华罗庚学校数学课本：二年级

华罗庚学校数学课本：二年级

上册

第一讲 速算与巧算

一、“凑整”先算

　　1.计算：（1）24+44+56

　　　　　　（2）53+36+47

　　解：（1）24+44+56=24+（44+56）

　　　　　　=24+100=124

　　这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.

　　　　（2）53+36+47=53+47+36

　　　　　　=（53+47）+36=100+36=136

　　这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.

　　2.计算：（1）96+15

　　　　　　（2）52+69

　　解：（1）96+15=96+（4+11）

　　　　　　=（96+4）+11=100+11=111

　　这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.

　　　　（2）52+69=（21+31）+69

　　　　　　=21+（31+69）=21+100=121

　　这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.

　　3.计算：（1）63+18+19

　　　　　　（2）28+28+28

　　解：（1）63+18+19

　　　　=60+2+1+18+19

　　　　=60+（2+18）+（1+19）

　　　　=60+20+20=100

　　这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.

　　　　（2）28+28+28

　　　　=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6

　　　　=30+30+30-6=90-6=84

　　这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.

　　二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变

　　计算：（1）45-18+19

　　　　　（2）45+18-19

　　解：（1）45-18+19=45+19-18

　　　　=45+（19-18）=45+1=46

　　这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.

　　　　（2）45+18-19=45+（18-19）

　　　　=45-1=44

　　这样想：加18减19的结果就等于减1.

三、计算等差连续数的和

　　相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9

　　1，3，5，7，9

　　2，4，6，8，10

　　3，6，9，12，15

　　4，8，12，16，20等等都是等差连续数.

　　1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：

　　（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　=5×9 中间数是5

　　=45 共9个数

　　（2）计算：1+3+5+7+9

　　=5×5 中间数是5

　　=25 共有5个数

　　（3）计算：2+4+6+8+10

　　=6×5 中间数是6

　　=30 共有5个数

　　（4）计算：3+6+9+12+15

　　=9×5 中间数是9

　　=45 共有5个数

　　（5）计算：4+8+12+16+20

　　=12×5 中间数是12

　　=60 共有5个数

　　2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：

　　（1）计算：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

　　=（1+10）×5=11×5=55

　　共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.

　　（2）计算：

　　3+5+7+9+11+13+15+17

　　=（3+17）×4=20×4=80

　　共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.

　　（3）计算：

　　2+4+6+8+10+12+14+16+18+20

　　=（2+20）×5=110

　　共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.

四、基准数法

　　（1）计算：23+20+19+22+18+21

　　解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.

　　23+20+19+22+18+21

　　=20×6+3+0-1+2-2+1

　　=120+3=123

　　6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.

　　（2）计算：102+100+99+101+98

　　解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.

　　102+100+99+101+98

　　=100×5+2+0-1+1-2=500

　　方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是把有的加数带有符号搬家）

　　102+100+99+101+98

　　=98+99+100+101+102

　　=100×5=500

　　可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.　

习题一

　　1.计算：（1）18+28+72

　　（2）87+15+13

　　（3）43+56+17+24

　　（4）28+44+39+62+56+21

　　2.计算：（1）98+67

　　（2）43+28

　　（3）75+26

　　3.计算：（1）82-49+18

　　（2）82-50+49

　　（3）41-64+29

　　4.计算：（1）99+98+97+96+95

　　（2）9+99+999

　　5.计算：（1）5+6+7+8+9

　　（2）5+10+15+20+25+30+35

　　（3）9+18+27+36+45+54

　　（4）12+14+16+18+20+22+24+26

　　6.计算：（1）53+49+51+48+52+50

　　（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84

　　7.计算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5

习题一解答

　　1.解：（1）18+28+72=18+（28+72）=18+100=118

　　　　　（2）87+15+13=（87+13）+15

　　　　　　=100+15=115

　　　　　（3）43+56+17+24

　　　　　　=（43+17）+（56+24）

　　　　　　=60+80=140

　　　　　（4）28+44+39+62+56+21

　　　　　　=（28+62）+（44+56）+（39+21）

　　　　　　=90+100+60=250

　　2.解：（1）98+67=98+2+65

　　　　　　=100+65=165

　　　　　（2）43+28=43+7+21=50+21=71

　　　　　　或43+28=41+（2+28）=41+30=71

　　　　　（3）75+26=75+25+1=100+1=101

　　3.解：（1）82-49+18=82+18-49

　　　　　=100-49=51

　　　　　（2）82-50+49=82-1=81

　　　　（减50再加49等于减1）

　　　　　（3）41-64+29=41+29-64

　　　　　=70-64=6

　　4.解：（1）99+98+97+96+95

　　　　　=100×5-1-2-3-4-5

　　　　　=500-15=485

　　　　（每个加数都按100算，再把多加的减去）或99+98+97+96+95=97×5=485

　　　　　（2）9+99+999=10+100+1000-3

　　　　　　=1110-3=1107

　　5.解：（1）5+6+7+8+9

　　　　　=7×5=35

　　　　　（2）5+10+15+20+25+30+35

　　　　　=20×7=140

　　　　　（3）9+18+27+36+45+54

　　　　　=（9+54）×3=63×3=189

　　　　　（4）12+14+16+18+20+22+24+26=（12+26）×4=38×4=152

　　6.解：（1）53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0

　　　　　=300+3=303

　　例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问：

　　（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？

　　（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？

　　（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？

　　解：如图2－6所示，看着图，想像涂色情况.当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面，参看图2－6所示.

　　（1）3面涂色的小立方体共有1个；

　　（2）4面涂色的小立方体共有4个；

　　（3）5面涂色的小立方体共有3个.

　　例4如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色，然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些切成的小立方体中，问：］

　　（1）1面涂成红色的有几个？

　　（2）2面涂成红色的有几个？

　　（3）3面涂成红色的有几个？

　　解：仔细观察图形，并发挥想像力，可知：

　　（1）上下两层中间的2块只有一面涂色；

　　（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块；

　　（3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后检验一下小立体总块数：

习题二

　　1.如图2－8所示，数一数，需要多少块砖才能把坏了的墙补好？

　　2.图2－9所示的墙洞，用1号和2号两种特型砖能补好吗？若能补好，共需几块？

　　3.图2－10所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块？

　　4.如图2－11所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1寸的小正方体.

　　求：（1）3面涂成红色的有多少块？

　　（2）2面涂成红色的有多少块？

　　（3）1面涂成红色的有多少块？

　　（4）各面都没有涂色的有多少块？

　　（5）切成的小正方体共有多少块？

　　5.图2－12所示为棱长4寸的正方体木块，将它的表面全染成蓝色，然后锯成棱长为1寸的小正方体.

　　问：（1）有3面被染成蓝色的多少块？

　　（2）有2面被染成蓝色的多少块？

　　（3）有1面被染成蓝色的多少块？

　　（4）各面都没有被染色的多少块？

　　（5）锯成的小正方体木块共有多少块？

　　6.图2－13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？

　　7.图2－14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围成的，你知道哪一条绳子长吗？（仔细观察，想办法比较出来）.

　　2+8+8=18（个）.

习题二解答

　　1.解：用10块砖可把墙补好，可以从下往上一层一层地数（发挥想像力）：

　　共1+2+2+1+2+2=10（块）.

　　如果用铅笔把砖画出来（注意把砖缝对好）就会十分清楚了，如图2－15所示.

　　2.解：仔细观察，同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号砖1块，也就是共需（如图2－16所示）

　　1+2=3（块）.

　　3.解：因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行分类数，再进行统计：

　　4.解：（1）3面涂色的有8块：它们是最上层四个角上的4块和最下层四个角上的4块.

　　（2）2面涂色的有12块：它们是上、下两层每边中间的那块共8块和中层四角的4块.

　　（3）1面涂色的有6块：它们是各面（共有6个面）中心的那块.

　　（4）各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块.

　　（5）共切成了3×3×3=27（块）.

　　或是如下计算：

　　8+12+6+1=27（块）.

　　5.解：同上题（1）8块；（2）24块；（3）24块；

　　（4）8块；（5）64块.

　　6.解：3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是图2—18中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）.

　　7.解：分类数一数可知，围成小猫的那条绳子比较长.因为小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成；小猫身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.

第三讲 数数与计数（二）

　　例1 数一数，图3－1中共有多少点？

　　解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：

　　第一层 1个

　　第二层 2个

　　第三层 3个

　　第四层 4个

　　第五层 5个

　　第六层 6个

　　第七层 7个

　　第八层 8个

　　第九层 9个

　　第十层 10个

　　第十一层 9个

　　第十二层 8个

　　第十三层 7个

　　第十四层 6个

　　第十五层 5个

　　第十六层 4个

　　第十七层 3个

　　第十八层 2个

　　第十九层 1个

　　总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）

　　=55+45=100（利用已学过的知识计算）.

　　（2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数

　　第一层 1个

　　第二层 3个

　　第三层 5个

　　第四层 7个

　　第五层 9个

　　第六层 11个

　　第七层 13个

　　第八层 15个

　　第九层 17个

　　第十层 19个

　　总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）.

　　（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）.

　　想一想：

　　①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.

　　②由方法1和方法3得出下式：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10

　　即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：

　　1=1×1

　　1+2+1=2×2

　　1+2+3+2+1=3×3

　　1+2+3+4+3+2+1=4×4

　　1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5

　　1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6

　　1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7

　　1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10

　　这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.

　　同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.

　　③由方法2和方法3也可以得出下式：

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.

　　即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：

　　1+3=2×2

　　1+3+5=3×3

　　1+3+5+7=4×4

　　1+3+5+7+9=5×5

　　1+3+5+7+9+11=6×6

　　1+3+5+7+9+11+13=7×7

　　1+3+5+7+9+11+13+15=8×8

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10

　　还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.

　　例2 数一数，图3－5中有多少条线段？

　　解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有：

　　AB AC AD AE AF 5条.

　　以B点为共同左端点的线段有：

　　BC BD BE BF 4条.

　　以C点为共同左端点的线段有：

　　CD CE CF 3条.

　　以D点为共同左端点的线段有：

　　DE DF 2条.

　　以E点为共同左端点的线段有：

　　EF1条.

　　总数5+4+3+2+1=15条.

　　（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.

　　总数5+4+3+2+1=15（条）.

　　想一想：①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：

　　还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.

　　②上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：

　　线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数 线段总条数

　　还可以一直写下去，同学们可以自己试试看.

　　例3 数一数，图3－9中共有多少个锐角？

　　解：（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.

　　所以，以OA边为公共边的锐角有：

　　∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，

　　∠AOF共5个.

　　以OB边为公共边的锐角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个.

　　以OC边为公共边的锐角有：∠COD，∠COE，∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有：∠DOE，∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有：∠EOF只1个.

　　锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.

　　②用图示法更为直观明了：如图3－10所示，锐角总数为：5+4+3+2+1=15（个）.

　　想一想：①由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见图3－11～15）

　　两条射线1个角（见图3－11）

　　三条射线2+1个角（见图3－12）

　　四条射线3+2+1个角（见图3－13）

　　五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）

　　六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）

　　总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比射线数小1.

　　②同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是：

　　角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角个数.

　　③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.

习题三

　　1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本？

　　2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘上共有多少个棋孔？

　　3.数一数，图3－18中有多少条线段？

　　4.数一数，图3－19中有多少锐角？

　　5.数一数，图3－20中有多少个三角形？

　　6.数一数，图3－21中有多少正方形？

习题三解答

　　1.解：方法1：从左往右一摞一摞地数，再相加求和：

　　10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10

　　=135（本）.

　　方法2：把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.

　　长方形中的书 10×11=110

　　三角形中的书 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25

　　总数：110+25=135（本）.

　　2.解：因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数.

　　仔细观察可知，图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是（从上往下数）：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1，2，3，4，所以棋孔总数是：（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+（1+2+3+4）×3=91+10×3=121（个）.

　　3.解：方法1：按图3－22所示方法数（图中只画出了一部分）

　　线段总数：7+6+5+4+3+2+1=28（条）.

　　方法2：基本线段共7条，所以线段总数是：

　　7+6+5+4+3+2+1=28（条）.

　　4.解：按图3－23的方法数：

　　角的总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.

　　5.解：方法1：（1）三角形是由三条边构成的图形.

　　以OA边为左公共边构成的三角形有：△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF，△OAG，△OAH，共7个；

　　以OB边为左公共边构成的三角形有：△OBC，△OBD，△OBE，△OBF，△OBG，△OBH，共6个；

　　以OC边为左公共边构成的三角形有：△OCD，△OCE，△OCF，△OCG，△OCH，共5个；

　　以OD边为左公共边构成的三角形有：△ODE，△ODF，△ODG，△ODH，共4个；

　　以OE边为左公共边构成的三角形有：△OEF，△OEG，△OEH，共3个；

　　以OF边为左公共边构成的三角形有：△OFG，△OFH，共2个；

　　以OG边和OH，GH两边构成的三角形仅有：△OGH1个；

　　三角形总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.

　　（2）方法2：显然底边AH上的每一条线段对应着一个三角形，而基本线段是7条，所以三角形总数为：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.

　　6.解：最小的正方形有25个，

　　由4个小正方形组成的正方形 16个；

　　由9个小正方形组成的正方形 9个；

　　由16个小正方形组成的正方形 4个；

　　由25个小正方形组成的正方形 1个；

　　正方形总数：25+16+9+4+1=55个.

第四讲 认识简单数列

　　我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.

　　在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习找出数列的生成规律；学会把数列中缺少的数写出来，最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题.

　　例1 找出下面各数列的规律，并填空.

　　（1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.

　　（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.

　　（3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.

　　（4）1，4，7，10，□，□，19，22，25.

（5） 5，10，15，20，□，□，35，40，45.

　　注意：自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.

　　例2 找出下面的数列的规律并填空.

　　1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.

　　解：这叫斐波那契数列，从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21，13+21=34.所以：

　　空处依次填：

　　例3 找出下面数列的生成规律并填空.

　　1，2，4，8，16，□，□，128，256.

　　解：它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的2倍.16×2=32，32×2=64，所以空处依次填：

　　例4 找出下面数列的规律，并填空.

　　1，2，4，7，11，□，□，29，37.

　　解：这数列规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是个自然数列：

　　例5 找出下面数列的规律，并填空：

　　1，3，7，15，31，□，□，255，511.

　　解：规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差的变化规律是个等比数列，后一个差是前一个差的2倍.

　　另外，原数列的规律也可以这样看：后一个数等于前一个数乘以2再加1，即后一个数=前一个数×2+1.

　　例6 找出下面数列的生成规律，并填空.

　　1，4，9，16，25，□，□，64，81，100.

　　解：这是自然数平方数列，它的每一个数都是自然数的自乘积.如：1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，，64=8×8，81=9×9，100=10×10.

　　若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚.

　　自然数列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

　　↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

　　自然数平方数列：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

　　例7 一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？（假定在坐满以前，无乘客下车，见表四（1））

　　方法2：由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78时，就可知道是到多少站了，

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）

　　可见第12站以后，车上坐满乘客.

　　例8 如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到一列数：3，10，17，……，73.这里3叫第一项，10叫第二项，17叫第三项，试求73是第几项？

　　解：从第1项开始，把各项依次写出来，一直写到73出现为止（见表四（2））.

　　可见73是第11项.

　　例9 一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？”小朋友，请你帮小明想一想？

　　解：小朋友，你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个纸盒的了！下面让我们算一算，看你想得对不对（见表四（3））.表四（3）

　　放满10个盒所需要的糖块总数：

　　可见100块糖是远远不够的，还差1946块呢！这可能是你没有想到的吧！其实，数学中还有很多很多奇妙无比的故事呢.

习题四

　　1.从1开始，每隔两个数写出一个自然数，共写出十个数来.

　　2.从1开始，每隔六个数写出一个自然数，共写出十个数来.

　　3.在习题一和习题二中，按题目要求写出的两个数列中，除1以外出现的最小的相同的数是几？

　　4.自2开始，隔两个数写一个数：2，5，8，……，101.

　　可以看出，2是这列数的第一项，5是第二项，8是第三项，等等.问101是第几个数？

　　5.如图4－1所示，“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的高度，而且整个图形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯形”的高度变为12个小正方形叠起来那样高，那么，整个图形应包括多少个小正方形？

　　6.如图4－2所示，把小立方体叠起来成为“宝塔”，求这个小宝塔共包括多少个小立方体？

　　7.开学的第一个星期，小明准备发起成立一个趣味数学小组，这时只有他一个人.他决定第二个星期吸收两名新组员，而每个新组员要在进入小组后的下一个星期再吸收两名新组员，求开学4个星期后，这个小组共有多少组员？

　　8.图4－3所示为细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，问经过10次分裂，一个细胞变成几个？

　　9.图4－4所示是一串“黑”、“白”两色的珠子，其中有一些珠子在盒子里，问

　　（1）盒子里有多少珠子？

　　（2）这串珠子共有多少个？

习题四解答

　　1.解：可以先写出从1开始的自然数列，再按题目要求删去那些不应该出现的数，就得到答案了：

　　即1，4，7，10，13，16，19，22，25，28

　　可以看出，这是一个等差数列，后面一个数比前面一个数大3.

　　2.解：仿习题1，先写前面的几个数如下：

　　可以看出，1，8，15，22，……也是一个等差数列，后面的一个数比前面的一个数大7.按照这个规律，可以写出所有的10个数：

　　1，8，15，22，29，36，43，50，57，64.

　3. 解：观察习题一和习题二两个数列：

　　可见两个数列中最小的相同数是22.

　　4.解：经仔细观察后可以看出，这是一个等差数列，后一个数比前一个数大3，即公差是3.下面再多写出几项，以便从中发现规律：（表四（4））

　　再仔细观察可知：

　　第二项=第一项+1×公差，即5＝2+1×3；

　　第三项=第一项+2×公差，即8=2+2×3；

　　第四项=第一项+3×公差，即11=2+3×3；

　　第五项=第一项+4×公差，即14=2+4×3；

　　…………

　　由于101=2+33×3；

　　可见，101是第34项，即第34个数.

　　5.解：仔细观察可发现，这个“阶梯形”图形最高处是4个小正方形时，它就有4个台阶，整个图形包括的小正方形数为：

　　1+2+3+4=10.

　　所以最高处是12个小正方形时，它必有12个台阶，整个图形包括的小正方形数为：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（个）.

　　6.解：从上往下数，小宝塔共有六层.仔细观察可发现如下规律（表四（5））：

　　所以六层小立方体的总数为：

　　1+3+6+10+15+21=56（个）.

　　7.解：列表如下：

　　4个星期后小组的总人数：

　　1+2+4+8=15（人）.

　　8.解：列表如下：

　　一个细胞经过10次分裂变为1024个.

　　9.解：仔细观察可知，这串珠子的排列规律是：

　　白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白

　　 1, 1,1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1,

　　①在盒子里有：

　　4+1+4=9（个）.

　　②这一串珠子总数是：

　　1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1

　　=1+2+3+4+5+6+7+（1+1+1+1+1+1+1+1）

　　=28+8=36（个）.

第五讲 自然数列趣题

　　本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们能很好地掌握它.

　　例1 小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”？

　　解：分类计算：

　　“1”出现在个位上的数有：

　　1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个；

　　“1”出现在十位上的数有：

　　10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个；

　　“1”出现在百位上的数有：100共1个；

　　共计10+10+1=21个.

　　例2 一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字？

　　解：分类计算：

　　从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9（个）；

　　从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180（个）；

　　第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用铅字的总数是：

　　9+180+3=192（个）.

　　例3 把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少？

　　解：（见图5—1）先按题要求，把1到100的一百个自然数全部写出来，再分类进行计算：

　　如图5—1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数字之和是：

　　（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10

　　=45×10

　　=450.

　　窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数字之和是：

　　1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10

　　+8×10+9×10

　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10

　　=45×10

　　＝450.

　　另外100这个数的数字和是1+0+0=1.

　　所以，这一百个自然数的数字总和是：

　　450+450+1=901.

　　顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力.比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来？

习题五

　　1.有一本书共200页，页码依次为1、2、3、……、199、200，问数字“1”在页码中共出现了多少次？

　　2.在1至100的奇数中，数字“3”共出现了多少次？

　　3.在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多少个？

　　4.一本书共200页，如果页码的每个数字都得用一个单独的铅字排版（比如，“150”这个页码就需要三个铅字“1”、“5”和“0”），问排这本书的页码一共需要多少个铅字？

　　5.像“21”这个两位数，它的十位数字“2”大于个位数字“1”，问从1至100的所有自然数中有多少个这样的两位数？

　　6.像“101”这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以后，数的大小并不改变，问从100至200之间有多少个这样的三位数？

　　7.像11、12、13这三个数，它们的数位上的各个数字相加之和是（1+1）+（1+2）+（1+3）=9.问自然数列的前20个数的数字之和是多少？

　　8.把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少？

　　9.从1到1000的一千个自然数的所有数字的和是多少？

习题五解答

　　1.解：分类计算，并将有数字“1”的数枚举出来.

　　“1”出现在个位上的数有：

　　1，11，21，31，41，51，61，71，81，91，

　　101，111，121，131，141，151，161，171，181，191

　　共20个；

　　“1”出现在十位上的数有：

　　10，11，12，13，14，15，16，17，18，19

　　110，111，112，113，114，115，116，117，118，119

　　共20个；

　　“1”出现在百位上的数有：

　　100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，

　　110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，

　　120，121，122，123，124，125，126，127，128，129，

　　130，131，132，133，134，135，136，137，138，139，

　　140，141，142，143，144，145，146，147，148，149，

　　150，151，152，153，154，155，156，157，158，159，

　　160，161，162，163，164，165，166，167，168，169，

　　170，171，172，173，174，175，176，177，178，179，

　　180，181，182，183，184，185，186，187，188，189，

　　190，191，192，193，194，195，196，197，198，199

　　共100个；

　　数字“1”在1至200中出现的总次数是：

　　20+20+100=140（次）.

　　2.解：采用枚举法，并分类计算：

　　“3”在个位上：3，13，23，33，43，53，63，73，83，93共10个；

　　“3”在十位上：31，33，35，37，39共5个；

　　数字“3”在1至100的奇数中出现的总次数：

　　10+5=15（次）.

　　3.解：枚举法：12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，62，67，72，77，82，87，92，97共18个.

　　4.解：分段统计，再总计.

　　页数 铅字个数

　　1～9共9页 1×9=9（个）（每个页码用1个铅字）

　　10～90共90页 2×90=180（个）（每个页码用2个铅字）

　　100～199共100页 3×100=300（个）（每个页码用3个铅字）

　　第200页共1页 3×1=3（个）（这页用3个铅字）

　　总数：9+180+300+3=492（个）.

　　5.解：列表枚举，分类统计：

　　10 1个

　　20 21 2个

　　30 31 32 3个

　　40 41 42 43 4个

　　50 51 52 53 54 5个

　　60 61 62 63 64 65 6个

　　70 71 72 73 74 75 76 7个

　　80 81 82 83 84 85 86 87 8个

　　90 91 92 93 94 95 96 97 98 9个

　　总数1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个）.

　　6.解：枚举法，再总计：

　　101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共10个.

　　7.解：分段统计（见表五（1）），再总计：

　　总的数字相加之和：45+45+10+2=102.

　　8.解：按题意，试着写出从1到100的自然数中的头、尾和中间的几部分：1，2，3，……，48，49，50，51，……，96，97，98，99，100.仔细观察可知：

　　若再补个0（并不影响题目的答案）还可以写出一个类似的算式：

　　0+99=99；

　　因此共得出50个99.而一个99的数字和是：9+9=18；

　　50个99的数字和是：18×50=900，再加上100这个数的数字和是1+0+0=1，就得出从1到100的所有自然数的数字之和为901.

　　照以上方法列出算式就非常简洁：

　　（9+9）×50+1=901.

　　9.解：（见图5—2）写出1～1000的自然数列的头、尾和中间的几部分，并在1的前面加个“0”；

　　又因为9+9+9=27，

　　1+0+0+0=1，

　　所以从1～1000的所有自然数的所有数字之和为：

　　27×500+1=13501.

习题六

　　1.观察图6—4中的点群，请回答：

　　（1）方框内的点群包含多少个点？

　　（2）第10个点群中包含多少个点？

　　（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？

　　2.观察下面图6—5中的点群，请回答：

　　（1）方框内的点群包含多少个点？

　　（2）推测第10个点群中包含多少个点？

　　（3）前10个点群中，所有点的总数是多少？

　　3.观察图6—6中的点群，请回答：

　　（1）方框内的点群包含多少个点？

　　（2）推测第10个点群包含多少个点？

　　（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？

　　4.图6—7所示为一堆砖.中央最高一摞是10块，它的左右两边各是9块，再往两边是8块、7块、6块、5块、4块、3块、2块、1块.

　　问：（1）这堆砖共有多少块？

　　（2）如果中央最高一摞是10O块，两边按图示的方式堆砌，问这堆砖共多少块？

　　5.图6—8所示为堆积的方砖，共画出了五层.如果以同样的方式继续堆积下去，共堆积了10层，问：

　　（1）能看到的方砖有多少块？

　　（2）不能看到的方砖有多少块？

习题六解答

　　1.解：（1）数一数，前四个点群包含的点数分别是：1，5，9，13.

　　不难发现，这是一个等差数列，公差是4，可以推出，第5个点群包含的点数是：

　　13+4=17（个）.

　　（2）下面依次写出各点群的点数，可得第10个点群的点数为37.

　　（3）前十个点群的所有点数为：

　　2.解：（1）数一数，前4个点群包含的点数分别是：

　　1，4，9，16.

　　不难发现，这是一个自然数平方数列.所以第5个点群（即方框中的点群）包含的点数是：

　　5×5=25（个）.

　　（2）按发现的规律推出，第十个点群的点数是：

　　10×10=100（个）.

　　（3）前十个点群，所有的点数是：

　　3.解：（1）数一数，前四个点群包含的点数分别是：4，8，12，16.

　　不难发现，这是一个等差数列，公差是4，可以推出，第5个点群（即方框中的点群）包含的点数是：

　　16+4=20（个）.

　　（2）下面依次写出各点群的点数，可得第10个点群的点数为40.

　　（3）前十个点群的所有的点数为：

　　4.解：从最简单情况入手，找规律：

　　按着这种规律可求得：

　　（1）当中央最高一摞是10块时，这堆砖的总数是：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4

　　+3+2+1

　　=10×10=100（块）.

　　（2）当中央最高一摞是100块时，这堆砖的总数是：

　　1+2+3+……+98+99+100+99+98+……+3+2+1

　　=100×100=10000（块）.

　　5.解：（1）数一数，前五层中各层可见的方砖数是：1，3，5，7，9

　　不难发现，这是一个奇数列.照此规律，十层中可见的方砖总数是：

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

　　=100（块）.

　　（2）再想一想，前五层中，各层不能看到的方砖数是：

　　第一层 0块； 第二层 1块； 第三层 4块；

　　第四层 9块； 第五层 16块；

　　不难发现，1，4，9，16是自然数平方数列，按照此规律把其余各层看不见的砖块数写出来（如下表）：

　　则看不见的砖块总数为：

第七讲 找规律（二）

　　例1 仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图？

　　解：仔细观察图7—1，可知：

　　第1组左边是个大菱形，右边是个小菱形.

　　第2组左边是个大三角形，右边是个小三角形.

　　其规律是：每组中左右两边图形的形状相同，大小不同.都是左边的图形大，右边的图形小.

　　猜出答案：第3组中右边空白格内应填个小长方形.（如图7—3）.

　　仔细观察图7—2可知：

　　第1组左边是个圆，而且左半圆涂有阴影线.右边是左边的阴影半圆顺时针旋转后放置的.

　　第2组左边是个等腰三角形，而且左半部（直角三角形）涂有阴影线，右边是左边阴影直角三角形顺时针旋转后放置的.

　　其规律是：每组的右边格内的图形都是左边图形左边的一半，顺时针旋转放置后成为右边图形.

　　猜出答案：第3组中右框内应填个阴影小长方形.如图7—4示.

　　例2 按顺序仔细观察图7—5、7—6的形状，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？

　　解：图7—5的？处应填○▲.注意观察第1组和第2组，每组都是由三对小图形组成；而每对小图形都是由一个“空白”的和一个“黑色”的小图形组成；而且它俩的排列顺序都是“空白”的在左边，“黑色”的在右边.

　　再按着第1、第2、第3组的顺序观察下去，可发现每对小图形在各组中的位置的变化规律：它们都在向左移动，当一对小图形移动到最左边后，下一步它就回到了最右边.按这个移动规律，可知图7—5中第3组“？”处应填：○▲.

　　图7—6的？处应填□△0.仔细观察可发现第1组和第2组中间的部分都是由三个小图形构成的.构成的规律是：当你按照第1、第2、第3组的顺序观察时，6个小图形都在向左移动，而且移动的同时又在重新分组和组合，但排列顺序保持不变，当某一个小图形移动到了最左边时，下一步它就回到了最右边.按这个规律可知图7—6中第3组中间“？”处是：□△0.

　　例3 观察图7—7的变化，请先回答：在方框（4）中应画出怎样的图形？

　　再答按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框中是怎样的图形？

　　解：先按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可发现：

　　方框中的箭头是按逆时针方向旋转的；方框中的其他小图形，如△、□和○也都是按逆时针方向旋转的.

　　也就是说，方框连同内部的所有小图形作为一个整体在按逆时针方向旋转.

　　因此，方框（4）中的小图形应画成图7—8状.再按已找到的规律，进一步可发现图形的变化是有“周期性”的，也就是说，每过4个方框后，同样的图形又重新出现一次.如，你可看到第（1）和第（5）是完全一样的；因此，你可以想像得到，第（2）和第（6）及第（10）个图形应当是完全一样的.即第（10）个方框中的图形应是图7—9所示的样子.

　　例4 观察图7—10的变化，请先回答：

　　第（4）、（8）个图中，黑点在什么地方？

　　第（10）、（18）个图中，黑点在什么地方？

　　解：（1）按图7—10中（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可发现黑点位置的变化规律：

　　在（1）中，黑点在最上面第一条横线上；

　　在（2）中，黑点下降了一格，在上面第二条横线上；

　　在（3）中，黑点又下降了一格，在中间一条线上了.

　　按黑点位置的这种变化可推测出：

　　在（4）中，黑点又下降一格，它的位置应如图7—11所示.

　　继续观察下去：

　　在（5）中，黑点下降到最下面的一条横线上；

　　在（6）中，黑点开始往上升一格；

　　在（7）中，黑点再上升一格，按着黑点位置的这种变化可推测出：

　　在（8）中，黑点又上升一格，它的位置应如图7—12所示.

　　（2）进一步仔细观察图7—10（1）～（9），可发现黑点位置变化的“周期性”规律：也就是说，每隔8个小图，黑点又回到原来的位置.

　　因为2+8=10，2+8+8=18.

　　所以第（10）、（18）个小图中，黑点的位置应与第（2）个小图相同，见图7—13所示.

习题七

　　1.仔细观察图7—14，找找变化规律，猜猜在第3组的空白格内填一个什么样的图？

　　2.仔细观察图7—15，找找变化规律，猜猜在第3组的空白格内填一个什么样的图？

　　3.仔细观察图7—16，找找变化规律，猜猜在第3组的空白格内填一个什么样的图？

　　4.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？

　　5.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？

　　6.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”应填什么图？

　　7.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”应填什么图？

　　8.仔细观察下列图形的变化，请先回答：

　　①在方框（4）中应画出怎样的图形？

　　②再按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框是怎样的图形？

　　9.仔细观察下列图形的变化，请先回答：

　　①在方框（4）中应画出怎样的图形？

　　②再按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框是怎样的图形？

习题七解答

　　1.答：（见图7—23）.

　　2.答：（见图7—24）.

　　3.答：（见图7—25）.

　　4.答（见图7—26）.

　　5.答：（见图7—27）.

　　6.答：（见图7—28）.

　　7.答：（见图7—29）.

　　8.答：（见图7—30）.

　　①先按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可以发现：

　　在（1）中，*在左上角，在（2）中它在右上角，在（3）中它在右下角，……可见它在沿顺时针方向转动.

　　其他三个小图形，即□、△、○，也和*一样都在沿着顺时针方向转动.

　　发现规律：因方框中的每个小图形的位置的变化都是按顺时针方向旋转，可以说，方框连同内部的小图形及整体在按顺时针方向旋转.

　　②进一步猜想，根据所发现的规律进一步推测可知，第（4）个方框中的图形的样子.

　　③按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，进一步还可发现，图形的变化是有“周期性”的，也就是说，每过4个方框后，完全同样的图形又重新出现，如第（1）、（5）、（9）个图形是完全一样的.因为2＋4＋4=10，所以第（10）个方框内的图形与第（2）完全相同.

　　9.答：（见图7—31）

第八讲 找规律（三）

　　数学家看问题，总想找规律.我们学数学，也要向他们学习.找规律，要从简单的情况着手，仔细观察，得到启示，大胆猜想，找出一般规律，还要进行验证，最后还需要证明（在小学阶段不要求同学们进行证明）.

　　例1 沿直尺的边缘把纸上的两个点连起来，这个图形就叫做线段.这两个点就叫线段的端点，如图8—1—1所示.不难看出，线段也可以看成是直线上两点间的部分.如果一条直线上标出11个点，如图8—1—2所示，任何两点间的部分都是一条线段，问共有多少条线段.

　　解：先从简单的情况着手.

　　（1）画一画，数一数：（见图8—1—3）

　　（2）试着分析：

　　2个点，线段条数：1=1

　　3个点，线段条数：3=2+1

　　4个点，线段条数：6=3+2+1

　　5个点，线段条数：10=4+3+2+1

　　（3）大胆猜想：一条直线上有若干点时线段的条数总是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比点数小1.

　　（4）进行验证：对于更多点的情况，对猜想进行验证，看猜想是否正确，如果正确，就增加了对猜想的信心.如：

　　6个点时：对不对？

　　——对.见图 8—1—4.

　　线段条数：5+4+3+2+1=15（条）.

　　（5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题.

　　当直线上有11个点时，线段的条数应是：

　　10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（条）.

　　例2 如图8—2中（1）～（5）所示两条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，……那么，11条直线相交最多有多少交点？

　　解：从简单情况着手研究：

　　（1）画一画、数一数

　　图8-2

　　（2）试着分析：

　　直线条数 最多交点数

　　1 0

　　2 1=1

　　3 3=2+1

　　4 6=3+2+1

　　5 10=4+3+2+1

　　（3）大胆猜想：若干条直线相交时，最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比直线条数小1.

　　（4）进行验证：见图8—3.取6条直线相交，画一画，数一数，看一看最多交点个数与猜想的是否一致，若相符，则更增强了对猜想的信心.

　　用猜想的算法进行计算：最多交点数应是

　　5+4+3+2+1=15（个）.

　　（5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题.当有11条直线相交时，最多的交点数应是：

　　10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）.

　　例3 如图8—4所示，一张大饼，切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……问切10刀最多切成多少块？

　　解：从最简单情况着手研究.

　　（1）画一画、数一数

　　（2）试着分析：

　　所切刀数 切出的块数

　　0 1

　　1 2=1+1

　　2 4=1+1+2

　　3 7=1+1+2+3

　　4 11=1+1+2+3+4

　　（3）大胆猜想：把一张大饼切若干刀时，切成的最多块数等于从1开始的一串自然数相加之和加1.其中最大的自然数等于切的刀数.

　　（4）进行验证：见图8—5对大饼切5刀的情况用两种方法求解，看结果是否一致，若一致则更增强了对猜想的信心.

　　①数一数：16块.

　　②算一算：1+1+2+3+4+5=16（块）.

　　（5）应用规律：把大饼切10刀时，最多切成的块数是：

　　1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

　　=1+55

　　=56（块）.

习题八

　　1.如图8—6所示，直线上有13个点，任意两点间的部分都构成一条线段，问共构成多少条线段？

　　2.如图8—7所示，两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有六个交点，……，问十三条直线最多有几个交点？

　　3.图8—8所示为切大饼示意图，已知切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……，问切12刀最多切成多少块？

　　4.如图8—9所示，将自然数从小到大沿三角形的边成螺旋状，排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，问在第十个拐弯处的自然数是几？

　　5.如图8—10所示为切大饼的示意图.切一刀只有一种切法，切两刀有2种切法，切三刀有4种切法，……，问切十一刀有多少种切法（规定：三刀或三刀以上不能切在同一点上，如图8—11所示）？

习题八解答

　　1.解：利用例1得到的规律可知：一条直线上有若干点时，线段的条数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比点数小1.

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

　　=78（条）.

　　2.解：利用例2得到的规律可知，有若干条直线相交时，最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比直线条数小1.

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

　　=78（个）.

　　3.解：利用例3得到的规律可知，把一张大饼切若干刀时，切成的最多块数，等于从1开始的一串自然数相加之和加1，其中最大的自然数等于切的刀数.

　　1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

　　=1+78

　　=79（块）.

　　4.解：方法1：观察图8—12，仔细分析找规律.

　　第一个拐弯处 2=1+1

　　第二个拐弯处 4=1+1+2

　　第三个拐弯处 7=1+1+2+3

　　第四个拐弯处 11=1+1+2+3+4

　　第五个拐弯处 16=1+1+2+3+4+5

　　发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串自然数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个自然数.

　　所以第十个拐弯处的数是：

　　1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56.

　　方法2：由于此题比较简单，把图形画出来（图8—12），按要求把自然数排列在三角形的边上，答案也是56.

　　5.解：对简单的情况，仔细观察、分析，大胆猜想，找出规律，用于解决复杂的情况.如图8—13所示：切一刀，1种切法：1=1

　　切两刀，2种切法：2=1+1

　　切三刀，4种切法：4=1+1+2

　　大胆猜想，切四刀的切法数应为：

　　1+1+2+3=7种切法.

　　进行验证（实际切切看）：

　　应用得到的规律，求得切十一刀的不同切法数为：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

　　=1+55

　　=56（种）.

第九讲 填图与拆数

　　填图是一种运算游戏，它要求把一些数字按照一定的规则填进各类图形.这不仅可以提高运算能力，而且更能促使你积极地去思考问题、分析问题，使你的智力得到更好地发展.

　　例1 请你把1、2、3这三个数填在图9.1中的方格中，使每行、每列和每条对角线上的三个数字之和都相等.

　　解：这样想，如果每行的三个数分别是1、2、3，每列的三个数也分别是1、2、3，那么自然满足每行、每列的三个数之和相等这个条件的要求.试着填填看.有图9—2、图9—3和图9—4三种不同的填法，检查一下，只有图9—4的填法，满足对角线上的三个数之和与每行、每列三数之和相等这个条件的要求.

　　例2 请把1～9九个数字填入图9—5中，要求每行、每列和每条对角线上三个数的和都要等于15.

　　解：从1～9这九个数字中，5是处于中间的一个数，而4与6，3与7，2与8，1与9之和都正好是10.所以5应当填在中心的空格中，而其他八个数字应当填到周边的方格中.上面图9—6就是一个符合要求的解答，把5填在中心空格后，尝试几次是不难得出这种答案的.

　　例3 如下面图9—9所示有八张卡片.卡片上分别写有1、2、3、4、5、6、7、8八个数.现在请你重新按图 9—10进行排列，使每边三张卡片上的数的和等于：①13，②15.

　　解：①要使每边三张卡片上的数相加之和等于13时，就要将13分拆成三个数之和.

　　以上的分拆是分两步进行的.

　　可以看出，因为8+5=13，所以8和5不能填在同一边（若把8和5填在同一边，再加上第三个数时必然会大于13，这不符合题目要求），也就是说，要把8和5分别填在相对的两个角上的方格里.如图9—11所示.

　　②要使每边三张卡片上的数相加之和等于15时，就要将15分拆成三个数之和：

　　以上的分拆也是分两步进行的.

　　可以看出，因为8+7=15，所以8和7不能填在同一边，也就是说，要把8和7分别填在相对的两个角的方格里，如图9—12所示.

　　例4 图9—13是由八个小圆圈组成的，每个小圆圈都有直线与相邻的小圆圈相接连.请你把1、2、3、4、5、6、7、8八个数字分别填在八个小圆圈内，但相邻的两个数不能填入有直线相连的两个小圆圈（例如，你在最上头的一个小圆圈中填了5，那么4和6就不能填在第二层三个小圆圈中了）.

　　解：答案如图9—14所示.中间的两个圈只能填1和8，是这样分析出来的：在1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字中，只有“1”和“8”这两个数，各有一个相邻的数，也就是有六个不相邻的数.中间的两个小圆圈，每个都有六条线连着六个小圆圈，每个小圆圈中恰好能填一个与它不相邻的数.其余的数每个都有两个相邻的数，如4有两个相邻的数2和3，所以在1至8这八个数中4只有五个不相邻的数，这样4就不能填到中间的小圆圈中了.

习题九

　　1.在图9—15，9—16中，只能用图中已有的三个数填满其余的空格，并要求每个数字必须使用3次，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都必须相等.

　　2.把10、12、14这三个数填在图9—17的方格中，使每行、每列和每条对角线上的三个数之和都相等.

　　3.在图9—18中，三个圆圈两两相交形成七块小区域，分别填上1～7七个自然数，在一些小区域中，自然数3、5、7三个数已填好，请你把其余的数填到空着的小区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是15.

　　4.与第3题的图相似，只是已经把1、4、6三个数填好，请你继续把图9—19填满.

　　5.图9—20中有三个大圆，在大圆的交点上有六个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6六个数分别填在六个小圆圈里，要求每个大圆上的四个小圆圈中的数之和都是14.

　　6.图9—21是由四个三角形组成的，每个三角形上都有三个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数填在九个小圆圈中，让每个三角形上的三个数之和都是15.

　　7.图9—22是由四个扁而长的圆圈组成的，在交点处有8个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填在8个小圆圈中.要求每个扁长圆圈上的四个数字的和都等于18.

习题九解答

　　1.解：因为空格中只能用4、6、8填，不难看出左上角的空格只能填6，见图9—23.同样道理，右下角也只能填6，见图9—24.下一步就能容易地填满其他空格了（见图9— 25）.

　　在图9—16中，显然右下角应填7，见图9—26.而右上角应填5，见图9—27.这样其他空格随之就可以填满了，见图9—28.

　　2.解：模仿例1的填法.首先将10、12、14三个数的中间数12填在中心方格中，并使一条对角线上的三个数都是12，见图9—29，第二步再按要求填满其他空格就容易了，见图9—30.

　　3.解：这样想，图9—18中还空着四个小区域需要填入四个数：1、2、4、6.还可看出中心的一个小区域属于三个圆圈，这里应填哪个数呢？下面用拆数方法来分析确定.

　　先见图9—18中的圆圈Ⅰ，圆中已有两个数5和7，所以空着的两个小区域应填的两个数之和为15-5-7=3.再将3分拆成3=1+2，但是在1和2中应把哪一个填到中心的小区域里，现在还不能肯定下来.

　　再看圆圈Ⅱ，圆中已有两个数5和3，15-5-3=7，而7=1+6，即可把7分拆成7=1+6.

　　最后看圆圈Ⅲ，15-3-7=5，而5=1+4.至此可以看出，应该把“1”填在中心的小区域了（见图9—31）.

　　4.解：模仿第3题解法拆数：

　　要填2、3、5、7.

　　15-4-6=5，5=2+3

　　15-1-6=8，8=3+5

　　15-1-4=10，10=3+7

　　所以，应把3填在中心的小区域，见图9—32.

　　5.解：如图9—33所示，因为要求大圆上的四个小圆圈中的四个数之和等于14，所以就要把14分拆成四个数相加之和，而且按题目要求这四个数要在1、2、3、4、5、6中选取；14=6+5+2+1，

　　14=6+4+3+1，

　　14=5+4+3+2.

　　6.解：先将15分拆成三个数之和，并且要求各数在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数中选取.用二步分拆法：

　　15=9+6=9+5+1

　　15=8+7=8+4+3

　　15=7+8=7+6+2

　　以上三式把九个数都用上了.这样（9，5，1）、（8，4，3）和（7，6，2）就可以分别填入角上的3个三角形中.再注意到中间的三角形的三个小圆圈分属于角上的3个三角形，所以从三组中各取一个数重新组成一组填入中间三角形，如取（9，4，2），填出下面的结果，见图9—34.注意此题填法不惟一，你还能想出别种填法吗？

　　7.解：因为题目要求扁长圆圈上的四个数之和等于18，所以就要将18分拆成四个不相等的整数之和，而且各数要从1～8这八个数中选取.如：

　　18=8+7+2+1

　　18=8+5+2+3

　　18=7+6+4+1

　　18=6+5+4+3

　　即得到四组数：（8，7，2，1）、（8，5，2，3）、（7，6，4，1）、（6，5，4，3），把它们填入扁长圆圈时，注意适当调整，就可以得出题目的答案如图9—35所示.

第十讲 考虑所有可能情况（一）

　　有些数学题，要求把符合条件的算式或得数全部找出来；若漏掉一个，答案就不对.做这种题，特别强调有秩序的思考.

　　例1 从2个5分硬币、5个2分硬币、10个1分硬币中，拿出1角钱来，有多少种不同的拿法？

　　解：找出所有不同的搭配情况，共10种见下表.

　　例2 5个茶杯的价钱分别是9角、8角、6角、4角和3角，3个茶盘的价钱分别是7角、5角和2角；如果一个茶杯配一个茶盘，一共可以配成多少种不同价钱的茶具？

　　解：采取“笨”办法进行搭配.先把各种不同价钱的茶杯都配上一个7角钱的茶盘，得出不同价钱的茶具如下：

　　将这些茶杯与5角钱的茶盘搭配，又可得出一些不同价钱的茶具，但要注意去掉那些与前面相同的价钱：

　　再将这些茶杯与2角钱的茶盘搭配，同时去掉那些与前面相同的价钱：

　　最后数一数，共有10种不同价钱的茶具.这些价钱是1元6角，1元5角，1元4角，1元3角，1元1角，1元，9角，8角，6角，5角.

　　例3 将无法区分的7个苹果放在三个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放.问共有多少种不同的放法？

　　解：用数字代表盘子里的苹果数，用由3个数字组成的数组表示不同的放置方式.如（7，0，0）表示：一个盘子里放7个苹果，而另外两个盘子里都空着不放.各种可能的放置情况如下：

　　（7，0，0）

　　（6，1，0）

　　（5，2，0），（5，1，1）

　　（4，3，0），（4，2，1）

　　（3，3，1），（3，2，2）

　　数一数，共有8种不同的放法.

　　例4 把一个整数表示成若干个小于它的自然数之和，通常叫做整数的分拆.问整数4有多少种不同的分拆方式？

　　解：分拆时，使自然数按由大到小的顺序出现.可以看出，共有4种不同的分拆方式：

　　4=3+1

　　4=2+2

　　4=2+1+1

　　4=1+1+1+1.

　　例5 邮局门前共有5级台阶.若规定一步只能登上一级或两级，问上这个台阶共有多少种不同的上法？

　　解：如图10—1，同时用数组表示不同的上法.

　　（1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有1种上法.

　　见图10—2，①（2，1，1，1）②（1，2，1，1）

　　③（1，1，2，1）④（1，1，1，2）

　　表示有一步上两个台阶，其他几步都各上一个台阶，共有四种上法.

　　见图10—3，①（2，2，1），②（1，2，2），

　　③（2，1，2）.

　　表示有两步各上两个台阶，有一步上一个台阶，这种上法共有3种.因此，上台阶共有1+4+3=8种不同的上法.

习题十

　　1.现有5分币一枚，2分币三枚，1分币六枚，若从中取出6分钱，有多少种不同的取法？

　　2.从1个5分，4个2分，8个1分硬币中拿出8分钱，你能想出多少种不同的拿法？

　　3.把3个无法区分的苹果放到同样的两个抽屉里，有多少种不同的放法？

　　4.把4个苹果放到同样的2个抽屉里，有多少种不同的放法？

　　5.整数6有多少种不同的分拆方式？

　　6.用分别写着1，2，3的三张纸片，可以组成多少个不同的三位数？

　　7.一个盒中装有七枚硬币，两枚1分的，两枚5分的，两枚1角的，一枚5角的，每次取出两枚，记下它们的和，然后放回盒中.如此反复地取出和放回，那么记下的和至多有多少种不同的钱数？

　　8.一个外国小朋友手中有4张3分邮票和3张5分邮票.请你帮他算一算，他用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？

习题十解答

　　1.解：有5种不同的取法.（见下表）

　　2.解：有7种不同的拿法.（见下表）

　　3.解：有2种不同的放法.第1种放法：3个苹果全放在一个抽屉里，另一个抽屉空着不放；第2种放法：2个苹果放在一个抽屉里，1个苹果放在另一个抽屉里；注意：在每种放法中，必有一个抽屉里的苹果数等于或大于2.

　　4.解：有3种不同的放法.

　　第1种放法：甲抽屉中放4个，乙抽屉中不放；

　　第2种放法：甲抽屉中放3个，乙抽屉中放1个；

　　第3种放法：甲、乙抽屉中各放2个苹果；

　　注意：这三种放法中，无论哪种放法，都必有一个抽屉里的苹果数等于或大于2.

　　5.解：6的不同分拆方式共有10种，它们是：

　　①拆成两个数之和：

　　6=5+1=4+2=3+3

　　②拆成三个数之和：

　　6=4+1+1=3+2+1=2+2+2

　　③拆成四个数之和：

　　6=3+1+1+1=2+2+1+1

　　④拆成五个数之和：

　　6=2+1+1+1+1

　　⑤拆成六个数之和：

　　6=1+1+1+1+1+1.

　　6.解：可以组成6个不同的三位数.下面是用选择填空法组数；见图10－5.

　　7.解：列举出两枚硬币搭配的所有情况：

　　硬币 算式和钱数

　　1分、1分1+1=2（分）

　　1分、5分 1+5=6（分）

　　1分、10分 1+10=11（分）（即1角1分）

　　1分、50分 1+50=51（分）（即5角1分）

　　5分、5分 5+5=10（分）（即1角）

　　5分、10分 5+10=15（分）（即1角5分）

　　5分、50分 5+50=55（分）（即5角5分）

　　10分、10分 10+10=2O（分）（即2角）

　　10分、50分10+50=60（分）（即6角）

　　共有9种不同的钱数.

　　8.解：把所有的情况都列举出来：4张3分邮票可组成4种邮资：

　　3分，6分，9分，12分.

　　3张5分邮票可组成3种邮资：

　　5分，10分，15分.

　　两种邮票搭配可组成12种邮资：

　　3+5=8（分） 3+10=13（分）

　　3+15=18（分） 6+5=11（分）

　　6+10=16（分） 6+15=21（分）

　　9+5=14（分） 9+10=19（分）

　　9+15=24（分） 12+5=17（分）

　　12+10=22（分） 12+15=27（分）

　　共可组成4+3+12=19种不同的邮资.

第十一讲 考虑所有可能情况（二）

　　例1 象右边竖式那样十位数字和个位数字顺序相颠倒的一对二位数相加之和是99，问这样的两位数共有多少对？

　　解：不难看出，这样的两位数共有4对，它们是：（18，81），（27，72），（36，63），（45，54）.

　　例2 一些十位数字和个位数字相同的二位数可以由十位数字和个位数字不同的两个二位数相加得到，如12+21=33（人们通常把12和21这样的两个数叫做一对倒序数）.问在100之内有多少对这样的倒序数？

　　解：十位数字和个位数字相同的二位数有：11、22、33、44、55、66、77、88、99九个.其中11和22都不能由一对倒序数相加得到.其他各数的倒序数是：

　　33：12和21………………………………………… 1对

　　44：13和31………………………………………… 1对

　　55：14和41、23和32…………………………… 2对

　　66：15和51、24和42…………………………… 2对

　　77：16和61、25和52、34和43………………… 3对

　　88：17和71、26和62、35和53…………………3对

　　99∶18和81、27和72、36和63、45和54…4对