动量守恒经典例题

动量守恒定律的典型例题

【例1】把一支枪固定在小车上，小车放在光滑的水平桌面上．枪发射出一颗子弹．对于此过程，下列说法中正确的有哪些？ []

a．枪和子弹组成的系统动量守恒

b．枪和车组成的系统动量守恒

c．车、枪和子弹组成的系统动量守恒

d．车、枪和子弹组成的系统近似动量守恒，因为子弹和枪筒之间有摩擦力．且摩擦力的冲量甚小

【分析】本题涉及如何选择系统，并判断系统是否动量守恒．物体间存在相互作用力是构成系统的必要条件，据此，本题中所涉及的桌子、小车、枪和子弹符合构成系统的条件．不仅如此，这些物体都跟地球有相互作用力．如果仅依据有相互作用就该纳入系统，那么推延下去只有把整个宇宙包括进去才能算是一个完整的体系，显然这对于分析、解决一些具体问题是没有意义的．选择体系的目的在于应用动量守恒定律去分析和解决问题，这样在选择物体构成体系的时候，除了物体间有相互作用之外，还必须考虑“由于物体的相互作用而改变了物体的动量”的条件．桌子和小车之间虽有相互作用力，但桌子的动量并没有发生变化．不应纳入系统内，小车、枪和子弹由于相互作用而改变了各自的动量，所以这三者构成了系统．分析系统是否动量守恒，则应区分内力和外力．对于选定的系统来说，重力和桌面的弹力是外力，由于其合力为零所以系统动量守恒．子弹与枪筒之间的摩擦力是系统的内力，只能影响子弹和枪各自的动量，不能改变系统的总动量．所以d的因果论述是错误的．

【解】正确的是c．

【例2】一个质量m=1kg的鸟在空中v0=6m/s沿水平方向飞行，离地面高度h=20m，忽被一颗质量m=20g沿水平方向同向飞来的子弹击中，子弹速度v=300m/s，击中后子弹留在鸟体内，鸟立即死去，g=10m/s2．求：鸟被击中后经多少时间落地；鸟落地处离被击中处的水平距离．

【分析】子弹击中鸟的过程，水平方向动量守恒，接着两者一起作平抛运动。

【解】把子弹和鸟作为一个系统，水平方向动量守恒．设击中后的共同速度为u，取v0的方向为正方向，则由

mv0＋mv＝(m＋m)u，

得

击中后，鸟带着子弹作平抛运动，运动时间为

鸟落地处离击中处水平距离为

s＝ut＝11.76×2m＝23.52m．

【例3】一列车沿平直轨道以速度v0匀速前进，途中最后一节质量为m的车厢突然脱钩，若前部列车的质量为m，脱钩后牵引力不变，且每一部分所受摩擦力均正比于它的重力，则当最后一节车厢滑行停止的时刻，前部列车的速度为 []

【分析】列车原来做匀速直线运动，牵引力f等于摩擦力f，f=k(m＋m)g(k为比例系数)，因此，整个列车所受的合外力等于零．尾部车厢脱钩后，每一部分所受摩擦力仍正比于它们的重力．因此，如果把整个列车作为研究对象，脱钩前后所受合外力始终为零，在尾部车厢停止前的任何一个瞬间，整个列车(前部+尾部)的动量应该守恒．考虑刚脱钩和尾部车厢刚停止这两个瞬间，由

(m+m)v0=0+mv

得此时前部列车的速度为

【答】b．

【说明】上述求解是根据列车受力的特点，恰当地选取研究对象，巧妙地运用了动量守恒定律，显得非常简单．如果把每一部分作为研究对象，就需用牛顿第二定律等规律求解．有兴趣的同学，请自行研究比较．

【例4】质量m1=10g的小球在光滑的水平桌面上以v1=30cm/s的速率向右运动，恰好遇上在同一条直线上向左运动的另一个小球．第二个小球的质量为m2=50g，速率v2=10cm/s． 撞后，小球m2恰好停止．那么，碰撞后小球m1的速度是多大，方向如何？

【分析】取相互作用的两个小球为研究的系统。由于桌面光滑，在水平方向上系统不受外力．在竖直方向上，系统受重力和桌面的弹力，其合力为零．故两球碰撞的过程动量守恒．

【解】设向右的方向为正方向，则各速度的正、负号分别为

v1=30cm/s，v2=10cm/s，v'2=0.

据动量守恒定律有

mlvl+m2v2=m1v'1+m2v'2．

解得v'1=-20cm/s.

即碰撞后球m1的速度大小为20cm/s，方向向左．

【说明】通过此例总结运用动量守恒定律解题的要点如下．

(1)确定研究对象．对象应是相互作用的物体系．

(2)分析系统所受的内力和外力，着重确认系统所受到的合外力是否为零，或合外力的冲量是否可以忽略不计．

(3)选取正方向，并将系统内的物体始、末状态的动量冠以正、负号，以表示动量的方向．

(4)分别列出系统内各物体运动变化前(始状态)和运动变化后(末状态)的动量之和．

(5)根据动量守恒定律建立方程，解方程求得未知量．

【例5】甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏．甲和他的冰车的总质量共为m=30kg，乙和他的冰车的总质量也是30kg．游戏时，甲推着一质量为m=15km的箱子，和他一起以大小为v0=2m/s的速度滑行．乙以同样大小的速度迎面滑来．为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子到乙处时乙迅速把它抓住．若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出，才能避免和乙相碰．

【分析】甲推出箱子和乙抓住箱子是两个动量守恒的过程，可运用动量守恒求解．甲把箱于推出后，甲的运动有三种可能：一是继续向前，方向不变；一是静止；一是方向改变，向后倒退．按题意要求．是确定甲推箱子给乙，避免跟乙相碰的最小速度．上述三种情况中，以第一种情况甲推出箱子的速度最小，第二、第三种情况则需要以更大的速度推出箱子才能实现．

【解】设甲推出的箱子速度为v，推出后甲的速度变为v1，取v0方向为正方向，据动量守恒有

(m＋m)v0＝mv1＋mv．(1)

乙抓住箱子的过程，动量守恒，则

mv＋mv0=(m＋m)v2.(2)

甲、乙两冰车避免相撞的条件是v2≥v1，取

v2=v1．(3)

联立(1)、(2)、(3)式，并代入数据解得

v=5.2m/s．

【说明】本题仅依据两个动量守恒的过程建立的方程还能求解，关键是正确找出临界条件，并据此建立第三个等式才能求解．

【例6】两辆质量相同的小车a和b，置于光滑水平面上，一人站在a车上，两车均静止．若这个人从a车跳到b车上，接着又跳回a车，仍与a车保持相对静止，则此时a车的速率 []

a．等于零b．小于b车的速率

c．大于b车的速率d．等于b车的速率

【分析】设人的质量为m0，车的质量为m．取a、b两车和人这一系统为研究对象，人在两车间往返跳跃的过程中，整个系统水平方向不受外力作用，动量守恒．取开始时人站在a车上和后来又相对a车静止时这两个时刻考察系统的动量，则

0＝(m0＋m)va＋mvb，

可见，两车反向运动，a车的速率小于b车的速率．

【答】b．

【说明】本题中两车相互作用前后动量在一直线上，但两者动量方向即速度方向均不甚明确，因此没有事先规定正方向，而是从一般的动

【例7】甲、乙两船在平静的湖面上以相同的速度匀速航行，且甲船在前乙船在后．从甲船上以相对于甲船的速度v，水平向后方的乙船上抛一沙袋，其质量为m．设甲船和沙袋总质量为m，乙船的质量也为m．问抛掷沙袋后，甲、乙两船的速度变化多少？

【分析】由题意可知，沙袋从甲船抛出落到乙船上，先后出现了两个相互作用的过程，即沙袋跟甲船和沙袋跟乙船的相互作用过程．在这两个过程中的系统，沿水平方向的合外力为零，因此，两个系统的动量都守恒．值得注意的是，题目中给定的速度选择了不同的参照系．船速是相对于地面参照系，而抛出的沙袋的速度v是相对于抛出时的甲船参照系．

【解】取甲船初速度v的方向为正方向，则沙袋的速度应取负值．统一选取地面参照系，则

沙袋抛出前，沙袋与甲船的总动量为mv．

沙袋抛出后，甲船的动量为(m-m)v甲'，沙袋的动量为m(v甲'-v)．

根据动量守恒定律有

mv=(m-m)v甲'＋m(v甲'-v)．(1)

取沙袋和乙船为研究对象，在其相互作用过程中有

mv＋m(v甲'-v)＝(m+m)v乙'．(2)

联立(l)、(2)式解得

则甲、乙两船的速度变化分别为

【例8】小型迫击炮在总质量为1000kg的船上发射，炮弹的质量为2kg．若炮弹飞离炮口时相对于地面的速度为600m/s，且速度跟水平面成45°角，求发射炮弹后小船后退的速度？

【分析】取炮弹和小船组成的系统为研究对象，在发射炮弹的过程中，炮弹和炮身(炮和船视为固定在一起)的作用力为内力．系统受到的外力有炮弹和船的重力、水对船的浮力．在船静止的情况下，重力和浮力相等，但在发射炮弹时，浮力要大于重力．因此，在垂直方向上，系统所受到的合外力不为零，但在水平方向上系统不受外力(不计水的阻力)，故在该方向上动量守恒．

【解】发射炮弹前，总质量为1000kg的船静止，则总动量mv=0．

发射炮弹后，炮弹在水平方向的动量为mv1'cos45°，船后退的动量为(m-m)v2'．

据动量守恒定律有

0=mv1'cos45°＋(m-m)v2'．

取炮弹的水平速度方向为正方向，代入已知数据解得

【例9】两块厚度相同的木块a和b，并列紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为ma=2.0kg，mb=0.90kg．它们的下底面光滑，上表面粗糙．另有质量mc=0.10kg的铅块c(其长度可略去不计)以vc=10m/s的速度恰好水平地滑到a的上表面(见图)，由于摩擦，铅块最后停在本块b上，测得b、c的共同速度为v=0.50m/s，求

木块a的速度和铅块c离开a时的速度．

【分析】c滑上a时，由于b与a紧靠在一起，将推动b一起运动．取c与a、b这一系统为研究对象，水平方向不受外力，动量守恒．滑上后，c在a的摩擦力作用下作匀减速运动，(a＋b)在c的摩擦力作用下作匀加速运动．待c滑出a后，c继续减速，b在c的摩擦力作用下继续作加速运动，于是a与b分离，直至c最后停于b上．

【解】设c离开a时的速度为vc，此时a、b的共同速度为va，对于c刚要滑上a和c刚离开a这两个瞬间，由动量守恒定律知

mcvc=(ma+mb)va+mcv'c(1)

以后，物体c离开a，与b发生相互作用．从此时起，物体a不再加速，物体b将继续加速一段时间，于是b与a分离．当c相对静止于物体b上时，c与b的速度分别由v'c和va变化到共同速度v．因此，可改选c与b为研究对象，对于c刚滑上b和c、b相对静止时的这两个瞬间，由动量守恒定律知

mcv'c+mbva=(mb+mc)v(2)

由(l)式得mcv'c=mcvc-(ma＋mb)va

代入(2)式mcv'c-(ma+mc)va+mbva=(mb+mc)v．

得木块a的速度

所以铅块c离开a时的速度

【说明】应用动量守恒定律时，必需明确研究对象，即是哪一个系统的动量守恒．另外需明确考察的是系统在哪两个瞬间的动量．如果我们始终以(c＋a＋b)这一系统为研究对象，并考察c刚要滑上a和c刚离开a，以及c、b刚相对静止这三个瞬间，由于水平方向不受外力，则由动量守恒定律知

mcvc=(ma+mb)va+mcv'c=mava+(mb+mc)v．

同样可得

【例10】在静止的湖面上有一质量m=100kg的小船，船上站立质量m=50kg的人，船长l=6m，最初人和船静止．当人从船头走到船尾(如图)，船后退多大距离？(忽略水的阻力)

[分析]有的学生对这一问题是这样解答的．由船和人组成的系统，当忽略水的阻力时，水平方向动量守恒．取人前进的方向为正方向，设t时间内

这一结果是错误的，其原因是在列动量守恒方程时，船后退的速度

考系的速度代入同一公式中必然要出错．

【解】选地球为参考系，人在船上行走，相对于地球的平均速度为

为

【例11】一浮吊质量m=2×104kg，由岸上吊起一质量m=2×103kg的货物后，再将吊杆oa从与竖直方向间夹角θ=60°转到θ'=30°，设吊杆长l=8m，水的阻力不计，求浮吊在水平方向移动的距离？向哪边移动？

【分析】对浮吊和货物组成的系统，在吊杆转动过程中水平方向不受外力，动量守恒．当货物随吊杆转动远离码头时，浮吊将向岸边靠拢，犹如人在船上向前走时船会后退一样，所以可应用动量守恒求解．

【解】设浮吊和货物在水平方向都作匀速运动，浮吊向右的速度为v，货物相对于浮吊向左的速度为u，则货物相对河岸的速度为(v-u)．由

0＝mv＋m(v-u)，

吊杆从方位角θ转到θ'需时

所以浮吊向岸边移动的距离

【说明】当吊杆从方位角θ转到θ'时，浮吊便向岸边移动一定的距离，这个距离与吊杆转动的速度，也就是货物移动的速度无关。但为了应用动量守恒定律，必须先假设浮吊和货物移动为某个速度。

【例12】如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点o两侧的人的序号都记为n(n=1，2，3…)．每人只有一个沙袋，x＞0一侧的每个沙袋质量m=14kg，x<0一侧的每个沙袋质量为m'=10kg．一质量为m=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行．不计轨道阻力．当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v朝与车相反的方向沿车面扔到车上，v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍(n是此人的序号数)．(l)空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？(2)车上最终有大小沙袋共多少个？

【分析】因为扔到车上的沙袋的水平速度与车行方向相反，两者相互作用后一起运动时，总动量的方向(即一起运动的方向)必与原来动量较大的物体的动量方向相同．当经过第n个人时，扔上去的沙袋的动量大于车及车上沙袋的动量时，车就会反向运动．车向负x方向运动时、当扔上去的沙袋的动量与车及车上沙袋的动量等值反向时，车将停止运动．

【解】(1)设小车朝正x方向滑行过程中，当车上已有(n-1)个沙袋时的车速为vn-1，则车与沙袋的动量大小为

p1＝［m＋(n－l)m]vn-1．

车经过第n个人时，扔出的沙袋速度大小为2nvn-1，其动量大小为

p2=2nmvn-1,

当满足条件p2＞p1时，车就反向滑行．于是由

2nmvn-1＞［m＋(n-l)m]vn-1，

得

取n=3，即车上堆积3个沙袋时车就反向运动．

(2)设车向负x方向滑行过程中，当第(n—1)个人扔出沙袋后的车速为v'n-1，其动量大小为

p'1＝［m＋3m＋(n-l)m'］v'n-1．

车经过第n个人时，扔出沙袋的速度大小为2nv'n-1，其动量大小为

当满足条件p'2=p'1时，车就停止．于是由

［m＋3m＋(n-l)m']vn-1＝2nm'v'n-1，

得

所以车停止时车上共有沙袋数为

n=3＋8=11(个)．

【说明】本题依据的物理道理是很显然的，由于构思新颖，使不少同学难以从具体问题中抽象出简化的物理模型，以致感到十分棘手．因此，学习中必须注重打好基础和提高分析问题的能力．

【例13】一个静止的质量为m的原子核，放射出一个质量为m的粒子，粒子离开原子核时相对于核的速度为v0，原子核剩余部分的速率等于 []

【分析】取整个原子核为研究对象。由于放射过程极为短暂，放射过程中其他外力的冲量均可不计，系统的动量守恒．放射前的瞬间，系统的动量p1=0，放射出粒子的这一瞬间，设剩余部分对地的反冲速度为v'，并规定粒子运动方向为正方向，则粒子的对地速度v=v0-v'，系统的动量

p2=mv-(m-m)v'=m(v0-v')-(m-m)v'．

由p1=p2，即

0=m(v0-v)-(m-m)v'=mv0-mv'．

【答】c．

【说明】本题最容易错选成b、d．前者是没有注意到动量守恒定律中的速度必须统一相对于地面，误写成

0=mv0-(m-m)v'．

后者是已规定了正方向后，但计算矢量和时没有注意正负，误写成

0=m(v0-v')＋(m-m)v'．

对于矢量性较熟悉的读者，也可不必事先规定正方向，而根据解题结果加以判断，如本题中，粒子对地速度可表示为v=v0＋v'，由系统的动量守恒，

0=mv+(m-m)v'=m(v0＋v')＋(m-m)v'．

表示核的反冲速度与粒于运动速度方向相反

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5cdf72dea0116c175f0e485c.html