湖南省长沙县实验中学高中数学 3.6正弦定理和余弦定理教学案 新人教A版必修5

湖南省长沙县实验中学高中数学必修五：3.6正弦定理和余弦定理(教学案)

导学目标：

1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.

2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

自主梳理

1．三角形的有关性质

(1)在△ABC中，A＋B＋C＝________； (2)a＋b____c，a－b<c；

(3)a>b⇔sin A____sin B⇔A____B；

(4)三角形面积公式：S△ABC＝bcf6b4e95b2f8c428a3901c3e032376f.pngah＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngabsin C＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngacsin B＝_________________；

(5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或_______________⇔三角形为等腰或直角三角形；

sin(A＋B)＝sin C，sin 884fe27f1c5cdecb4e5a6316a90d1b3b.png＝cos 0162a8370ae0ea5370666c48513457ec.png.

2．正弦定理和余弦定理

1．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于(　　)

A．29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png　　 B．12　　　 C．23023d9f96ff17fb9696d6aa5075be5be.png　　　 D．28

2．(教材习题改编)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于(　　)

A．－4dbfc97e385e7132fc528e17dfdb3b8d.png B.4dbfc97e385e7132fc528e17dfdb3b8d.png C．－e68f71b82be7f74ae04acf5043ae4925.png D.e68f71b82be7f74ae04acf5043ae4925.png

3．△ABC中，a＝a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，b＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png， B＝cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png，则符合条件的三角形有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

4．在△ABC中，a＝31553867a52c684e18d473467563ea33b.png，b＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，cos C＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，则△ABC的面积为________．

5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asin B，则角A的大小为________．

题型一　利用正弦定理解三角形

例1　在△ABC中，a＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，b＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，B＝45°.求角A、C 和边c.

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，A＋C＝2B，则角A的大小为___________．

题型二　利用余弦定理求解三角形

例2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且45d5b30fdf0aa07b70aad2f47d12065d.png＝－fcf1174d01f67b39fbab4857bfe31766.png.

(1)求角B的大小； (2)若b＝65c81bf9533f2a58ce6d5ac7e95e2b8a.png，a＋c＝4，求△ABC的面积．

已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，

且2cos2e4ccfe4458863cc656e409c8c8009121.png＋cos A＝0.

(1)求角A的值； (2)若a＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，b＋c＝4，求△ABC的面积．

题型三　正弦定理、余弦定理的综合应用

例3　(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngasin C－b－c＝0.

(1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，求b，c.

在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.

(1)若c＝2，C＝5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png，且△ABC的面积为9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，求a，b的值；

(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状．

高考中的解三角形问题

典例：(14分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．

(1)求cos B的值； (2)边a，b，c成等比数列，求sin Asin C的值．

考点分析　本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力．

解题策略　根据三角形内角和定理可直接求得B；利用正弦定理或余弦定理转化到只含角或只含边的式子，然后求解．

规范解答

解　(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°， 所以cos B＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.[4分]

(2)方法一　由已知b2＝ac，及cos B＝66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png，

根据正弦定理得sin2B＝sin Asin C，[9分] 所以sin Asin C＝1－cos2B＝42f93fa0b2b03732fd53e94cbbfa8840.png.[14分]

方法二　由已知b2＝ac，及cos B＝66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png，根据余弦定理得cos B＝eefb62311c693e4500b920eb2e507856.png＝07de0558af612168bbdb806a186c301c.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，

解得a＝c，[9分] 所以A＝C＝B＝60°，故sin Asin C＝265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png.[14分]

解后反思　(1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断．

(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.

方法与技巧

1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，e309be30c0accecb56e58337e70ebd47.png＋31ff94b5d3076d42e4db3421c4ea6347.png＋0162a8370ae0ea5370666c48513457ec.png＝cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．

2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B·sin C·cos A，可以进行化简或证明．

失误与防范

1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．

2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．

1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．

2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．

3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．

A组　专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． (2012·广东)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝31553867a52c684e18d473467563ea33b.png，则AC等于 (　　)

A．49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png B．29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png C.9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png D.b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png

2． (2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B等于 (　　)

A．－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png B.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png C．－1 D．1

3． 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是 (　　)

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形

4． (2012·湖南)△ABC中，AC＝3023d9f96ff17fb9696d6aa5075be5be.png，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于 (　　)

A.b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png B.6e72b362bf0748ae168330dfe4f785b4.png C.4e0929f35daaf681d4479b511bd66406.png D.01561938ab71c2262bcba0b475aa92ff.png

二、填空题(每小题5分，共15分)

5． (2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png，sin A＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，则a＝________.

6． (2011·福建)若△ABC的面积为9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．

7． 在△ABC中，若AB＝a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，AC＝5，且cos C＝db8d3b757b4d84b898061097977ff8a5.png，则BC＝________.

三、解答题(共22分)

8． (10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos e309be30c0accecb56e58337e70ebd47.png＝ecae01a1759949383660adc0223f5985.png，1504cc2708929d612ceeb6e70f4ca557.png·0a603e1a7f256f9c50812cad19922a27.png＝3. (1)求△ABC的面积； (2)若b＋c＝6，求a的值．

9． (12分)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin27e4c3c12c6475feb314c4e4f5ceee3b8.png－cos 2A＝94f7b8d3c31ae0e329bed2998dfaf493.png.

(1)求A的度数； (2)若a＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，b＋c＝3，求b、c的值．

B组　专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1． (2012·上海)在△ABC中，若sin2A＋sin2B2C，则△ABC的形状是 (　　)

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定

2． (2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a5ee308c74686f6fc715cfc411104dee.pnga，则46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png等于 (　　)

A．29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png B．21553867a52c684e18d473467563ea33b.png C.9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png D.1553867a52c684e18d473467563ea33b.png

3． (2012·湖北)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为 (　　)

A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4

二、填空题(每小题5分，共15分)

4． 在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________，△ABC的形状为__________．

5． 在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝0ce4760e9970e62401abb2674d7bf7f5.png，则

053f70cc6299097c0116545998506a33.png的值为________．

6． 在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png＋93da2eaf2e67b247d23e9972eb4240c0.png＝6cos C，则982f47bfea8878ae0df1955d7d025290.png＋c595e29eb9f248828e9ca78e9f453189.png的值是______．

三、解答题

7． (13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png，sin B＝a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.pngcos C. (1)求tan C的值； (2)若a＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，求△ABC的面积．

参考答案（A组　专项基础训练）

1-4. B　D C B 5. 89b37cb62aa3956bce9acc7efda74a2e.png 6. 2 7 . 4或5

2． 解析　∵acos A＝bsin B，∴sin Acos A＝sin Bsin B，即sin Acos A－sin2B＝0，

∴sin Acos A－(1－cos2B)＝0， ∴sin Acos A＋cos2B＝1.

3． 解析　因为a＝2bcos C，所以由余弦定理得：a＝2b·8f79cac0ab14d1fabbdcf5b909007a5e.png，整理得b2＝c2，

因此三角形一定是等腰三角形．

4． 解析　设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．∴BC边上的高为AB·sin B＝3×73b5d90fa4321db8cceb9ba0af29caa5.png＝6e72b362bf0748ae168330dfe4f785b4.png.

6．由于S△ABC＝0ce4760e9970e62401abb2674d7bf7f5.png，BC＝2，C＝60°，∴9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×2·AC·b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png，∴AC＝2，∴△为正三角形．

∴AB＝2.

7．解析　设BC＝x，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C得5＝25＋x2－2·5·x·d313efe6e8f210330fab06836bd563b0.png，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5.

8． 解　(1)∵cos e309be30c0accecb56e58337e70ebd47.png＝ecae01a1759949383660adc0223f5985.png，∴cos A＝2cos2e4ccfe4458863cc656e409c8c8009121.png－1＝2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png，∴sin A＝328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png.又1504cc2708929d612ceeb6e70f4ca557.png·0a603e1a7f256f9c50812cad19922a27.png＝3，

∴bccos A＝3，∴bc＝5. ∴S△ABC＝71358c0a34e500b4e4713f6bbaa88121.pngbcsin A＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×5×328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png＝2.

(2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6， 根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝

(b＋c)2－2bc－2bccos A＝36－10－10×31f38c46a1f16bb47cd7e81ec8c29829.png＝20， ∴a＝2a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png.

9． 解　(1)∵B＋C＝π－A，即43851b655e068f185406035eff2c696e.png＝cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png－e309be30c0accecb56e58337e70ebd47.png， 由4sin27e4c3c12c6475feb314c4e4f5ceee3b8.png－cos 2A＝94f7b8d3c31ae0e329bed2998dfaf493.png，

得4cos2e4ccfe4458863cc656e409c8c8009121.png－cos 2A＝94f7b8d3c31ae0e329bed2998dfaf493.png， 即2(1＋cos A)－(2cos2A－1)＝3142b9dd617c51350e061abdb44e7f2e.png，整理得

4cos2A－4cos A＋1＝0，即(2cos A－1)2＝0.∴cos A＝66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png，又0°<A<180°，∴A＝60°.

(2)由A＝60°，根据余弦定理cos A＝cce5d6d2b11ddf7a9f8ff4ff01fdb7e0.png，即cce5d6d2b11ddf7a9f8ff4ff01fdb7e0.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，∴b2＋c2－bc＝3，①

又b＋c＝3，② ∴b2＋c2＋2bc＝9.③ ①－③整理得：bc＝2.④

解②④联立方程组得180b905680ad08a13f7f5d122531334f.png或78d881f4c59a1dc552698c8546f382d9.png

(B组　) 1-3　A D 　D 4 .60°　正三角形5.　36c2db6bdaf8a5afc0e3c438a965452b.png 6.　4

1．解析　由正弦定理知32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png＝90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png＝2R，∴sin A＝0d18f56daef3fd47680d81812ecfb237.png，sin B＝178810ae700b958b0e1ac9daefad1aa0.png，sin C＝beae971e59199cd5fac3c065d072147c.png.

∵sin2A＋sin2B2C，∴e0be1b40b9e1540db6d63a019b3fc40b.png＋1731736edab7b2af7f1a2a48f292d938.png<87a6388816ad150f4db5163e0794ae8c.png，∴a2＋b2<c2，∴cos C＝764f8f3a86a88b6a3bae838882cb26ec.png<0，

∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．

2．解析　∵asin Asin B＋bcos2A＝a5ee308c74686f6fc715cfc411104dee.pnga，∴sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝a5ee308c74686f6fc715cfc411104dee.pngsin A，

∴sin B＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngsin A，∴46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png＝d30d94264e1cb714fed66f011bbf4e65.png＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

3． 解析　∵A>B>C，∴a>b>c. 设a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acos A得

3b＝20(b＋1)×558c783e73d0708ad574db95cbc2a0ce.png. 化简，得7b2－27b－40＝0.

解得b＝5或b＝－5cbb6d5bcc4738ccb31fe6c449d08a01.png(舍去)，∴a＝6，c＝4. ∴sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4.

4．解析　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac. 又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.

在△ABC中，由余弦定理得cos A＝cce5d6d2b11ddf7a9f8ff4ff01fdb7e0.png＝5c844e1d3eca594bbc90588d51ee0d6a.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，∴∠A＝60°.由b2＝ac，

即a＝0aa7743d69f233c58d05fcb82e6fd25b.png， 代入a2－c2＝ac－bc，整理得(b－c)(b3＋c3＋cb2)＝0，

∴b＝c.∴△ABC为正三角形．

5． 解析　∵S△ABC＝0ce4760e9970e62401abb2674d7bf7f5.png，即df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngbcsin A＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，∴c＝4. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A

＝13，∴a＝65c81bf9533f2a58ce6d5ac7e95e2b8a.png，∴053f70cc6299097c0116545998506a33.png＝32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝068f24a14a5294e73a6143ffd50b74b1.png＝36c2db6bdaf8a5afc0e3c438a965452b.png.

6．解析　由46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png＋93da2eaf2e67b247d23e9972eb4240c0.png＝6cos C，得b2＋a2＝6abcos C. 化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，将e8adf0e469f49bba6fdf75e372947089.png＋c595e29eb9f248828e9ca78e9f453189.png切化弦， 得677195b78f3eb3c189ee7cf3d9517b7a.png·(7231d410acc822a51b235539e5eda71d.png＋c6a069db7da6c8732d4b0f589de24656.png)＝677195b78f3eb3c189ee7cf3d9517b7a.png·e3d43542603517519963e7b3e5691482.png＝677195b78f3eb3c189ee7cf3d9517b7a.png·9fb443e6b2760069c7e79ea62a08755e.png＝83c69dffb2fa892fbf20d00fa1957721.png. 根据正、余弦定理得

83c69dffb2fa892fbf20d00fa1957721.png＝26f4a4890149964f091ad63370365594.png ＝22f61dd5f539e146175f80d8ee1134f3.png＝29cbfc57e50507df2067f2b4bc76cb99.png＝4.

7． 解　(1)因为0<A<π，cos A＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png，得sin A＝f7aa45b814e2d267124f674bfb190f06.png＝e22dc548c827a07ae42976e6d8caa613.png. 又a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.pngcos C＝sin B

＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C＝e22dc548c827a07ae42976e6d8caa613.pngcos C＋6b947573d14816876763af57c7a89b2e.pngsin C，所以tan C＝a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png.

(2)由tan C＝a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，得sin C＝450481b64d0cd7957248efe8f0a3e158.png，cos C＝a5ebded45baf05d033c0d0bd5053ad20.png.于是sin B＝a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.pngcos C＝450481b64d0cd7957248efe8f0a3e158.png，由a＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png及正弦定理32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png，得c＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png. 设△ABC的面积为S，则S＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngacsin B＝e2d4d9b7a9670a0dcc266bc350d814a2.png.

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