椭圆 双曲线抛物线必背地经典结论

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重点、难点

考点及考试要求

教学容

椭圆 双曲线抛物线必背的经典结论

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切.

5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.

7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.

8. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：

,( , ).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，

即。

12. 若在椭圆，则被Po所平分的中点弦的方程是.

13. 若在椭圆，则过Po的弦中点的轨迹方程是.

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（切：P在右支；外切：P在左支）

5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.

6. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.

7. 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.

8. 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( ,

当在右支上时，,.

当在左支上时，,

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

12. 若在双曲线（a＞0,b＞0），则被Po所平分的中点弦的方程是.

13. 若在双曲线（a＞0,b＞0），则过Po的弦中点的轨迹方程是.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

1. 椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.

2. 过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

3. 若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.

4. 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.

5. 若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6. P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.

7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.

8. 已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.

9. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

10. 已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.

11. 设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .

12. 设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .

13. 已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的、外角平分线与长轴交点分别称为、外点.）

17. 椭圆焦三角形中,心将点与非焦顶点连线段分成定比e.

18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

双曲线

1. 双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.

2. 过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

3. 若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.

4. 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.

5. 若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6. P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.

7. 双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.

8. 已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.

（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.

9. 过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

10. 已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.

11. 设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .

12. 设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).

(2) .(3) .

13. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的、外角平分线与长轴交点分别称为、外点).

17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为、外点到双曲线中心的比例中项.

抛物线

结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。

结论二：（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。（2）焦点弦径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

结论四：若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。反之也成立。

结论五：对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率．

基础回顾

1. 以AB为直径的圆与准线相切；

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. A、O、三点共线；

9. B、O、三点共线；

10. ；

11. （定值）；

12. ；；

13. 垂直平分；

14. 垂直平分；

15. ；

16. ；

17. ；

18. ；

19. ;

20. ;

21. .

22. 切线方程 高考资源网www.ks5u.com

性质深究

一)焦点弦与切线

1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？

结论1：交点在准线上

先猜后证：当弦轴时，则点P的坐标为在准线上．

结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．

2、上述命题的逆命题是否成立？

结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．

结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．

3、AB是抛物线（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，，，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有

结论6PA⊥PB．

结论7PF⊥AB．

结论8 M平分PQ．

结论9 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．

结论10

结论11

二)非焦点弦与切线

思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，

也有与上述结论类似结果：

结论12 ①，

结论13 PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．

结论14

结论15 点M平分PQ

结论16

学生对于本次课的评价：

○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差

学生签字：

教师评定：

1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

教师签字：