高三数学-2018学年新乡市高三第一次调研考试数学（文） 精品

2018—2018学年新乡市高三第一次调研考试

数学（文科）

本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中的发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为：Pn（k）=CnkPk（1-p）n-k

球的表面积公式为：S=4πR2，其中R表示球的半径。

球的体积公式为：V=πR3，其中R表示球的半径。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、在平面直角坐标系中，到x轴的距离是到y轴距离的2倍的点P（x，y）的轨迹方程是A、x-2y=0 B、2x-y=0 C、|x|-2|y|=0 D、2|x|-|y|=0

2、ΔABC中，A＜B是cosA＞cosB成立的

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件

C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

3、不等式（x-1）≥0的解集是

A、{x|x≥1} B、{x|x≥1或x=-2} C、{x|x≥-2} D、{x|x≥-2且x≠1}

4、已知A+B=，tanA+tanB=2，则cosAcosB=

A、 B、 C、 D、1

5、已知m，n，m+n成等差数列，又m，n，mn成等比数列，则椭圆=1的离心率为

A、 B、 C、 D、

6、O是ΔABC所在的平面内的一点，且满足（-）·（-）=0，则ΔABC的形状一定为

A、正三角形 B、等腰直角三角形 C、直角三角形 D、斜三角形

7、数列{an}中，a1=1，对所有的n≥2，都有a1a2a3…an=n2，则a3+a5=

A、 B、 C、 D、

8、若三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，PA=PB=1，PC=2，则P到底面ABC的距离为：

A、2 B、 C、 D、

9、曲线y=-（x≤1）的长度为

A、 B、 C、π D、

10、使得Cn1+Cn2+Cn2+…Cnn＜2018不成立的最小的正整数n的值为

A、8 B、9 C、10 D、11

11、函数f（x）=-x3-x，已知x1，x2，x3∈R，且x1+x2≥x3，x2+x3≥x1，x3+x1≥x2，则f（x1+x2+x3）的值

A、大于0 B、小于0 C、不大于0 D、不小于0

12、已知函数f（x）=logx，若0＜c＜b＜a＜1，则、、的大小关系是

A、＞＞ B、＞＞

C、＞＞ D、＞＞

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

13、已知点A（2，0）、B（4，0），动点P在直线y=x上，使得·取得最小值的点P的坐标是 ；

14、体积为1的正方体的外接球的表面积为 ；

15、有一排标号为A、B、C、D、E、F的六个座位，请2名学生和他们的父母共六人入座，要求每对夫妻必须坐在一起，则不同的入座方法总数为 ；（用数字作答）

16、已知原命题：“f（x）是奇函数且在（-∞，+∞）上是增函数，对于任意实数a、b，如果a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0”和该命题的逆命题、否命题、逆否命题，上述四个命题中所有正确命题的个数为：

三、解答题：本大题共6小题，共74分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）

在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作，假定在某段时间内，每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内：

（1）开关JA，JB恰有一个闭合的概率；

（2）线路正常工作的概率。

18、（本小题满分12分）

已知正项等比数列{an}中，a1=8，高bn=log2an（n∈N+）.

（1）求证：数列{bn}是等差数列；

（2）如果数列{an}的公比q=，求数列{bn}的前n项和Sn的最大值.

19、（本小题满分12分）

已知f（x）是R上的单调函数，图象经过A（0，-1），B（3，1）.

（1）判断f（x）的单调性；

（2）用单调性的定义证明函数y=f（|x-1|）在区间[-1，1]上是减函数。

20、（本小题满分12分）

已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长AB=BC=3，BB1=4，连结B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于点E，交B1C于点F。

（1）求证：A1C⊥平面EBD。

（2）求A1B与平面BDE所成角的正弦值。

21、（本小题满分12分）

设抛物线C：y2=4x的焦点为F，P是抛物线C上的点，过P作抛物线C的准线的垂线，垂足为H，点Q为坐标平面上的动点，且=2+3，求当P在抛物线C上运动时，点Q的轨迹方程，并说明轨迹形状。

22、（本小题满分14分）

已知f（x）=x3+ax+b定义在区间[-1，1]上，且f（0）=f（1），又P（x1，y1），Q（x2，y2）是其图象上的任意两个点（x1≠x2），

（1）求证：函数f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形。

（2）设直线PQ的斜率为k，求证：|k|＜2.

（3）若0≤x1＜x2≤1，求证：|y1-y2|＜1.

2018—2018学年新乡市高三第一次调研考试

数学（文科）参考答案

一、本大题共12小题，每小题5分，共60分

1、D 2、C 3、B 4、C 5、A 6、C 7、C 8、D 9、A 10、D 11、C 12、B

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

13、（，） 14、3π 15、96 16、4个

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）本题考查互斥事件有一发生的概率和相互独立事件同时发生的概率，并考查分析问题解决问题的能力

解：分别记在这段时间内开关能够闭合为事件A、B、C，则它们的对立事件为，，且P（A）=P（B）=P（C）=0.7，P（）=P（）=P（）=1-0.7=0.3根据题意在这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，即事件A、B、C相互独立（2分）

（1）在这段时间内“开关JA，JB恰有一个闭合”包括两种情况：一种是开关JA闭合但开关JB不闭合（事件A·发生），一种是开关JA不闭合但开关JB闭合（事件·B发生），根据题意这两种情况不可能同时发生即事件A·与事件·B互斥。根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是：

P（A·+·B）=P（A+）+P（+B）=P（A）P（）+P（）P（B）

=0.7·0.3+0.3·0.7=0.42（7分）

（2）在这段时间内，线路正常工作，意味着3个开关至少有一个能够闭合，即事件A、B、C至少有一个发生，其对立事件为事件，，同时发生于是所求的概率为：

1-P（··）=1-P（）P（）P（）=1-0.3·0.3·0.3=1-0.187=0.973（11分）

答：开关JA，JB恰有一个闭合的概率为0.42；线路正常工作的概率是0.973（12分）

18、（本小题满分12分）

本题考察等比数列、等差数列的基础知识，基本运算，及分析和转化的能力

解：（1）在等比数列{an}，a1=8，故设公比为q，则an=a1qn-1=8qn-1（2分）

bn=log2an=log2（8qn-1）=3+（n-1）log2q

∴bn+1-bn=log2q

故数列{bn}是以b1=3为首项，d=log2q为公差的等差数列（6分）

（2）若q=时，bn=3+（n-1）log2=5-2n

bn≥0 5-2n≥0

＜n≤

bn+1＜0 5-2（n+1）＜0

由于n∈N+ ∴n=2

即S2最大 S2=b1+b2=3+1=4（12分）

19、（本小题满分12分）

本题考查函数的性质的判定和论证能力及解不等式的能力，同时考查抽象思维能力

解：（1）f（x）是R上的单调函数，图象经过A（0，-1），B（3，1）

∴f（0）=-1＜f（3）=1所以f（x）是R上的增函数（4分）

（2）f（|x-1|）在[-1，1]上是减函数证明如下：

设-1≤x1＜x2≤1，-2≤x1-1＜x2-1≤0记g（x）= f（|x-1|），则

∴g（x1）- g（x2）= f（|x1-1|）- f（|x2-1|）= f（1-x1）- f（1-x2）

∵-2≤x1-1＜x2-1≤0 ∴2≥1-x1＞1-x2≥0

∴f（1-x1）＞f（1-x2） ∴f（1-x1）- f（1-x2）＞0

∴g（x1）- g（x2）＞0 ∴g（x1）＞g（x2）

∴g（x）即f（|x-1|）在[-1，1]上是减函数（12分）

20、（本小题满分12分）

本题考查处理数学总是的能力，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力。

（1）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，（如图）

则D（0，0，0），A（3，0，0），C（0，3，0），B（3，3，0），A1（3，0，4），D1（0，0，4），C1（0，3，4），B1（3，3，4）

设E（0，3，z），则∵BE⊥B1C，∴·=0， =（-3，0，z），=（-3，0，-4）

∴·=（-3，0，Z）·（-3，0，-4）=9-4z=0， ∴z= ∴E[0，3，]

∴·=-3×3+3×3=0，·=3×3-4×=0

∴⊥，⊥

∴⊥DB，A1C⊥DE ∴A1C⊥平面BDE（6分）

（2）∵A1C⊥平面BDE，∴∠CA1B就是所求的直线A1B与平面BDE所成的角的余角

∵=（0，3，-4），=（-3，-3，4）

∴||=5，||=，·=25

∴cos∠CA1B=cos（，）==

故A1B与平面BDE所成的角的正弦为（12分）

21、（本小题满分12分）

设Q（x,y），P（m，n），易知抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=-1

∴H（-1，n），且n2=4m（4分）

=（m-x，n-y），=（1-m，-n），=（-m-1，0）

∵=2+3 ∴（m-x，n-y）=2（1-m，-n）+3（-m-1，0）=（-1-5m，-2n）

∴ x-m=-1-5m ∴ m=- （8分）

y-n=-2n n=-y

（-y）2=-4·4=-(x+1) ∴y2=-（x+1）这就是点Q的轨迹方程（10分）

点Q的轨迹为以（-1，0）为顶点，焦点到准线的距离为，开口向左的抛物线（12分）

22、（本小题满分14分）

本题考查函数与绝对值不等式的综合应用，考查综合分析问题和解决问题的能力，充分考查综合应用知识的能力。

证明：（1）∵f（0）=f（1） ∴b=1+a+b ∴a=-1 ∴f（x）=x3-x+b

设（x0，y0）是y=f（x）的图象上的任意一点，则y0=f（x0）=x18-x0+b

∴-y0=-x18+x0-b=（-x18）-（-x0）-b

∴2b-y0=（-x18）-（-x0）+b

故点（- x0，2b-y0）也在y=f（x）的图象上

又点（x0，y0）与点（-x0，2b-y0）关于点（0，b）对称，进而有点（x0，y0）的任意性，得函数f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形

所以函数f（x）的图象是中心对称图形，且对称中心为点（0，b）（5分）

解法二：（1）∵f（0）=f（1） ∴b=1+a+b ∴a=-1 ∴f（x）=x3-x+b

易知y=x3-x是奇函数，它的图象关于原点对称；而函数f（x）=x3-x+b的图象可由y=x3-x的图象向上平移b个单位得到，故函数f（x）=x3-x+b的图象关于（0，b）对称

所以函数f（x）的图象是中心对称图形，且对称中心为点（0，b）（5分）

（2）∵y1=x13-x1+b，y2=x23-x2+b

∴y1-y2=（x13-x1）-（x23-x2）=（x1-x2）（x12+x22+x1x2-1）

∵x1≠x2

∴k==x12+x22+x1x2-1

∵x1，x2∈[-1，1]，x1≠x2

∴3＞x12+x1x2+x22＞0，

-1＜x12+x1x2+x22-1＜2

∴|x12+x1x2+x22-1|＜2

即|k|＜2（10分）

（3）∵∴0≤x1＜x2≤1且|y1-y2|＜2|x1-x2|=-2（x1-x2）(1)

又| y1-y2|=|f（x1）- f（x2）|= f（x1）- f（0）+ f（1）- f（x2）|

≤f（x1）- f（0）|+| f（1）- f（x2）|≤2|x1-0|+2|x2-1|=2（x1-0）+2（1-x2）=2（x1-x2）+2(2)

(1)+(2)得：

2|y1-y2|＜2，

∴|y1-y2|＜1（14分）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6134bd092f3f5727a5e9856a561252d380eb2019.html