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高中数学知识点 - 椭圆、双曲线、抛物线

发布时间：2016-05-27 15:21:04 来源：文档文库

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高中数学专题四　椭圆、双曲线、抛物线

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点8b73bdbf452fd7cf6840411396bfb043.png的距离的和等于常数（大于d8bba9f4dbf40015aeabcbdf8a7811e8.png）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：b11f1bbaa1853049a0011d14db4a76b4.png表示椭圆；17e82512e3f6371e63c81cdc78fe1d2d.png表示线段3be789c7937985121fe36bb2dc56357e.png；4be280403e9f568d7579817f6bf0919b.png没有轨迹；

（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

3．常用结论：（1）椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png的两个焦点为8b73bdbf452fd7cf6840411396bfb043.png，过39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png的直线交椭圆于6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png两点，则5e6af2be3568ed67a76aa0655bcf680e.png的周长=

（2）设椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png左、右两个焦点为8b73bdbf452fd7cf6840411396bfb043.png，过39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png且垂直于对称轴的直线交椭圆于b76af6019c297461898fa12f2850ca87.png两点，则b76af6019c297461898fa12f2850ca87.png的坐标分别是 2d007cdcc9bfcfddf2c54728fb6c7b6e.png

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点8b73bdbf452fd7cf6840411396bfb043.png的距离的差的绝对值等于常数（小于d8bba9f4dbf40015aeabcbdf8a7811e8.png）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：b3a03da06135d0b78f3c1b0f6fbe9aee.png与073ca84ad65822c58a2b3141c5ec577a.png（4be280403e9f568d7579817f6bf0919b.png）表示双曲线的一支。

17e82512e3f6371e63c81cdc78fe1d2d.png表示两条射线；b11f1bbaa1853049a0011d14db4a76b4.png没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

（3）双曲线的渐近线：

①求双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png的渐近线，可令其右边的1为0，即得8411492e9c6e1fbf88353eda8dff1872.png，因式分解得到dcafb309c73290a71b69b270742c19fe.png。

②与双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png共渐近线的双曲线系方程是3651b2839081a500e2a80232838c9d5f.png；

（4）等轴双曲线为c884900e2c227ffdf446a4d26b409a13.png，其离心率为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png

（4）常用结论：（1）双曲线87a35911a48a47a373b3aede0af362af.png的两个焦点为8b73bdbf452fd7cf6840411396bfb043.png，过39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png的直线交双曲线的同一支于6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png两点，则5e6af2be3568ed67a76aa0655bcf680e.png的周长=

（2）设双曲线87a35911a48a47a373b3aede0af362af.png左、右两个焦点为8b73bdbf452fd7cf6840411396bfb043.png，过39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png且垂直于对称轴的直线交双曲线于b76af6019c297461898fa12f2850ca87.png两点，则b76af6019c297461898fa12f2850ca87.png的坐标分别是 2d007cdcc9bfcfddf2c54728fb6c7b6e.png

三、抛物线：

（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。

其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。

（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：08297f9dcc77d2e8f0a9d461fc8d29a7.png

四、弦长公式： b09c87ab1846caa700d05983e2e021d0.png

其中,8c6979192fcbc1144dd14012dff128e6.png分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和c66452631491acdbf8e5ed69dfd19681.png的系数

五、弦的中点坐标的求法

法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程6763c233966fe377c0efde243440d139.png设f99a5e7a20e963b917af6f0a746b0589.png，32a60b125f2f670bebc6a7a1ef8a9f5c.png，由韦达定理求出b351f169991a39c32ae5d9b42884052e.png；（3）设中点70d3efd00780cbdcf86fd855877c442f.png，由中点坐标公式得831c374d82f09aa453bd6100239b328a.png；再把4354047bfb538af878fb79fb1fd72899.png代入直线方程求出89b2f1fd8163d5c7a2bf1ba235f61258.png。

法（二）：用点差法，设f99a5e7a20e963b917af6f0a746b0589.png，32a60b125f2f670bebc6a7a1ef8a9f5c.png，中点70d3efd00780cbdcf86fd855877c442f.png，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出cb328ac8d48a42c18a5630e049be644a.png。

六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式

法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)

高考专题训练　椭圆、双曲线、抛物线

一、选择题：

1．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为(　　)

A.265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png　　　 B．1　　　

C.9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.png　　　 D.59277bfaba258555f7c1c2ee38383247.png

答案：C

2．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　)

A．n＝0 B．n＝1

C．n＝2 D．n≥3

答案：C

3．(2011·全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)

A.328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png B.2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png

C．－2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png D．－328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png

答案：D

4．(2011·浙江)已知椭圆C1：0d2f6a866272862ce4c58d81d052ce05.png＋8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－012bbab12b93999d7d1f243fe8366d54.png＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)

A．a2＝a4a18faca2d2da8b16ec5092a0c2acb3.png B．a2＝13

C．b2＝66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png D．b2＝2

答案：C

5．(2011·福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于(　　)

A.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png或003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png B.6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png或2

C.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png或2 D.6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png或003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png

答案：A

6．(2011·邹城一中5月模拟)设F1，F2是双曲线0d2f6a866272862ce4c58d81d052ce05.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(fc3696241f8be14431eae55e89f4cbe9.png＋9cb793c1471160d8fdd11d59c7366e97.png)·bef3fb3bb212fe4042561106fa131f30.png＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝0ce4760e9970e62401abb2674d7bf7f5.png|PF2|，则双曲线的离心率为(　　)

A.9a489e050157ec67ff230d145a7c6d01.png B.1553867a52c684e18d473467563ea33b.png＋1

C.0e0a27979260d6902b3df9f36b80b3f4.png D.9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＋1

答案：D

二、填空题：

7．(2011·江西)若椭圆7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png＋8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1的焦点在x轴上，过点3f22b9872858f0aa1e9e55fa96e79e63.png作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．

答案：f5cf31985f559b53b128e5bd70b6590d.png＋51631774022c90b97628a8677a25aa29.png＝1

8．(2011·课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为8393082f913a6a17aabfedc716d01622.png，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．

答案：840278f724c953edf53f5603390d5d6e.png＋c511838599adfacf6821432cb2fcc037.png＝1

9．(2011·浙江)设F1，F2分别为椭圆f7146f02d8c8b89e984610293dc62515.png＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若6169fff5c9a5488f194ff3852492fae9.png＝52ab89f96508a5aa5f84adcdb3d06fa76.png，则点A的坐标是____________．

答案：(0，±1)

10．(2011·全国)已知F1、F2分别为双曲线C：93fa74874e43bd227077cf4fed5e2dc3.png－7670e3dac6633e2de070fb893206943e.png＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝________.

答案：6

三、解答题：

11．(12分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：0d2f6a866272862ce4c58d81d052ce05.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足83bb0b00c8861944a98badab358b12b1.png＝λc82de50cde3c3973edb3c4069820afbb.png＋f990fa50c6d414aafb115ff584f6b2d9.png，求λ的值．

解：(1) e＝15cfbb32683efed568c3f9d6af96693a.png＝80009829f3932697f7fdeac59803448d.png.

(2)λ＝0或λ＝－4.

12．(13分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.

(1)设e＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，求|BC|与|AD|的比值；

(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

解：(1) |BC|:|AD|＝265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png.

(2)t＝0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等时成立

基础巩固题目椭圆、双曲线、抛物线

（2）双曲线word/media/image92_1.png的实轴长是

（A）2 (B)word/media/image93_1.png (C) 4 (D) 4word/media/image94_1.png

【解析】选C.

(5) 在极坐标系中，点 word/media/image95_1.png 到圆word/media/image96_1.png 的圆心的距离为[来源:学#科#网]

（A）2 (B) word/media/image98_1.png (C) word/media/image99_1.png （D) word/media/image100_1.png

【解析】选D.

（21）（本小题满分13分）

设word/media/image102_1.png，点word/media/image103_1.png的坐标为（1,1），点word/media/image104_1.png在抛物线word/media/image105_1.png上运动，点word/media/image106_1.png满足word/media/image107_1.png，经

过word/media/image106_1.png点与word/media/image108_1.pngword/media/image109_1.png轴垂直的直线交抛物线于点word/media/image110_1.png，点word/media/image111_1.png满足

word/media/image112_1.png,求点word/media/image111_1.png的轨迹方程。

解：点P的轨迹方程为word/media/image113_1.png

(3) 双曲线word/media/image92_1.png的实轴长是

（A）2 (B)word/media/image93_1.png (C) 4 (D) 4word/media/image94_1.png

【解析】选C.

(4) 若直线word/media/image114_1.png过圆word/media/image115_1.png的圆心,则a的值为

（A）word/media/image116_1.png1 (B) 1 (C) 3 (D) word/media/image116_1.png3

【解析】word/media/image117_1.png.

（17）（本小题满分13分）

设直线word/media/image118_1.png

（I）证明word/media/image119_1.png与word/media/image120_1.png相交；

（II）证明word/media/image119_1.png与word/media/image120_1.png的交点在椭圆word/media/image121_1.png

证明：（I）反证法

3.在极坐标系中，圆word/media/image122_1.png的圆心的极坐标是

A. word/media/image123_1.png B. word/media/image124_1.png C. word/media/image125_1.png D. word/media/image126_1.png

【解析】： word/media/image127_1.png，选B。

19.已知椭圆G：word/media/image128_1.png，过点（m，0）作圆word/media/image129_1.png的切线l交椭圆G于A，B两点。

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（2）将word/media/image130_1.png表示为m的函数，并求word/media/image130_1.png的最大值。

解：（Ⅰ） word/media/image131_1.png

（Ⅱ）当word/media/image132_1.png时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.

8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y = x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为 A

A．4 B．3 C．2 D．1

19．（本小题共14分）

已知椭圆word/media/image133_1.png的离心率为word/media/image134_1.png，右焦点为（word/media/image135_1.png,0），斜率为I的直线word/media/image136_1.png与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.

（I）求椭圆G的方程；（II）求word/media/image137_1.png的面积.

解：（Ⅰ）椭圆G的方程为word/media/image138_1.png

（Ⅱ）△PAB的面积S=word/media/image139_1.png

7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足word/media/image140_1.png=4:3:2，则曲线r的离心率等于 A

A．word/media/image141_1.png B．word/media/image142_1.png或2 C．word/media/image143_1.png2 D．word/media/image144_1.png

17．（本小题满分13分）

已知直线l：y=x+m，m∈R。

（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；

（II）若直线l关于x轴对称的直线为word/media/image145_1.png，问直线word/media/image146_1.png与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。

（I）圆的方程为word/media/image147_1.png

（II）当m=1时，直线word/media/image148_1.png与抛物线C相切；当word/media/image149_1.png时，直线word/media/image150_1.png与抛物线C不相切。

21.（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程

在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

word/media/image151_1.png．

（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，word/media/image152_1.png），判断点P与直线l的位置关系；

（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

解：（I）点P在直线word/media/image153_1.png上

（II）最小值为word/media/image154_1.png

11．设圆锥曲线word/media/image155_1.png的两个焦点分别为F1、F2，若曲线word/media/image155_1.png上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线word/media/image156_1.png的离心率等于 A

A. df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png或003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png B．6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png或2 C．df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png或2 D．6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png或003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png

18.（本小题满分12分）

如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。

（Ⅰ）求实数b的值；

（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。

解：（I）b=-1

（II）圆A的方程为word/media/image158_1.png

14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为

word/media/image159_1.png和word/media/image160_1.png，它们的交点坐标为 .[来源:Zxxk.Com]

19. （本小题满分14分）

设圆C与两圆word/media/image161_1.png中的一个内切，另一个外切.

（1）求C的圆心轨迹L的方程.

（2）已知点word/media/image163_1.png且P为L上动点，求word/media/image164_1.png的最大值及

此时点P的坐标.

（1）解： L的方程为word/media/image166_1.png

（2）解：最大值2。

word/media/image167_1.png（2）设word/media/image168_1.png是定点，其中word/media/image169_1.png满足word/media/image170_1.png.过word/media/image168_1.png作word/media/image171_1.png的两条切线word/media/image172_1.png，切点分别为word/media/image173_1.png，word/media/image172_1.png与word/media/image174_1.png分别交于word/media/image175_1.png.线段word/media/image176_1.png上异于两端点的点集记为word/media/image177_1.png.证明：word/media/image178_1.png；