果N比序列的点数多，则需补零；如果N比序列的点数少，则需将序列按N为周期进行周期延拓，混叠相加形成新序列。先周期延拓再翻褶、移位

x((-n))5为周期序列{1,0,2,3,1}

x((n))6为周期序列{1, 1,3,2,0,0}

x((-n))6R6(n)为6点有限长序列{1,0,0,2,3,1}

x((n))3R3(n)为3点有限长序列{3,1,3}

x((n-3))5R5(n)为5点有限长序列{3,2,0,1,1}

x((n))7R7(n)为7点有限长序列{1, 1,3,2,0,0,0}

8. 解：（1）x(n)*x(n)=

(2) x(n)⑤x(n)=

(3) (3)x(n)⑩x(n) 与线性卷积结果相同，后面补一个零。

10. ，，求f(n)=x(n)⑦y(n)。

解： f(n)=x(n)⑦y(n)=

第四章 快速傅立叶变换

解: 解: ⑴ 直接计算:

复乘所需时间:

复加所需时间:

⑵用FFT计算:

复乘所需时间:

复加所需时间:

3.

运算量：复数乘法次数（乘±1、±j不计算在内，要减去系数为±1、±j的，即），即8*4-（1+2+4+8）-（1+2+4）=10

复数加法次数为64次

第五章 数字滤波器的基本结构

1.用直接I型及典范型结构实现以下系统函数

分析：注意系统函数H(z)分母的 项的系数应该化简为1。

分母的系数取负号，即为反馈链的系数。

解：

∵

∴ ，

， ，

2.用级联型结构实现以下系统函数

试问一共能构成几种级联型网络。

分析：用二阶基本节的级联来表达（某些节可能是一阶的）。

解：

∴

由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。

4．用横截型结构实现以下系统函数：

分析：FIR滤波器的横截型又称横向型，也就是直接型。

7．设某FIR数字滤波器的系统函数为：

试画出此滤波器的线性相位结构。

分析：FIR线性相位滤波器满足，即对呈现偶对称或奇对称，因而可简化结构。

解：由题中所给条件可知：由题中所给条件可知：

第六章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法

1.用冲激响应不变法将以下 变换为 ，抽样周期为T

分析：

冲激响应不变法满足，

T为抽样间隔。这种变换法必须先用部分分式展开。

第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式

,

，

可求出 ，

又 ，则可递推求解。

解: (1)

由冲激响应不变法可得：

(2) 先引用拉氏变换的结论

可得：

3．设有一模拟滤波器 抽样周期T = 2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数。

分析：

双线性变换法将模拟系统函数的S平面和离散的系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为。

解：

由变换公式 及 可得：

T = 2时：

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6aaa3b58ed3a87c24028915f804d2b160a4e86d4.html