2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
双基达标 (限时20分钟)
1.数列{an}的通项公式an＝2n＋5,则此数列 ( ).
A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列
解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2,
∴{an}是公差为2的等差数列.
答案 A
2.等差数列的前三项依次是x－1,x＋1,2x＋3,则其通项公式为 ( ).
A.an＝2n－5 B.an＝2n－3
C.an＝2n－1 D.an＝2n＋1
解析 ∵x－1,x＋1,2x＋3是等差数列的前三项,
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3,解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1,a2＝1,a3＝3,∴d＝2,
∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3,故选B.
答案 B
3.在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则角B等于 ( ).
A.30° B.60° C.90° D.120°
解析 ∵A,B,C为等差数列,
∴B＝,即A＋C＝2B.
又A＋B＋C＝180°,∴3B＝180°,
即B＝60°.
答案 B
4.在数列{an}中,若a1＝1,an＋1＝an＋2,则该数列的通项an＝________.
解析 由an＋1＝an＋2(n≥1)可得数列{an}是公差为2的等差数列,又a1＝1,所以an＝2n－1.
答案 2n－1
5.若x≠y,两个数列x,a1,a2,a3,y和x,b1,b2,b3,b4,y都是等差数列,则＝________.
解析 设两个数列的公差分别为d1,d2,则
∴＝
,∴
＝
＝
.
答案
6.已知等差数列{an}中,a10＝29,a21＝62,试判断91是否为此数列中的项.
解 设等差数列{an}的公差为d,则有
解得a1＝2,d＝3,
∴an＝2＋(n－1)×3＝3n－1.
令an＝3n－1＝91,得n＝∉N*.
∴91不是此数列中的项.
综合提高 (限时25分钟)
7.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于 ( ).
A. B.
C.
D.
解析 ∴a＝
,b＝
x.∴
＝
.
答案 C
8.设函数f(x)＝(x－1)2＋n(x∈[－1,3],n∈N*)的最小值为an,最大值为bn,记cn＝bn2－an·bn,则{cn}是 ( ).
A.常数列 B.摆动数列
C.公差不为0的等差数列 D.递减数列
解析 ∵f(x)＝(x－1)2＋n(x∈[－1,3]),
∴an＝n,bn＝n＋4,
∴cn＝bn2－an·bn＝bn(bn－an)＝4(n＋4)＝4n＋16.
答案 C
9.已知数列{an}满足an＋12＝an2＋4,且a1＝1,an＞0,则an＝________.
解析 由已知an＋12－an2＝4,
∴{an2}是等差数列,且首项a12＝1,公差d＝4,
∴an2＝1＋(n－1)·4＝4n－3.
又an＞0,∴an＝.
答案
10.若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列.
解析 (an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d.
答案 3d
11.已知数列{an}满足a1＝2,an＋1＝,则数列
是否为等差数列？说明理由.
解 数列是等差数列,理由如下：
∵a1＝2,an＋1＝,
∴＝
＝
＋
,
∴－
＝
(常数).
∴是以
＝
为首项,公差为
的等差数列.
12.(创新拓展)对数列{an},规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列,其中Δan＝an＋1－an.对正整数k,规定{Δkan}为{an}的k阶差分数列,其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an＝Δ(Δk－1an)(k≥2).
(1)试写出数列1,2,4,8,15,26的一阶差分数列；
(2)已知数列{an}的通项公式an＝n2＋n,试判断{Δan},{Δ2an}是否为等差数列,为什么？
解 (1)由题意,可以得到此数列的一阶差分数列为1,2,4,7,11.
(2)Δan＝an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2,
∴{Δan}是首项为4,公差为2的等差数列.
Δ2an＝2(n＋1)＋2－(2n＋2)＝2,
∴{Δ2an}是首项为2,公差为0的等差数列.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/60a97c91112de2bd960590c69ec3d5bbfc0ada48.html
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