（完整版）命题及其关系、充分条件与必要条件知识点与题型归纳

●高考明方向

1.理解命题的概念．

2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、

否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.

★备考知考情

常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，

考查形式以选择题为主，试题多为中低档题目，

命题的重点主要有两个：

一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断；

二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维.

一、知识梳理《名师一号》P4

知识点一 命题及四种命题

1、命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假 的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

注意：

命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句

都不是命题。

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系．

(2)四种命题的真假关系

word/media/image2.gif两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

word/media/image3.gif两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．

注意：(补充)

1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题

2、常见词语的否定

知识点二 充分条件与必要条件

1、充分条件与必要条件的概念

（1）充分条件：

8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png 则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分条件

即只要有条件83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png就能充分地保证结论7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的成立，

亦即要使7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png成立，有83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png成立就足够了，即有它即可。

（2）必要条件：

8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png 则7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的必要条件

8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngb15f6c3c2c021fd81a3778214b06c230.png

即没有7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png则没有83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png，亦即7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png成立的必须要有的条件，即无它不可。

(补充)（3）充要条件

8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png且57cc3977148e068ebe558dd8364f62cd.png即cdc3b9a0702d40ec5e42d6c6a08c30eb.png

则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png、7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png互为充要条件（既是充分又是必要条件）

“83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充要条件”也说成“83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png等价于7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png”、

“7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png当且仅当83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png”等

(补充)2、充要关系的类型

（1）充分但不必要条件

定义：若8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png，但6e2c10d8fd29a8d93c40eb4ae8511c66.png，

则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分但不必要条件；

（2）必要但不充分条件

定义：若 57cc3977148e068ebe558dd8364f62cd.png，但ba7c67abcca4e9b99469ffb84b421dc8.png，

则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的必要但不充分条件

（3）充要条件

定义：若 8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png，且 57cc3977148e068ebe558dd8364f62cd.png，即cdc3b9a0702d40ec5e42d6c6a08c30eb.png，

则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png、7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png互为充要条件；

（4）既不充分也不必要条件

定义：若ba7c67abcca4e9b99469ffb84b421dc8.png，且6e2c10d8fd29a8d93c40eb4ae8511c66.png，

则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png、7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png互为既不充分也不必要条件．

3、判断充要条件的方法：《名师一号》P6 特色专题

①定义法；②集合法；③逆否法（等价转换法）．

逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性

集合法----利用集合的观点概括充分必要条件

若条件83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png以集合7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的形式出现，结论7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png以集合9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．

（1）若7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分但不必要条件

（2）若9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的必要但不充分条件

（3）若78c2bf0e745ef66ed23a53269b5435ad.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充要条件

（4）若2ab7b3dcf636a7ceea824f2795e1da02.png，且word/media/image23_1.png，

则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的既不必要也不充分条件

(补充)简记作----若A、B具有包含关系，则

（1）小范围是大范围的充分但不必要条件

（2）大范围是小范围的必要但不充分条件

二、例题分析

（一）四种命题及其相互关系

例1.(1) 《名师一号》P4 对点自测1

命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题

是(　　)

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

答案　C

例1.(2) 《名师一号》P5 高频考点 例1

下列命题中正确的是(　　)

①“若a≠0，则ab≠0”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

④“若x－bee87e6eb0975bec4df31cf645569910.png是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④

解析:

①中否命题为“若a＝0，则ab＝0”，正确；

②中逆命题不正确；

③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，

故其逆否命题正确；

④中原命题正确故逆否命题正确．

答案　B

注意：《名师一号》P5 高频考点 例1 规律方法

在判断四个命题之间的关系时，

首先要分清命题的条件与结论，

再比较每个命题的条件与结论之间的关系．

要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为

原命题，也就相应的有了它的“逆命题”

“否命题”“逆否命题”；

判定命题为真命题时要进行推理，

判定命题为假命题时只需举出反例即可．

对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．

例1.(3) 《名师一号》P4 对点自测2

(2014·陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)

A．真，假，真 B．假，假，真

C．真，真，假 D．假，假，假

解析　易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，

设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，

但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，

同时否命题也为假．

注意：《名师一号》P5 问题探究 问题2

四种命题间关系的两条规律

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；

互为逆否命题的两个命题同真假．

(2)当判断一个命题的真假比较困难时，

可转化为判断它的逆否命题的真假．

同时要关注“特例法”的应用．

例2．(1)(补充)

（2011山东文5)已知a，b，c∈R，命题“若04f5be0bccdbf812a6640f4b88fd67a0.png=3，

则65a1bc6fcc670af9ba2472f1c3686589.png≥3”的否命题是（ ）

(A)若a+b+c≠3，则65a1bc6fcc670af9ba2472f1c3686589.png<3

(B)若a+b+c=3，则65a1bc6fcc670af9ba2472f1c3686589.png<3[来源XK]

(C)若a+b+c≠3，则65a1bc6fcc670af9ba2472f1c3686589.png≥3

(D)若65a1bc6fcc670af9ba2472f1c3686589.png≥3，则a+b+c=3

【答案】A[来

【解析】命题“若83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png，则7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png”的否命题是：“若d35c8cbd467e79fec06b84657d4c137b.png，则bc094d1be19e461c8e9df0ef736a90d1.png”

例2．(2)(补充)

命题：“若55939543258aeb8a38bd45751257d69b.png，则e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png或fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png”的否定是：________

【答案】若55939543258aeb8a38bd45751257d69b.png，则7f36509f20b76eba66f86f3316fd7d8e.png且8c3810987f5dda52afbac270f401519c.png

【解析】命题的否定只改变命题的结论。

注意：

命题的否定与否命题的区别

（二）充要条件的判断与证明

例1.(1)(补充) （07湖北）已知83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png的充分条件而不是必要条件，7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png的充分条件，03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png是4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png的必要条件，7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png的必要条件。现有下列命题：①03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充要条件；②83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分条件而不是必要条件；③4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的必要条件而不是充分条件；④5b468dd63423d5a1fc5d4458bfd229a0.png的必要条件而不是充分条件；⑤4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png是03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ）

A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤

word/media/image44_1.png

答案:Ｂ

注意：

1、利用定义判断充要条件

《名师一号》P6 特色专题 方法一 定义法

定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题

——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，

根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．

8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png 则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分条件；

7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的必要条件

2、利用逆否法判断充要条件

《名师一号》P6 特色专题 方法三 等价转化法

当所给命题的充要条件不好判定时，可利用四种命题的关系，对命题进行等价转换．常利用原命题与逆命题的真假来判断p与q的关系．令p为命题的条件，q为命题的结论，具体对应关系如下：

①如果原命题真而逆命题假，

那么p是q的充分不必要条件；

②如果原命题假而逆命题真，

那么p是q的必要不充分条件；

③如果原命题真且逆命题真，

那么p是q的充要条件；

④如果原命题假且逆命题假，

那么p是q的既不充分也不必要条件．

简而言之,逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性

例1.(2)《名师一号》P6 特色专题 例1

(2014·北京卷)设{an}是公比为q的等比数列．

则“q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【规范解答】　

若q>1，则当a1＝－1时，an＝－qn－1，{an}为递减数列，所以“q>1” 254d4da2bdc40b83c46df785021beabc.png “{an}为递增数列”；

若{an}为递增数列，则当an＝－927c35b46adc969c720cf6b120919f3c.pngn时，a1＝－3495b6e06d5d0f8c17da9b57b729eb08.png，q＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png<1，即“{an}为递增数列”⇒/“q>1”．故选D.

例1.(3)《名师一号》P6 特色专题 例2

(2014·湖北卷)设U为全集．A，B是集合，则“存在集合C使得Af2947e69ef41389b673d7fd36e9b0aa8.pngC，Bf2947e69ef41389b673d7fd36e9b0aa8.png∁UC”是“A∩B＝7f48d4a68765673379b41e1b1ee20edf.png”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【规范解答】　如图可知，存在集合C，使Af2947e69ef41389b673d7fd36e9b0aa8.pngC，Bf2947e69ef41389b673d7fd36e9b0aa8.png∁UC，则有A∩B＝7f48d4a68765673379b41e1b1ee20edf.png.若A∩B＝7f48d4a68765673379b41e1b1ee20edf.png，显然存在集合C.满足Af2947e69ef41389b673d7fd36e9b0aa8.pngC，Bf2947e69ef41389b673d7fd36e9b0aa8.png∁UC.故选C.

例1.(4) 《名师一号》P4 对点自测5

已知p：－4<k<0，q：函数y＝kx2－kx－1的值

恒为负，则p是q成立的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析:－4<k<0⇒k<0，Δ＝k2＋4k<0，函数y＝kx2－kx－1的值恒为负，但反之不一定有－4<k<0，如k＝0时，函数y＝kx2－kx－1的值恒为负，即p⇒q，而qc86cac87e678ef07a66848b701993888.pngp.

可用定义或集合法

注意：

3、利用集合法判断充要条件

《名师一号》P6 特色专题 方法二 集合法

涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关的命题时，一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间的充要性．具体对应关系如下：

若条件83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png以集合7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的形式出现，结论7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png以集合9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．

（1）若7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分但不必要条件

（2）若9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的必要但不充分条件

（3）若78c2bf0e745ef66ed23a53269b5435ad.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充要条件

（4）若2ab7b3dcf636a7ceea824f2795e1da02.png，且word/media/image23_1.png，

则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的既不必要也不充分条件

(补充)简记作----若A、B具有包含关系，则

（1）小范围是大范围的充分但不必要条件

（2）大范围是小范围的必要但不充分条件

例2.《名师一号》P5 高频考点 例3

函数f(x)＝170664af02dfa3dc241b683c5c534e09.png有且只有一个零点的

充分不必要条件是(　　)

A．a≤0或a>1 B．0<a<df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png C.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png<a<1 D．a<0

解析:因为f(x)＝170664af02dfa3dc241b683c5c534e09.png有且只有一个零点的充要条件为a≤0或a>1.由选项可知，使“a≤0或a>1”成立的充分条件为选项D.

注意：《名师一号》P5 高频考点 例3 规律方法

有关探求充要条件的选择题，解题关键是：

首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；

其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．

务必审清题，明确“谁是条件”！

此题选项是条件！

练习：(补充)

已知4be24a6ba0d260ff40caea26b466d178.png且fe961513802b89976cf4c52c4f1386ef.png，7fef57a44ec4acd9a920b30e69abbdfc.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的

条件。

答案: 既不充分条件也不必要条件

例3.《名师一号》P6 特色专题 例3

已知命题p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集

至多有两个子集，命题q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若d35c8cbd467e79fec06b84657d4c137b.png是bc094d1be19e461c8e9df0ef736a90d1.png的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【规范解答】　∵d35c8cbd467e79fec06b84657d4c137b.png是bc094d1be19e461c8e9df0ef736a90d1.png的必要不充分条件，

∴p是q的充分不必要条件．

对于命题p，依题意知

Δ＝(－2a)2－4·4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0，

∴－2≤a≤10，

令P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，

由题意知44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，

∴4e49e7fc1321916abe71604fae8576f9.png或5bca1cc8fbfe430f744863d150b4d7a2.png

解得m≥9.因此实数m的取值范围是{m|m≥9}．

注意：(补充)

凡结合已知条件求参数的取值范围

是求满足条件的等价条件即充要条件

练习：(补充)

已知3a127f0bf237ec703fb93758800ebc5a.png.

若d35c8cbd467e79fec06b84657d4c137b.png是bc094d1be19e461c8e9df0ef736a90d1.png的必要但不充分条件，

求实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围．

解：d35c8cbd467e79fec06b84657d4c137b.png是bc094d1be19e461c8e9df0ef736a90d1.png的必要但不充分条件

即 d35c8cbd467e79fec06b84657d4c137b.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngbc094d1be19e461c8e9df0ef736a90d1.png 且 bc094d1be19e461c8e9df0ef736a90d1.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngd35c8cbd467e79fec06b84657d4c137b.png 等价于 7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png 83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png

即 83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分但不必要条件

令ac148e280ab0e1add99632dc17aad499.png 61d570ca056989af7ea2045ccd937938.png

则 84b5a24b23dd58ca2ab5d0c6fed2108a.png 即 0a7ad924c919c8a3478b72816f43c136.png 解得 6eedcf28066569e2ef25ba8fa16cfaa7.png

所以实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围是a7b886d53a99dc3853f2d1c45811e26b.png

注：A是B的真子集，须确保0a7ad924c919c8a3478b72816f43c136.png

中的等号不同时取得

例4. (补充)

求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的

充要条件是a≤1.

证明：充分性：当a＝0时，方程为2x＋1＝0的根为x＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，方程有一个负根，符合题意．

当a<0时，Δ＝4－4a>0，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，且d57fdd83cc4612ea83f7f9a1fc2abd66.png<0，方程有一正一负根，符合题意．

当0<a≤1时，Δ＝4－4a≥0，

方程ax2＋2x＋1＝0有实根，且5985dac72e02a4359c919ac117eda6af.png，

故方程有两个负根，符合题意．

综上：当a≤1时，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．

必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．

当a＝0时，方程为2x＋1＝0符合题意．

当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0应有一正一负根或两个负根．则d57fdd83cc4612ea83f7f9a1fc2abd66.png<0或e61db63e881d0f8f059b3d87f48e7fcd.png.

解得a<0或0<a≤1.

综上：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一负根，则a≤1.

故关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.

注意：(补充)

证明充要条件务必明确充分性和必要性并分别给予证明

练习：(补充)已知50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是定义在R上的函数，

求证：50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为增函数的充要条件是任意的df3f0026103a6c616b7dda7c58fbccf8.png

分析：

设83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png：df3f0026103a6c616b7dda7c58fbccf8.png

7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png：50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为增函数；证明83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充要条件，只需分别证明充分性（83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png）和必要性（7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png）即可。

课后作业

计时双基练P209 基础1-11、培优1-4

课本P2-4变式思考1、2、3；对应训练1、2、3

预习

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

补充作业：

（2010安徽）设数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png中的每一项都不为零，证明：数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png为等差数列的充分必要条件是：对任意f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png ，都有a2e6336b38feefb3610041baa385ded6.png .

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