2020届高考步步高数学（理）一轮复习（京津鲁琼用解析版）第十二章 模拟试卷（二）

模拟试卷(二)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．复数z满足(3－2i)z＝4＋3i(i为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

答案　A

解析　由题意得，z＝＝＝＋，则复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.

2.若集合A＝{x|3－2x<1}，B＝{x|3x－2x2≥0}，则A∩B等于(　　)

A．(1,2] B. C. D．(1，＋∞)

答案　C

解析　因为A＝{x|x>1}，B＝，

所以A∩B＝.故选C.

3．命题“∃x0∈N，使得ln x0(x0＋1)<1”的否定是(　　)

A．∀x∈N，都有ln x0(x0＋1)<1

B．∀x∉N，都有ln x(x＋1)≥1

C．∀x0∈N，都有ln x0(x0＋1)≥1

D．∀x∈N，都有ln x(x＋1)≥1

答案　D

解析　由于特称命题的否定为全称命题，所以“∃x0∈N，使得ln x0(x0＋1)<1”的否定为“∀x∈N，都有ln x(x＋1)≥1”．故选D.

4．已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为(　　)

A．2 B．4 C．8 D．16

答案　B

解析　a5＝±＝±＝±4，

∵q2＝>0，∴a5＝4，q2＝2，

则＝q4＝4.

5．袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：

232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100

231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案　A

解析　由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，出现0就不能出现1，反之亦然，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率为P＝＝.故选A.

6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若3sin A＝2sin C，b＝5，cos C＝－，则a等于(　　)

A．3 B．4 C．6 D．8

答案　C

解析　因为3sin A＝2sin C，

所以由正弦定理可得3a＝2c，

设a＝2k(k>0)，则c＝3k.

由余弦定理得cos C＝＝＝－，

解得k＝3，从而a＝6.故选C.

7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象(　　)

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

答案　A

解析　由f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可知A＝1，

根据＝·＝－，可得ω＝2，

再根据五点作图法，可得2×＋φ＝π，解得φ＝，

所以f(x)＝sin＝sin 2，

因此f(x) 向右平移个单位长度，可得g(x)＝sin 2x的图象．

8．某单位为了解用电量(度)与气温(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据得线性回归方程＝x＋中＝－2 ，预测当温度为5 ℃时，用电量的度数约为(　　)

A．64 B．66 C．68 D．70

答案　D

解析　由已知＝10，＝40，将其代入线性回归方程得40＝－2×10＋⇒ ＝60，故线性回归方程为＝－2x＋60，当x＝－5时，y＝70，故选D.

9．已知抛物线C1：x2＝2py(y>0)的焦点为F1，抛物线C2：y2＝(4p＋2)x的焦点为F2，点P在C1上，且|PF1|＝，则直线F1F2的斜率为(　　)

A．－ B．－ C．－ D．－

答案　B

解析　因为|PF1|＝，所以＋＝，解得p＝.C1：x2＝y，C2：y2＝4x，F1，F2(1,0)，

所以直线F1F2的斜率为＝－.故选B.

10.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)

A. 　　　　 B.

C. 　　　　 D.

答案　B

解析　取C1D1，B1C1的中点为P，Q.

易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，

所以四边形ANPD为平行四边形，所以AN∥DP.

又BD和DP为平面DBQP的两条相交直线，所以平面DBQP∥平面AMN，即DBQP的面积即为所求．

由PQ∥DB，PQ＝BD＝，所以四边形DBQP为梯形，高h＝＝.

所以面积为(PQ＋BD)h＝.故选B.

11．体积为的三棱锥P－ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝2，∠ABC＝，则球O的表面积的最小值为(　　)

A．8π B．9π C．12π D．16π

答案　C

解析　把三棱锥放在长方体中，由已知条件容易得到S△ABC＝AB×BC＝2，所以AC2＝AB2＋BC2 ≥2×AB×BC＝8，因此PC2＝PA2＋AC2≥12，注意PC＝2R，所以球O的表面积的最小值是12π.

故选C.

12．若函数f(x)＝－(1＋2a)x＋2ln x(a>0)在区间内有极大值，则a的取值范围是(　　)

A. B．(1，＋∞)

C．(1,2) D．(2，＋∞)

答案　C

解析　f′(x)＝ax－(1＋2a)＋＝(a>0，x>0)，若f(x)在区间内有极大值，

即f′(x)＝0在内有解．

则f′(x)在区间内先大于0，再小于0，

则即

解得1<a<2，故选C.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．某学校共有教师300人，其中中级教师有120人，高级教师与初级教师的人数比为5∶4.为了解教师专业发展要求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师72人，则该样本中的高级教师人数为______．

答案　60

解析　∵学校共有教师300人，其中中级教师有120人，

∴高级教师与初级教师的人数为300－120＝180，

∵抽取的样本中有中级教师72人，

∴设样本人数为n，则＝，解得n＝180，

则抽取的高级教师与初级教师的人数为180－72＝108，

∵高级教师与初级教师的人数比为5∶4.

∴该样本中的高级教师人数为×108＝60.

14．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．

答案　

解析　不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，

线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．

设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0<a<1)，

∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，

∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)

＝2a2－2a＋2＝22＋，

∵0<a<1，

∴由二次函数的知识可得·∈.

15．已知函数f(x)＝aln(x＋)＋＋2，f(－3)＝7，则f(3)的值为________．

答案　－3

解析　设g(x)＝aln(x＋)＋，x≠0，

则g(－x)＝aln(－x＋)－＝aln－＝－＝－g(x)，

∴函数y＝g(x)为奇函数．

∵f(－3)＝g(－3)＋2＝7，

∴g(－3)＝－g(3)＝5，

∴g(3)＝－5，

∴f(3)＝g(3)＋2＝－5＋2＝－3.

16．(2019·南充考试)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，直线l：y＝x＋m与抛物线交于不同的两点A，B.若0≤m<1，则△FAB的面积的最大值是_________．

答案　

解析　由于抛物线的焦点为(1,0)，故p＝2，抛物线方程为y2＝4x，联立得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2.由于直线和抛物线有两个交点，故判别式Δ＝(2m－4)2－4m2>0，解得m<1.由弦长公式得|AB|＝·＝4·.焦点(1,0)到直线x－y＋m＝0的距离为d＝.故△FAB的面积为·4··＝2·|1＋m|，由于0≤m<1，故上式可化为2＝2.令f(m)＝－m3－m2＋m＋1(0≤m<1)，f′(m)＝－3m2－2m＋1＝－(3m－1)(m＋1)，故当m∈时，函数f(m)单调递增，当m∈时，函数f(m)单调递减，

故当m＝时，f(m)取得最大值，

此时2＝.

三、解答题(本大题共70分)

17．(10分)如图，AD是△ABC的外平分线，且BC＝CD.

(1)求；

(2)若AD＝4，CD＝5，求AB的长．

解　(1)由题设知S△ABD＝2S△ACD，

sin∠BAD＝sin(π－∠BAD)＝sin∠CAD，

所以＝＝

＝＝.

(2)在△ABD中，由余弦定理可得

AB2＝42＋102－2×4×10×cos∠ADB，

在△ACD中，AC2＝42＋52－2×4×5×cos∠ADB.

又AB2＝4AC2，所以cos∠ADB＝，所以AB＝2.

18．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S1＝1，且对任意正整数n，都有＋n＝Sn＋1－Sn.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　(1)由＋n＝Sn＋1－Sn＝an＋1，

可得Sn＋1＋n(n＋1)＝(n＋1)an＋1，

当n≥2时，Sn＋n(n－1)＝nan，两式相减，

得an＋1＋2n＝(n＋1)an＋1－nan，

整理得an＋1－an＝2，

在＋n＝an＋1中，令n＝1，得＋1＝a2，即1＋a2＋2＝2a2，解得a2＝3，所以a2－a1＝2，

所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，

所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

(2)由(1)可得bn＝＝，

所以Tn＝＋＋＋…＋＋， ①

则Tn＝＋＋＋…＋＋， ②

①－②，得Tn＝＋＋＋＋…＋－，

整理得Tn＝－－＝－，

所以Tn＝3－.

19．(12分)(2019·河北省衡水中学调研)在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，BC＝CD＝PD＝2，AB＝4，PA⊥BD，平面PBC⊥平面PCD，M，N分别是AD，PB的中点．

(1)证明：PD⊥平面ABCD；

(2)求MN与平面PDA所成角的正弦值．

(1)证明　取PC的中点Q，

则由CD＝PD可得DQ⊥PC，

因为平面PBC⊥平面PCD，平面PBC∩平面PCD＝PC，DQ⊂平面PCD，所以DQ⊥平面PBC，

故DQ⊥BC，

而CD⊥BC，CD∩DQ＝D，所以BC⊥平面PDC，可得到BC⊥PD.

连接BD，在直角梯形ABCD中，易求得BD＝2，AD＝2，而AB＝4，

则AD2＋BD2＝AB2，即BD⊥AD，

又BD⊥PA，PA∩AD＝A，可得BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.

又BC⊥PD，BC∩BD＝B，所以PD⊥平面ABCD.

(2)解　以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0,2，0)，P(0,0,2)，

M(，0,0)，N(0，，1)．

平面PAD的法向量为＝(0,2，0)，＝(－，，1)，故所求线面角的正弦值为|cos〈，〉|＝＝＝.

20．(12分)某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：

(1)其中每月完成合格产品的件数不少于3 200件的员工被评为“生产能手”．由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？

(2)为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2 600件以内的，计件单价为1元；超出(0,200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200,400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元．将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资(实得计件工资＝定额计件工资＋超定额计件工资)不少于3 100元的人数为Z，求Z的分布列和均值．

附：K2＝.

解　(1)

因为K2的观测值k＝

＝4>3.841，

所以有95%的把握认为“生产能手”与性别有关．

(2)当员工每月完成合格产品的件数为3 000时，

得计件工资为2 600×1＋200×1.2＋200×1.3＝3 100(元)，

由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p1＝，

女员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p2＝，

设2名女员工中实得计件工资不少于3 100元的人数为X,1名男员工中实得计件工资在3 100元以及以上的人数为Y，则X～B，Y～B，

Z的所有可能取值为0,1,2,3，

P(Z＝0)＝P(X＝0，Y＝0)＝2＝，

P(Z＝1)＝P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝0，Y＝1)

＝C·＋2＝，

P(Z＝2)＝P(X＝2，Y＝0)＋P(X＝1，Y＝1)

＝C2＋C·＝，

P(Z＝3)＝P(X＝2，Y＝1)＝2×＝，

所以Z的分布列为

故E(Z)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

21．(12分)已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线l交C于A，B两点，交直线x＝8于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．

解　(1)因为点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴，所以c＝2，

由得

故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由题意可知直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y＝k(x－2)，

令x＝8，得M的坐标为(8,6k).

由得(4k2＋3)x2－16k2x＋16(k2－3)＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝. ①

设直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，

从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.

因为直线AB的方程为y＝k(x－2)，所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，

所以k1＋k2＝＋＝＋－3＝2k－3×. ②

把①代入②，得

k1＋k2＝2k－3×＝2k－1.

又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，

故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．

22．(12分)已知f(x)＝xln x.

(1)求f(x)的最小值；

(2)若f(x)≥kx－2(k＋1)(k∈Z)对任意x>2都成立，求整数k的最大值．

解　(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，

令f′(x)＝ln x＋1＝0⇒x＝，

所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，

f(x)在x＝处取唯一的极小值，也是最小值f＝－.

(2)f(x)≥kx－2(k＋1)⇔k≤(x>2)，

记g(x)＝，则g′(x)＝，

考查函数h(x)＝x－2ln x－4，h′(x)＝1－>0(x>2)，h(x)在定义域上单调递增，

显然有h(8)＝4－2ln 8<0，h(10)＝6－2ln 10>0，所以存在唯一的x0∈(8,10)，使得h(x0)＝x0－2ln x0－4＝0.

在(2，x0)上，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；在(x0，＋∞)上，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．

所以g(x)在x0处取唯一的极小值也是最小值g(x0)＝，注意此时h(x0)＝0⇒ln x0＝，

所以g(x0)＝＝(x0－2)∈(3,4)，

所以整数k的最大值可以取3.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/607cf8d86fdb6f1aff00bed5b9f3f90f77c64d49.html