一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．
一、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程，用配方法将其变形为：
() 当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
() 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
() 当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把
叫做一元二次方程
的根的判别式，表示为：
【例】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
() ()
()
解：()，∴ 原方程有两个不相等的实数根．
() 原方程可化为：
，∴ 原方程有两个相等的实数根．
() 原方程可化为：
，∴ 原方程没有实数根．
说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．
【例】已知关于的一元二次方程
，根据下列条件，分别求出
的范围：
() 方程有两个不相等的实数根； () 方程有两个相等的实数根
()方程有实数根； () 方程无实数根．
解：
()； ()
；
()； ()
．
【例】已知实数、
满足
，试求
、
的值．
解：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：
由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：
，
代入原方程得：．
综上知：
二、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的两个根为：
所以：，
定理：如果一元二次方程的两个根为
，那么：
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．
【例】若是方程
的两个根，试求下列各式的值：
()； ()
； ()
； ()
．
分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．
解：由题意，根据根与系数的关系得：
()
()
()
()
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
，
，
，
，
，
等等．韦达定理体现了整体思想．
【例】已知关于的方程
，根据下列条件，分别求出
的值．
() 方程两实根的积为； () 方程的两实根满足
．
分析：() 由韦达定理即可求之；() 有两种可能，一是，二是
，所以要分类讨论．
解：() ∵方程两实根的积为
∴
所以，当时，方程两实根的积为．
() 由得知：
①当时，
，所以方程有两相等实数根，故
；
②当时，
，由于
，故
不合题意，舍去．
综上可得，时，方程的两实根
满足
．
说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．
【例】已知是一元二次方程
的两个实数根．
() 是否存在实数，使
成立？若存在，求出
的值；若不存在，请您说明理由．
() 求使的值为整数的实数
的整数值．
解：() 假设存在实数，使
成立．
∵一元二次方程的两个实数根
∴，
又是一元二次方程
的两个实数根
∴
∴
，但
．
∴不存在实数，使
成立．
()∵
∴ 要使其值是整数，只需能被整除，故
，注意到
，
要使的值为整数的实数
的整数值为
．
说明：() 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．
() 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法．
组
．一元二次方程有两个不相等的实数根，则
的取值范围是( )
． ．
．
．
．若是方程
的两个根，则
的值为( )
． ．
．
．
．已知菱形的边长为，两条对角线交于点，且、的长分别是关于的方程
的根，则
等于( )
． ．
．
．
．若是一元二次方程
的根，则判别式
和完全平方式
的关系是( )
． ．
．
．大小关系不能确定
．若实数，且
满足
，则代数式
的值为( )
． ．
．
．
．如果方程的两根相等，则
之间的关系是
．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 ．
．若方程的两根之差为，则
的值是 ．
．设是方程
的两实根，
是关于
的方程
的两实根，则
，
．
．已知实数满足
，则
，
，
．
．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论
取什么实数，其值都不可能等于．您是否同意他的看法？请您说明理由．
．若，关于
的方程
有两个相等的的正实数根，求
的值．
．已知关于的一元二次方程
．
() 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
() 若方程的两根为，且满足
，求
的值．
．已知关于的方程
的两根是一个矩形两边的长．
()取何值时，方程存在两个正实数根？
() 当矩形的对角线长是时，求
的值．
组
．已知关于的方程
有两个不相等的实数根
．
() 求的取值范围；
() 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出
的值；如果不存在，请您说明理由．
．已知关于的方程
的两个实数根的平方和等于．求证：关于
的方程
有实数根．
．若是关于
的方程
的两个实数根，且
都大于．
() 求实数的取值范围； () 若
，求
的值．
第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案
组
． ． ． ． ．
． ． ． 或
．
． ．正确 ．
． ．
组
． () 不存在
． ()当
时，方程为
，有实根；() 当
时，
也有实根．
．() ； ()
．
天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感。 良言一句三冬暖，恶语伤人六月寒，下面是板报网为大家分享的有关激励人的名言，激励人心的句子，希望能够在大家的生活学习工作中起到鼓励的作用。不要心存侥幸，避免贪婪的心作怪，这会令你思考发生短路。如果你不是步步踏实，学习确是件困难的事，但不怕不会，就怕不学，有谁生下来就是文学家，任何一件事情都要经历一个过程，学习同样如此，在学习的过程中，暴露出的问题也会越来越多，但如果不经历这样的磨练，学习就失去了意义。 沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。 我长大有写东西我们无能为力于是最后躲避最后的最后面对也只能面对，因为我们要活着。活着就不能被打败。这个季节梧桐大片大片的飘落花渐渐的凋零，没有声音。好象在编织着一个诱人的梦。也许是金榜题名的美梦啊,前事不忘，后事之师。
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/639e492a68dc5022aaea998fcc22bcd126ff42af.html
文档为doc格式